Физические основы квантовых вычислений (1156780), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Дляэтой системы гамильтониан можно записать в видеXX Pb2kbk Qbl ,b =+Vkl Q(1.1)H2mkk,lkb k и Pbk – операторы обобщенных координат и импульгде Qсов, которые удовлетворяют известным коммутационнымсоотношениям:hi hihibk , Qb l = Pbk , Pbl = 0,b k , Pbl = i~δkl ,QQ(1.2)а матрица связи действительна и симметрична: Vkl = Vlk .Приведем гамильтониан (1.1) к более симметричномувиду, сделав замену переменных√b k , p̂k = √1 Pbk(1.3)q̂k = mk Qmk135и введя переопределение2Vkl ,Ukl = √m k mlтогда коммутационные соотношения останутся прежними(1.2), а гамильтониан примет вид:X1Xb =1Hp̂2k +Ukl q̂k q̂l .(1.4)22kk,lБудем считать, что матрица Ukl невырождена и положительно определена, тогда ее можно диагонализовать. Диагонализация по сути дела означает переход к нормальнымкоординатам q̂α .
Пусть переход к нормальным координатам осуществляется с помощью ортогональной матрицы:XXq̂α =Cαk q̂k , q̂k =Ckα q̂α(1.5)αkгдеXCαk Cβk = δαβ ,XCαk Cαl = δkl .αkПоскольку матрица Cαk диагонализует матрицу связи, можно записать1 :XCkα Vkl Clβ = ωα2 δαβ .(1.6)k,lСледовательноXXXXXUkl q̂k q̂l =UklCkα q̂αClβ q̂β =ωα2 q̂α2 .k,lk,lααβПоскольку операторы координаты и импульса канонически сопряжены, нормальные компоненты импульса также определяются матрицей Cαk :XXp̂α =Cαk p̂k , p̂k =Ckα p̂α ,(1.7)αk1Матрица связи положительно определена!136причем(1.8)[q̂α , p̂β ] = i~δαβ .Подставляя все введенные обозначения и определения вформулу (1.4), получаем гамильтониан в виде суммы гамильтонианов несвязанных осцилляторов:X¡¢b =1p̂2α + ωα2 q̂α2 .H2 α(1.9)Таким образом можно сделать вывод, что состояние системы осцилляторов можно представить в виде прямогопроизведения состояний одномерных осцилляторов, соответствующих нормальным степеням свободы.
Посколькусостояние одномерного осциллятора определяется толькоодним квантовым числом n, имеем:|Ψi = |n1 i ⊗ |n2 i ⊗ · · · ⊗ |nN i ≡NYα=1⊗|nα i.(1.10)Здесь мы явно написали знак прямого произведения, поскольку пространство состояний N осцилляторов имеет размерность произведения размерностей пространств состояний одномерных осцилляторов. Очень часто знак прямогопроизведения ⊗ опускают для простоты, или считая этосамо собой разумеющимся, однако по крайней мере одинраз все нужно написать в явном виде.
Энергия системыосцилляторов равна сумме энергий. Соответственно, как идля одного одномерного осциллятора удобно ввести повы-137шающий и понижающий операторы:µr¶ωαi1q̂α + √âα = √p̂α ,~~ωα2µr¶iωα1+q̂α − √p̂α ,âα = √~~ωα2rr¢¢~ ¡ +~ωα ¡ +âα + âα , p̂α = iâα − âα .q̂α =2ωα2(1.11)(1.12)Так введенные нами операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям:iihh+(1.13)âα , â+[âα , âβ ] = â+α , âβ = 0,β = δαβ .Учитывая определения операторов и их коммутационныесоотношения (1.13), запишем гамильтониан (1.1) в виде:¶µX1b =.(1.14)H~ωα â+â+α α2αСоответственно, собственные состояния задаются совокупностью N чисел nα и их можно записать как"#Y (a+ )nαα√|Ψi ≡ |n1 n2 , .
