М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 148
Текст из файла (страница 148)
'Упражнение 11.13 (энтропия тензорного произведения). Используя теорему о совместной энтропии, покажите что Я(рЭа) = Я(р) + Я(п). Докажите эту формулу непосредственно из определения энтропии. По аналогии с шенноновской энтропией, для составных систем можно определить квантовую совместную энтропию и условную энтропию, а также взаимную информацию. Совместная энтропия для составной системы из двух компонент А и В определяется очевидным образом: Я(А, В) =— — Фг(р 4в 1о8 (рлл)), где рлв — матрица плотности системы АВ. Условная энтропия и взаимная информация определяются как 626 Глава 11. Энтропия и информация Я(А~В) и Я(А, В)-Я(В) (11.62) Я(А: В) яэ Я(А) + Я(В)-Я(А, В) (11.63) — Я(А) — Я(А~В) = Я(В) — Я(В)А). (11.64) Некоторые свойства шенноновской энтропии оказываются нарушенными для энтропии фон Неймана, что представляет большой интерес для квантовой теории информации.
Например, для любых случайных величин Х и У еправедливо неравенство Н(Х) < Н(Х, у). Оно совпадает с нашим интуитивным представлением: неопределенность состояния Х не может быть больше неопределенности совместного состояния Х и У. Однако в квантовом случае такое интуитивное представление ошибочно.
Рассмотрим составную систему из двух кубитов АВ, находящуюся в запутанном состоянии ()00) + ~11) )/~Г2. Поскольку это состояние чистое, то Я(А, В) = О. Однако система А находится в смешанном состоянии 1(2, энтропия которой равна 1. Другими словами, для данной системы условная энтропия отрицательна, Я(В~А) = Я(А, В) — Я(А) < О. упражнение 11.14 (знпутинность и отрицательная условная энтропия). Пусть |АВ) — чистое состояние составной системы, принадлежащей Алисе и Бобу.
Покажите, что ~АВ) является запутанным состоянием тогда и только тогда, когда Я(В~А) < О. 11.3.3 Измерения и энтропия Попробуем понять, что происходит с энтропией, когда над системой производится измерение. Естественно, что ответ на этот вопрос зависит от того, какого типа измерение выполняется. Однако, существуют и довольно общие закономерности, регламентирующие поведение энтропии при измерениях.
Предположим, например, что над квантовой системой производится проективное измерение с проекторами Р;, причем результат измерении нам не сообщается. Если до измерения система находилась в состоянии р, то после измерения она будет в состоянии р' = ~ Р;рР;. с (11.65) (11.66) причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда р' = р. Как мы сейчас увидим, в результате этой процедуры энтропия не может уменьшиться.
Кроме того, энтропия остается неизменной, если состояние не меняется при измерении. Теорема 11.9 (проективные измерения увеличивают энтропию). Пусть Р; — полный набор ортогональных проекторов, а р — некоторая матрица плотности. Тогда энтропия состояния системы после измерения р' эв 2,',. Р,рР; не может быть меньше энтропии начального состояния р, 11.3. Энтропия фон Неймана 627 Донна атель сгпво.
Доказательство основывается на неравенстве Клейна для р и р'. 0 < В(рЦр') = -Б(р) — Сг(р 1од р'). (11.67) Нам достаточно доказать, что — Сг(р 1ой р') = Я(р'). Преобразуем правую часть этого Равенства, использУЯ свойство полноты 2 г Рг — — 1, соотношение Рр = Р; и инвариантность следа относительно циклических перестановок: — Сг(Р 1об Р') = — Сг ~~~ РгР 1о8 Р' — Сг ~> Р;р 1о8 р'Р; (11.68) (11.69) Заметим, что фРг = Р;рР; = Ргр'.
Таким образом, Р, коммутирует с р', а значит, и с 1оя р', так что получаем — Сг(р1обр') = — Сг ~~~ Р~рРг1обр' г (11.70) — Сг(р'1ойр') = Я(р'). (11.71) Теорема доказана. Упражнение 11.15 (обобщенные измерения могут уменьшить энтропию). Рассмотрим обобщенное измерение, описываемое операторами Мг = 10) (0~ я Мэ = ~0)(Ц. Если измерение производится над кубитом в сосгоянии р и результат измерения нам не известен, то после измерения состояние кубита будет МгрМ, + МзрМэ.
Покажите, что такая процедура может уменьшить энтропию кубита. 11.3.4 Субнддитивпость Рассмотрим составную квантовую систему АВ, находящуюся в состоянии рлн. Мы покажем, что для совместной энтропии этой системы выполняются следу- ющие неравенства: В(А, В) < Я(А)+Я(В), Я(А, В) > 1Я(А)-Я(В)~. (11.72) (11.73) Первое из этих неравенств выражает свойство субаддитивности энтропии фон Неймана. Оно превращается в равенство тогда и только тогда, когда системы А и В нескоррелированы, т.
