М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 150
Текст из файла (страница 150)
Во первых, следует подчеркнуть, что неравенство Я(А) + Я(В) < Я(А, С) + Б(В, С) является весьма тонким свойством квантовой энтропии. Данное неравенство выполняется и для шенноновской энтропии, но по несколько другим 11.4. Сильная субаддитивность 635 причинам. Для шеняоновской энтропии справедливы соотношения Н(А) < Н(А, С) и Н(В) < Н(В, С), и неравенство получается сложением этих двух соотношений.
В квантовом случае, возможно, Я(А) > Я(А,С) или Я(В) > Я(В, С). Тем не менее Природа почему-то выбрала соотношение Я(А) + Я(В) < Я(А,С) + Я(В, С), так что ситуация, когда одновременно Я(А) > Я(А, С) и Я(В) > Я(В, С), запрещена. Сильную субадцитивность можно также сформулировать и с использованием понятия условной энтропии и взаимной информации: 0 < Я(С~А) + Я(С(В), Я(А: В) + Я(А: С) < 2Я(А). (11.113) (11.114) Глядя на формулу (11.114), возникает желание написать также неравенство 0 < Я(А~С)+Я(В|С). Однако, как можно убедиться, взяв в качестве состояния АВС произведение чистого состояния для А и ЭПР состояния для ВС, это неверно.
'Упражнение 11.26. Докажите что Я(А:В) + Я(А:С) < 2Я(А). Отметим, что для шенноновской энтропии это неравенство является следствием Н(А:В) < Н(А) и Н(А:С) < Н(А). Найдите пример состояния, для которого Я(А:В) > Я(А). Для практических применений свойство сильной субаддитивности удобно формулировать именно через условную энтропию и взаимную информацию. В следующей теореме приводятся три очень простые формулировки сильной субаддитивности, которые дают некоторое интуитивное представление о свойствах квантовой энтропии. Теорема 11.15.
(1) Дополнительные условия уменьшают энтропию. Пусть АВС вЂ” составная квантовая система. Тогда Я(А~В, С) < Я(А~В). (2) Выбрасывание компонент квантовой системы не может увеличить взаимную информацию. Пусть АВС вЂ” составная квантовая система. Тогда Я(А:В) < Я(А:В, С). (3) Квантовые преобразования не могут увеличить взаимную информацию. Допустим, что А — составная квантовая система, а Š— преобразование, сохраняющее след и действующее только на систему В. Пусть Я(А:В)— взаимная информация между системами А и В до применения Е, а Я(А'.В')— взаимная информация после применения Е. Тогда Я(А'.В') < Я(А:В). ,1(пи азагпельсгпео.
(1) Доказывается также как и в классическом случае (см. теорему 11.3). Для удобства приведем доказательство еще рэз. Неравенство Я(А~В, С) < Я(А~В) эквивалентно Я(А,В,С) — Б(В,С) < Я(А,В) — Б(В) или Я(А,В,С) + Б(В) < Я(А, В) + Я(В, С). Это условие сильной аддитивности. (2) Неравенство Я(А:В) < Я(А:В, С) эквивалентно Я(А) + Я(В) — Я(А, В) < Я(А) + Б(В,С) — Я(А,В,С) или Я(А,В,С) + Б(В) < Я(А,В) + Б(В,С). Это условие сильной адцитивности. (3) Вспомогательная система С, находящаяся в чистом состоянии ~0), и унитарный оператор П, действующий на пространстве составной системы ВС, позво- 636 Глава 11. Энтропия и информация лают промоделировать действие преобразования Е на систему В (гл.
8). Действие Б на систему В эквивалентно применению унитарного оператора У и выбрасыванию системы С. До применения У мы имели Я(А:В) = Я(А:В, С), поскольку система С находится в чистом состоянии. После применения У мы имеем Я(А'.В', С') = Я(А:В, С) (буквы со штрихами относятся к состоянию системы после применения У). Поскольку выбрасывание системы не увеличивает взаимную информацию, то Я(А':В') < Я(А'.В', С'). Подставляя сюда Я(А'.В', С'), найденное выше, мы получаем Я(А'.В') < Я(А:В), что и требовалось доказать. Существует также ряд интересных вопросов, связанных со свойствами субадцитивности квантовых условных энтропий. Как мы уже видели, шенноновская взаимная информация не субадцитвна, а, следовательно, и квантовая взаимная информация не субаддитивна.
Субаддитивна ли квантовая условная энтропия, т. е. выполняется ли неравенство: Я(Ам Аз~Вы Вз) < Я(А~~В~) + Я(Аз~Вэ) (11.115) для произвольных квантовых систем Ам Аз, В~ и Вэ? Оказывается, что это неравенство справедливо. Более того, условная энтропия субадцитивна по первой (Ам Аз) и второй (Вм Вэ) паре аргументов. Доказательство этих фактов является хорошим упражнением по применению свойства сильной субэдцитивности.