. . nN i =|00 . . . 0i,(1.15)nα !αа уровни энергии равны:En1 ,n2 ,...nN =X(nα + 1/2) ~ωα .(1.16)αPЭнергия основного состояния |00 . . . 0i равнаα ~ωα /2 идля системы с бесконечным числом степеней свободы обращается в бесконечность. Поэтому обычно энергию системы переопределяют, отсчитывая от энергии основного состояния. В таком случае в формулах (1.14) и (1.16) 1/2 вскобках исчезает.138Подводя итог параграфа, можно сказать, что системасвязанных осцилляторов может быть представлена как ансамбль независимых осцилляторов, а энергия системы равна сумме энергий всех независимых подсистем.
При этомзаметим, что если рассматривать только энергию системы(1.16), ее можно представить как сумму энергийXN =nααосцилляторов, из которых nα описываются одинаковой частотой ωα и находятся на первом возбужденном уровне.Теперь в нашем описании получили, что все nα осцилля√торов неразличимы, что выражается множителем nα ! взнаменателе. Заметим, что nα ! – число перестановок одинаковых (тождественных) осцилляторов.7.2Cистемы тождественных частицПерейдем к рассмотрению систем тождественных частиц.Как известно, есть два принципиально разных “сорта"частиц,которые отличаются своими свойствами относительно перестановки их в системе.
Поскольку тождественные частицы физически неразличимы, отличие в описании этих двухсортов частиц может быть выражено только лишь в различном поведении состояний (волновых функций) относительно перестановки частиц местами. Мы видели в предыдущем параграфе, что состояние системы независимых частиц может быть записано в виде прямого произведенияодночастичных состояний. Если мы условно пронумеруемвсе эти независимые различные частицы и в произведенииместо каждого сомножителя в прямом произведении будетсоответствовать частице с данным номером, тогда такое139N -частичное состояние будет записано в виде:|ψi = |ψ1 i|ψ2 i . .
. |ψN i.(2.1)Поскольку все одночастичные состояния определены в своих одночастичных пространствах, скалярное произведение двух N -частичных состояний естьhϕ|ψi =(hϕ1 |hϕ2 | . . . hϕN |)(|ψ1 i|ψ2 i| . . . |ψN i) ==hϕ1 |ψ1 ihϕ2 |ψ2 i . . . hϕN |ψN i.(2.2)Волновая функция N -частичного состояния (2.1) может быть записана какψ(r1 , r2 , . . . rN) = hr1 |hr2 |.
. .hrN ||ψi = ψ(r1)ψ(r2) · · · ψ(rN). (2.3)Волновая функция (2.3) не обладает никакой симметриейотносительно перестановки частиц, поскольку они в данном случае все различимы.Систему N независимых тождественных частиц такжеможно описать на языке одночастичных состояний, однаков силу неразличимости частиц мы теперь не можем пронумеровать их.
Поэтому мы можем только констатироватьфакт, что в данном N -частичном состоянии представленыN , вообще говоря различных, одночастичных состояния.Сохраняя теперь вместо нумерации частиц нумерацию состояний, мы должны полностью симметризовать или антисимметризовать N -частичное состояние тождественныхчастиц. Как известно, симметричными состояниями описываются бозе-частицы, а антисимметричными – фермичастицы.
Введем параметр ζ, который принимает значения½+1 для бозе-частиц,ζ=(2.4)−1 для ферми-частиц.Для тождественных частиц имеет место свойство:|ψ1 i. . .|ψi i. . .|ψk i. . .|ψNi = ζ|ψ1 i. . .|ψk i. . .|ψi i. . .|ψNi. (2.5)140Теперь состояние (2.5) можно выразить через одночастичные состояние, проведя все возможные перестановки:1 X Pζ |ψP (1) i|ψP (2) i. . .|ψP (N )i, (2.6)|ψ1 , ψ2 , .
. . , ψNiζ = √N! Pгде символ P означает все перестановки N аргументов.Нам нужно уметь переходить от векторного представления(2.6) к волновым функциям. Для этого следует определитьскалярное произведение таких (анти)симметризованных выражений. Запишем вектор бра:Xζ Q hϕQ(1) |hϕQ(2) | · · · hϕQ(N ) |ζ hϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕN | =Qи найдем скалярное произведение его с вектором (2.6):ζ hϕ1 , ϕ2 , . . .
