М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 152
Текст из файла (страница 152)
Опишем эту игру, используя два вымышленных персонажа, Алису и Боба; конечно, результаты можно выразить более абстрактно, но антропоцентрический язык делает результаты более легкими для осмысления (и описания!). Предположим, что у Алисы есть источник классической информации, выдающий символы Х = О,..., и в соответствии с распределением вероятностей рс,..., р„. Цель Боба — как можно лучше определить значение Х.
Алиса приготавливает квантовое состояние рх, выбранное из некоторого фиксированного набора ро,..., р„, и предоставляет это состояние Бобу, который производит квантовое измерение нэд полученным состоянием, а затем пытается как можно лучше определить Х на основе результата измерения У. 644 Глава 12. Квантовая теория информации Как установлено в гл. 11, хорошей мерой информации, полученной Бобом об Х с помощью измерения, является взаимная информация Н(Х:У) между Х и результатом измерения У. Из неравенства обработки данных мы знаем, что Боб может определить Х из У тогда и только тогда, когда Н(Х:У) = Н(Х) (в общем случае Н(Х:У) < Н(Х)); далее мы увндим, что близость Н(Х:У) к Н(Х) действительно обеспечивает количественную меру того, насколько хорошо Воб может определить Х.
Цель Боба — выбрать измерение, с помощью которого можно достичь максимального значения Н(Х:У), наиболее близкого к Н(Х). Поэтому мы определяем дос»пуиную Бобу информацию как максимум взаимной информации Н(Х:У) по всем возможным схемам измерения. Доступная информация — мера того, насколько хорошо Боб может определить состояние, которое приготовила Алиса. В классической теории информации доступная информация не так интересна; на практике бывавг сложно различить два классических состояния (вспомним неудобства при чтении письма, написанного плохим почерком), хотя, в принципе, это всегда возможно.
В противоположность классической теории в квантовой механике не всегда возможно различить отдельные состояния даже в принципе. Например, во вставке 2.3 показано, что не существует квантовомеханической процедуры надежного различения двух неортогональных квантовых состояний. В терминах доступной информации это означает, что если Алиса приготавливает состояние ~») ) с вероятностью р и другое неортогональное состояние ~~р) с вероятностью 1 — р, то доступная информация строго меньше, чем Н(р), поскольку Боб не может определить данное состояние совершенно точно.
Если в классическом варианте Алиса приготавливает одно из двух классических состояний, например, бит в состоянии 0 с вероятностью р или в состоянии 1 с вероятностью 1 — р, то в этом случае нет особой причины, по которой Боб не может различить эти два состояния, и, следовательно, доступная информация совпадает с энтропией Н(р). Однако, существует ситуация, когда понятие доступной информации приобретает классический смысл, Речь о идет различении распределений вероятностей. Предположим, что Алиса приготавливает состояние 0 или 1 в соответствии с одним из двух распределений вероятностей: (р,1 — р) или (о,1 — у). Получив состояние, Боб должен определить, какое распределение вероятностей использовала Алиса для приготовления состояния.
Очевидно, что Боб не всегда может это сделать с большой точностью! Однако, этот пример (аналогичный случаю квантовой системы, приготовленной в одном из смешанных состояний) имеет второстепенное значение. Более важно то, что основные объекты квантовой механики — чистые квантовые состояния — обладают свойствами рэзличимости, которые и сильно отличаются от соответствующих свойств основных объектов классической теории информации, таких как «0» или «1», и гораздо богаче их. Теорема о невозможности копирования — это другое объяснение трудности доступа к квантовой информации по сравнению с классической. Классическую информацию, конечно, можно скоаировать.
Это может быть выполнено точно с цифровой информацией подобно тому, как был многократно скопирован 12.1. Различение квантовых состояний и доступная информация 645 1ИБХ-файл, использованный для создания этой книги, или приблизительно, как аналоговые изображения, понвляющиеся на каждой странице этой книги, были скопированы печатной машиной перед тиражированием. Удивительно, но теорема о невозможности копирования устанавливает, что квантовая механика не разрешает точно скопировать неизвестные квантовые состояния, и жестко ограничивает наши возможности делать приближенные копии. Доказательство теоремы о невозможности копирования приведено во вставке 12.1. С первого взгляда теорема о невозможности копирования кажется довольно странной.
