М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 147
Текст из файла (страница 147)
Предположим, что Н(Х:У) < Н(Х). Тогда по значению У восстановить Х невозможно. Действительно, если в результате восстановления мы получили случайную величину Е, то поскольку Х вЂ” ~ У вЂ” ~ Е является марковской цепью, из неравенства обработки данных следует, что Н(Х) > Н(Х:Е). Но это значит, что Е ф Х. Коли же Н(Х У) = Н(Х), то Н(Х~У) = О. Из теоремы 11.3, 11.3. Энтропия фон Неймана 621 часть (2), следует что Х является функцией от У, так что, зная У, мы можем восстановить Х. Как мы отмечали выше, если Х -+ У вЂ” 2 г — марковская цепь, то г — 2 У вЂ” 2 Х также марковская цепь.
Поэтому как следствие неравенства обработки данных мы получаем для марковской цепи Х -+ У вЂ” 2 г неравенство н(г: у) > н(г: х). (11.38) Вудам называть этот результат неравенством передачи даннмт На интуитивном уровне оно достаточно понятно: информация, являющаяся общей для г и Х, является также общей для г и У, поскольку вся информация от Х к г проходит через У. 'Упражнение 11.10. Покажите, что если Х вЂ” 2 У вЂ” 2 г является марковской цепью, то г — 2 У вЂ” 2 Х также является марковской цепью. И.З Энтропия фон Неймана Шенноновская энтропия является мерой неопределенности, связанной с классическим распределением вероятностей. При переходе к квантовым состояниям мы должны заменить распределения вероятностей на матрицы плотности. В настоящем разделе определение шенноновской энтропии будет обобщено на квантовые состояния.
Фон Нейман определил энглропию квантового состояния р следующей формулой: (11.39) Я(р) = — 1г(р1обр). Здесь логарифм, как обычно, берется по основанию два. Вели Л, — собственные значения р, то определение фон Неймана можно переписать в виде Я(р) = — ~ ~Л, 1о8Л„ (11.40) где мы считаем 0 1окО— : О, как и в случае шенноновской энтропии.
Последняя формула более удобна для вычислений. Например, однородное смешанное состояние 1(Й в д мерном пространстве имеет энтропию 1оя 4. В дальнейшем из контекста всегда будет ясно, когда речь идет о шенноновской энтропии, а когда об энтропии фон Неймана. Ъгпражнение 11.11 (примеры вычисления энтропии).
Вычислите Я(р) (11.41) (11.42) (11.43) 622 Глава 11. Энтропия и информация Ътпрвэкнение 11.12 (сравнение квантовой энтропии и классической энтРопии). ПУсть Р = Р)0) (О) + (1 — Р) ~~-'))э))п+м)). Вычислите Я(Р) и сРавните результат с Н(р, 1 — р). 11.3.1 Квантовая относительная энтропия Как и для шенноновской энтропии, в квантовом случае очень важно определить относительную энтропию.
Пусть р и в — матрицы плотности. Отвноситпвльнал энтропия р по отношению к о определяется как Я(р~~в) = !г(р)онр) — !г(р)ояв). (11.44) Как и в классическом случае, квантовая относительная энтропия иногда может быть бесконечной. В частности, она равна +со, если ядро в (пространство, порожденное собственными векторами о с нулевыми собственными значениями) имеет ненулевое пересечение с носителем р (пространство, порожденное собственными векторами р с ненулевыми собственными значениями), и принимает конечное значение во всех остальных случаях. Квантовая относительная энтропия неотрицательна, этот результат иногда называют неравенставом Клейка. Теорема 11.6 (неравенство Клейна).
Квантовая относительная энтропия неотрицательна: (11.45) Я(р~)в) > О, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда р = в. Вставка 11.2. Непрерывность энтропии Как изменяется 5(р), если изменение состояния р достаточно мало? Неравенстпво Фаине показывает, что изменение Я(р) «небольшое» и дает нэм оценку этого изменения. Теорема 11.7 (неравенство Фаине). Пусть р и о — матрицы плотности, такие, что для следовой метрики Т(р, о') удовлетворяет условию Т(р, о ) ~( 1/в.
Тогда ~Я(р)-Я(о)~ < Т(р,тт) )обт)+т)(Т(р,а)), (11.46) где И вЂ” размерность Гильбертова пространства, а т)(х) = — х)оях. Если опустить ограничение Т(р, и) < 1/е, то имеет место более слабое неравенство ~Я(р)-Я(в)~ < Т(р, о) )ояЫ+ —. 1 (11.47) е 11.3. Энтропия фон Неймана 623 Доиазагпельсгнво. Для доказательства неравенства Фаине нужно связать следовое расстояние между двумя операторами с собственными значениями этих операторов.
Пусть тг > тэ » ° ° тз — собственные значения р в порядке убывания, а з~ > зз > ° ° > зз — собственные значения а в порядке убывания. Спектральное разложение оператора р- а позволяет представить его в виде р-а = Я вЂ” В, где Я и  — положительные операторы носители которых ортогональны. Таким образом, Т(р, а) = сг(В) + эг(Я). Если ввести оператор 1т аэ В + р = Я + а, то Т(р, а) = Сг(В) + Сг(Я) = Сг(2У) — сг(р) — эг(а). Пусть сг > $э ~ )" > сз — собственные значения Т.