Теорема 11.16 (субаддитивность условной энтропии). Для составной квантовой системы АВСР условная энтропия Я(А, В~С, Р) является совместно субадцитивной по аргументам АВ и СР: Я(А, В)С,Р) < Я(А(С) + Я(В)Р). (11.116) энтропии Для составной квантовой системы АВС условные Я(А, В~С) и Я(А~В, С) являются субаддитивными: Я(А, В)С) < Я(А~С) + Я(В(С), Я(А)В, С) < Я(А~В) + Я(А(С). (11.117) (П.118) Я(А,В,С,Р) +Я(С) < Я(А,С) + Б(В,С,Р). (11.119) Прибавляя к правой и левой частям Я(Р), получаем Я(А, В, С, Р) + Я(С) + Я(Р) < Я(А, С) + Б(В, С, Р) + Б(Р).
(11.120) Применяя свойство сильной субадцнтивности еще рэз, преобразуем два послед- них слагаемых в правой части: Я(А, В, С, Р) + Я(С) + Б(Р) < Я(А, С) + Б(В, Р) + Я(С, Р). (11.121) Домазагпельсгпво. Для доказательства совместной субадднтивности заметим, что из сильной суб- аддитнвности следует неравенство 11.4.
Сильная субаддитивность 637 Это неравенство эквивалентно следующему: Я(А,В)С,Р) < Я(А(С) + Я(В)Р), (11.122) что доказывает совместную субэддитивносгь условной энтропии. Субадцитивность условной энтропии по первому аргументу, Я(А, В~С) < Я(А~С)+Я(В~С), эквивалентна сильной субаддитивности.
Доказательство субаддитивности по второму аргументу несколько сложнее. Нужно доказать, что Я(А~В, С) < Я(А~В) + Я(А~С). По определению условной энтропии, это эквивалентно неравенству Я(А, В, С) + Я(В) + Я(С) < Я(А, В) + Я(В, С) + Я(А, С). (11.123) Для его доказательства заметим, что должно выполняться хотя-бы одно из неравенств Я(С) < Я(А,С) или Я(В) < Я(А, В), поскольку согласно теореме 11.14 мы имеем Я(А~В) + Я(А~С) > 0 (первое утверждение теоремы).
Допустим, что Я(С) < Я(А, С). Если прибавить к этому неравенству неравенство сильной адцит нос Я(А, В, С)+Я(В) < Я(А, В)+Я(В,С), то получим неравенство (11.123). Случай Я(В) < Я(А, В) рассматривается аналогично. ° При нашем первом знакомстве с относительной энтропией мы упомянули, что ее можно рассматривать как меру различия между двумя распределениями вероятностей, или между двумя матрицами плотности.
Допустим, что квантовая система состоит из двух частей А,В и рассмотрим произвольные матрицы плотности рлв и сглл, описывающие состояние всей системы. Если ЯН~ ) действительно является хорошей мерой различия, можно ожидать что она уменьшается при выбрасывании части системы, т. е.
что (11.124) Это неравенство выражает монотонность относительной энтропии. Его смысл состоит в 'том, что выбрасывание части составной системы (т. е. игнорирование части информации о системе) затрудняет различение двух состояний системы (см. также подразд. 9.2.1), и, следовательно, уменьшает любую разумную меру различия состояний.
Теорема 11.1У (монотоиность относительной энтропии). Пусть рлл и и в — произвольные состояния составной системы АВ. Тогда (11.126) Я(р 'Оп ) < Я(р !!и ). Доиазагпельсгпео. Согласно упр. 11.19, мы можем подобрать такие унитарные операторы У и вероятности р, что для всех рлв будет выполняться равенство (11.126) 638 Глава 11.
Энтропия и информация Из выпуклости относительной энтропии следует что (11.127) Относительная энтропия инвариантна относительно унитарных преобразова- ний, поэтому Я(р*З-~~ "З-) <г экие ~~ . ~=В(< 1" ~. (11128) Как неслохаю убедиться, и, таким образом, монотонность относительной энтропии доказана. Задача 11.1 (обобщенное неравенство Клейна). Пусть )'( ) — произвольная выпуклая вещественная функция от вещественной переменной. Как объяснялось в подрезд. 2.1.8, у(.) можно также рассматривать как функцию на множестве эрмитовых операторов.
Докажите, что СгЩА) — )(В)) ) 1г((А — В)~'(В)). (11.130) Используя этот результат, покажите, что относительная энтропия неотрица- тельна. Задача 11.2 (обобщенная относительная энтропия). Определение относительной энтропии Я(гОз) можно рассматривать в более широком смысле, считая что г и з — произвольные положительные операторы, Я(гОз) ги 1г(г 1об г) — Сг(г 1о8 з). (11.131) Данное выше доказательство совместной выпуклости относительной энтропии непосредственно применимо к этому обобщенному определению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