В конце концов, разве классическая физика не является частным случаем квантовой механики? Как можно копировать классическую информацию, если мы не можем копировать квантовые состояния? Ответ таков: теорема о невозможности копирования.не запрещает копирование всех квантовых состояний, а просто утверждает, что не могут быть скопированы неортогональные квантовые состояния.
Более точно это можно выразить следующим образом. Предположим, что !ф) и ~~р) — неортогональные квантовые состояния. Теорема о невозможности копирования утверждает, что невозможно построить квантовое устройство так, чтобы в случае ввода ф) или ~у) на выходе получались две копии входного состояния )ф)(ф) или !у)!у), С другой стороны, если !Э ) и ~у) ортогональны, то теорема о невозможности копирования не запрещает их копирование. Действительно, довольно легко спроектировать квантовые схемы, копирующие такие состояния! Это наблюдение разрешает явное противоречие между теоремой о невозможности копирования и возможностью копировать классическую информацию; различные состояния классической информации можно рассматривать просто как ортогональные квантовые состояния.
'Упражнение 12.1. Предположим, что ~ф) и ~у) — два ортогональных квантовых состояния одного кубита. Постройте квантовую схему с двумя входными кубитами — кубитом данных в состоянии )ф) или ~~р) и целевым кубитом, приготовленным в стандартном состоянии (О) — которая выдает на выходе )ф))Э ) или ~у) ~<р) в зависимости от того, был ли кубит данных на входе в состоянии (ф) или )<р). Какая связь между копированием и доступной информацией? Предположим, что Алиса приготавливает одно из двух неортогональных квантовых состояний ~ф) или ~у) с соответствующими вероятностями р и 1 — р.
Пусть это тот случай, когда доступная Бобу информация об этих состояниях есть НЯ, т. е. заковы квантовой механики позволяют Бобу получить с помощью измерения достаточно информации для того, чтобы определить, какое из двух состояний ~ф) или )~р) было приготовлено Алисой. Определив состояние, приготовленное Алисой, он мог бы затем создать множество копий этого состояния.
Таким образом, теорему о невозможности копирования можно рассматривать как следствие того факта, что доступная информация для данных состояний строго меньше Н(р). И наоборот, тот факт, что доступная информация меньше НЯ, есть следствие теоремы о невозможности копирования! В этом можно убедиться следующим образом. Предположим, что можно копировать неортогональные состояния. После получения от Алт)сы состояния !э') или ~~р) Боб мог бы использовать копирующее устройство, чтобы получить состояние ) ф) 8" или 646 Глава 12.
Квантовая теория информации ~у)е". В пределе больших и эти два состояния становятся почти ортогональными и их можно со сколь угодно большой точностью различить с помощью проективного измерения. Итак, если бы эти состояния можно было копировать, Боб со сколь угодно большой вероятностью успеха мог бы определить, какое нз состояний рэ) или ~~о) было приготовлено, и, следовательно, доступная информация была бы Н(р). Поэтому можно рассматривать теорему о невозможности копирования как эквивалент утверждения, что в квантовой механике доступная информация для неортогональных состояний, вообще говоря, меньше энтропии приготовления.
На протяжении всей книги мы повторяем, что скрытая природа квантовой информации обеспечивает эффективность квантовых вычислений, и доступная информация фиксирует в количественном виде эту скрытую природу квантовой информацки. К сожалению, общий метод вычисления доступной информации не известен; однако, можно доказать ряд неравенств, важнейшим из которых является граница Холево. 12.1.1 Граница Холево Граница Холево — чрезвычайно полезная верхняя оценка доступной информации, которая играет важную роль во многих применениях квантовой теории информации.
Теорема 12.1 (граница Холево). Предположим, что Алиса приготавливает состояние рх, где Х = О,...,и с вероятностями ре,...,р„. Боб проводит измерение над данным состоянием, описываемое с помощью РОМ-элементов (Еэ) = (Ес,..., Е ), получая результат У. 1'раница Холево устанавливает, что для любого такого измерения Боба выполняется неравенство Н(Х: Р) < Е(р) - ~ р.Е(р.), (12.6) гдер=~ рр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