Заметим, что 1; > гпах(ть з;), так что 2Ц. > т; + з; + ~т; — з;~. Поэтому имеем Т(р,а) > ~ ~т; — з;~. (11.48) Несложно проверить, что при 1т — з~ < 1/2 справедливо неравенство ~ц(т) — п(з)! < тЯт — з!). Поскольку ~г; — з;! < 1/2 для всех 1, получаем ~Я(р)-Я(а)! = ~~~ (п(т,) — зу(з;)) < ~ц(!т; — з;~). (11.49) Введем обозначение Ь— : ~'„~т; — з;~.
Поскольку ту® — з;/) йтЯт; — з;1/Ь) — ~т; — зД 1о8 Ь, мы видим, что ~Я(р) — В(а)~ < Ь~ ту(~т; — зД/Ь)+з1(Ь) < Ь1обй+гр(Ь). (11.50) Второе неравенство получается исходя из теоремы 11.2. Используя моно- тонность и( ) на интервале [О, 1/е] и неравенство Ь < Т(р, с), см. (11.48), заключаем, что 1о(р) — Я(а)~ < Т(р,а)!обг(+ г1(Т(р,а)) (11.51) при Т(р,а) < 1/е.
Это не что иное как неравенство Фаине. Более слабая форма неравенства Фаине для произвольного Т(р, а) доказывается анало- гично. Доказательствоо. (11.52) Используем разложения р и о в базисе их собственных векторов: р = ~; Рай(4 а = 2 у 9111)(Я. В соответствии с определением относительной энтропии имеем 624 Глава 11. Энтропия и информация Учитывая, что (г~р = р;(г~ и (а/1ойв~4) = (1~ ~ 1оя(В,)/ЯЦ '/г) = ~~~ 1оя(ц)РО, (11.53) где РО = (11Я(у/з) > О, получаем Я(рЦв) = ~~~ рю 1ояр; — » РО 1оя(дд) (11.54) Заметим, что Ру обладает следующими свойствами: РО Ъ О, ,'»,Р; = 1 и Р; = 1 (матрица с такими свойствами называется дважды стохастической).
Поскольку 1оя ( ) является строго вогнутой функцией, справедливо неравенство 2 РО 1оящ < 1оят;, где т; =— 2', Р,"ду, причем рэленство имеет место тогда и только тогда, когда существует такое у, для которого Ру = 1. Таким образом, Я(р(~о) > ~» р,1оя— тф (11.55) причем равенство имеет место тогда и только тогда, когДа для каждого г существует такое у, что Р; = 1, т. е. если Ру — матрица перестановки. Выражение (11.55) совпадает с классической относительной энтропией. Применяя теорему 11.1 о неотрицательности классической относительной энтропии, по- лучаем Я(р~(в) > О, (11.56) причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда р; = т; для всех 1, а РΠ— матрица перестановки. Мы можем перенумеровать собственные состояния о.
так чтобы матрица Р; стала единичной. Условие р, = т; тогда свидетельствует о том, что р и в диагональны в одном базисе и имеют одинаковые собственные значения, т. е., что р = в. Я(В). 11.3.2 Основные свойства энтропии Энтропия фон Неймана имеет много интересных и полезных свойств. Теорема 11.8 (основные свойства энтропии фон Неймана). (1) Энтро- пия неотрицательна, причем она обращается в нуль тогда и только тогда, когда состояние чистое. (2) Если размерность гильбертова пространства равна д, то энтропия не превы- шает 1оя Ы. Энтропия равна 1оя д тогда и только тогда, когда система находится в однородном состоянии 1/Н.
(3) Пусть составная система АВ находится в чистом состоянии. Тогда Я(А) = 11.3. Энтропия фон Неймана 625 (4) Пусть р, — произвольное распределение вероятностей, а р~ — набор состоя- ний, носители которых ортогональны. Тогда е (г'р,р) = нэ,) ~- г, р,я(р ). (11.57) (5) Теорема о совместной энтропии. Пусть р, — произвольное распределе- ние вероятностей, р) — набор ортогонельных состояний для системы А, р;— произвольный набор состояний для другой системы В. Тогда Я ~~~ р;~г)(г~ Ю р; = Н(р,) + ~~ рсЯ(р;). (11.58) Доиазагпааьспэв о.
(1) Очевидно из определения. (2) Эти утверждения следуют из свойства неотрицательности относительной энтропии, 0 < Я(р01/А) = — Я(р) + !ой д. (3) Из разложения Шмидта мы знаем, что собственные значения матриц плот- ности систем А и В совпадают.
(Вспомните обсуждение теоремы 2.7,) Посколь- ку энтропия полностью определяется собственными значениями, то Я(А) = Я(В). (4) Обозначим через Л~ и ~е!) собственные значения и собственные векторы рь Заметим, что собственные значения и собственные векторы оператора '>,р,р; имеют вид р;Л~ и !е~). Таким образом, Я ~ р;рс = — ~~~ р;Л~ !ойр;Л~ (11.59) — р;!ойр; — ~, р; ) Л~1о3Л~ (')+у ' ('), (11.60) (11.61) 40 кои ва~ в м что и требовалось. (5) Следует из (4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