, ϕN |ψ1 , ψ2 , . . . , ψN iζ==1 X Q Pζ ζ hϕQ(1) |hϕQ(2) |· · ·hϕQ(N) ||ψP (1)i|ψP (2)i. . .|ψP (N)i =N!Q,P1 X Q P=ζ ζ hϕQ(1) |ψP (1)ihϕQ(2) |ψP (2)i· · ·hϕQ(N ) |ψP (N )i =N!Q,P1 X Q P=ζ ζ hϕ1 |ψP Q−1 (1)ihϕ2 |ψP Q−1 (2)i· · ·hϕN |ψP Q−1 (N)i =N!Q,P1 X P Q−1ζhϕ1 |ψP Q−1 (1) ihϕ2 |ψP Q−1 (2)i· · ·hϕN |ψP Q−1 (N)i.=N ! −1PQОбозначая перестановку P Q−1 = R Pи учитывая, что остающееся независимое суммирование Q = N !, получаем:ζ hϕ1 . . .ϕN |ψ1 .
. .ψN iζ =Xζ R hϕ1 |ψR(1) i· · ·hϕN |ψR(N) i.R141(2.7)Можно заметить, что для ферми-частиц сумма (2.7) представляет собой детерминант матрицы− hϕ1 , . . . , ϕN |ψ1 , . . . , ψN i−hϕ1 |ψ1 i . . .......=det hϕN |ψ1 i . . .=hϕ1 |ψN i....hϕN |ψN i(2.8)Легко видеть, что никакие две ферми-частицы не могутнаходиться в одинаковом состоянии.Для бозе-частиц вместо детерминанта в выражении (2.7)стоит полностью симметричная сумма скалярных произведений, которая называется перманентом.В дальнейшем остается условиться, как нумеровать одночастичные состояния. Очевидно, для описания одночастичных состояний удобно выбрать ортонормированный базис |βi i, где βi полный набор квантовых чисел, необходимых для описания данных одночастичных состояний. Можно пронумеровать в порядке возрастания какой-либо величины, скажем, энергии.
Тогда N -частичное состояниеможно записать как |β1 , β2 . . . βNi, где β1 ≤ β2 . . . βN длябозе-частиц. Поскольку ферми-частицы не могут находиться в одинаковых состояниях |αi i, следует оставить строгиенеравенства в определении N -частичного состояния|α1 , α2 , . . . αN i и α1 < α2 < · · · < αN . Полученное так N частичное состояние для ферми-частиц нормировано, а длябозе-частиц не будет нормированным, если в |βi i состояниинаходится ni > 1 частиц. Нормировка достигается делением на корень квадратный из соответствующего числа перестановок.
Таким образом можно записать:|β1 , β2 . . . βN i√; β1 ≤ β2 ≤ · · · ≤ βN для бозе-частиц, (2.9)n1 !n2 ! . . .|α1 , α2 , . . . αN i; α1 < α2 < · · · < αN для ферми-частиц.142Итак, совокупность состояний (2.9) составляет базис впространстве N -частичных состояний соответственно бозеи ферми-систем. Если мы рассматриваем системы с переменным числом частиц, пространство состояний таких систем должно быть прямой суммой пространств всех возможных N -частичных состояний:X|Ψi = |ψ (1) i⊕|ψ (2) i⊕· · ·⊕|ψ (N ) i⊕· · · =⊕|ψ (N ) i.
(2.10)N =1Очевидно, по определению состояния в подпространствах сразным числом частиц ортогональны. Обычно вместо знака прямой суммы пишут знак обычного суммирования, полагая такое представление очевидным. Мы также для простоты в дальнейшем будем писать вместо знака ⊕ знакобычного суммирования, полагая, что это не приведет вдальнейшем к недоразумениям. Пространство состояний(2.10) называется пространством Фока.7.3Операторы рождения и уничтожения.Вернемся к определению действия операторов на векторысостояний. Как помним, действие любого оператора на произвольный вектор состояния в общем случае приводит кизменению вектора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