е. рлв = рл 8 рв. Соотношение (11.73) называется неравенством треугольника, или неравенством Арани-Либо. Оно является квантовым аналогом классического неравенства Н(Х, У) > Н(Х) для шеиноновской энтропии. 628 Глава 11. Энтропия и информация Для доказательства неравенства субаддитивности воспользуемся неравенством Клейна Я(р) < — 1г(р!о8»г).
Положив р ги рл~, а»г эз р'» ® рз, мы замечаем, что — »л(р 1о8»г) = — »г(р" н(1од р "+ 1о8 рн)) — Ы,р 1обр ) — Ъг(р 1одр ) Я(А)+Я(В). (11.74) (11.76) (11.76) Я(В)+Я(А) > Я(А, В). (11.77) Поскольку составная система АВВ находится в чистом состоянии, то Я(А, В) = Я(В), а Я(В) = Я(А, В). Поэтому неравенство (11.77) может быть переписано как Я(А, В) > Я(В) — Я(А).
(11.78) Условия, при которых оно превращается в равенство, устанавливаются не так просто, как для неравенства субвдцитивности. Формально условие равенства состоит в том, что р~~ = р ® рн. Интуитивно понятно, что это означает то, что система А запутана с внешним миром за счет корреляций с системой В. Строгая математическая формулировка этого условия предлагается читателю ниже в качестве упражнения 11.16. В силу симметрии между системами А и В справедливо также неравенство Я(А, В) > Я(А) — Я(В), что с учетом неравенства Я(А, В) > Я(В) — Я(А) доказывает неравенство треугольника.
Упражнение 11.16 (условие равенства Я(А, В) = Я(В) — Я(А)). Рассмотрим спектральное разложение»»г»~ = 2 '» Л»~»)(»~ матрицы плотности р~~. Покажите, что Я(А,В) = Я(В) — Я(А) тогда и только тогда, когда операторы р4 = 1гз(Я(»~) имеют общий набор собственных векторов, а носители операторов рн = 1гл(~»)(»О ортогонзльны. 'Упражнение 11.17. Приведите нетривиальный пример состояния р.4л составной системы АВ, для которого Я(А, В) = Я(В) — Я(А). 11.3.5 Вогнутость энтропии Энтропия является вог»»ушой функцией своего аргумента. Это значит, что если дано распределение вероятностей р» (неотрицательных вещественных чисел, таких, что 2» р» = 1) и набор матриц плотности р», то энтропия удовлетворяет неравенству Б ~» р»р» > Я,р»~(р»).
(11.79) Из неравенства Клейна следует, что Я(А,В) < Я(А) + Я(В). Заметим, что неравенство Клейна превращается в равенство при р = »г и, следовательно, неравенство субаддитивности превращается в равенство при р~~ = р»З р~. Для доказательства неравенства треугольника введем вспомогательную систему Я, расширяющую составную систему АВ до чистого состояния (рзэд. 2.5). Используя свойство субаддативности, получаем 11.3. Энтропия фон Неймана 629 Интуитивно понятно, что 2„; р;р; описывает квантовую систему, которая находится в состоянии р; с вероятностью р;, и что неопределенность относительно этой смеси состояний должна быть больше, чем средняя неопределенность по всем состояниям р,, поскольку неопределенность состояния ),.
р,р; имеет два источника неопределенности: неопределенность состояния р; и неопределенность индекса «1 Пусть р; являются состояниями системы А. Введем еспомогаглельиую систему В, базисные состояния ~«) которой нумеруются индексом «, тем же самым что и у рь Определим совместное состояние системы АВ формулой АВ ~"' ® о1) (1~ (11.80) Теперь для доказательства вогнутости мы можем применить субаддитивносгь энтропии. Для составной системы АВ в состоянии рли можно записать Я(А) = Я ~~~ р;р; Я(В) = Я ~~~ р*~»)(«~ = Н(р1), (11.81) (11.82) В(А В) = В(Р1) + ~~' Р1В(Р1).
(11.83) Применяя неравенство субаддитивности Я(А, В) < Я(А) + Я(В), получаем ~реВ(р) <В(~~ р*р* 1 1 (11.84) Это то, что нам нужно. Заметим, что равенство имеет место тогда и только тогда, когда все состояния р;, для которых р; > О, совпадают друг с другом. Таким образом, энтропия является строго вогнутой функцией своего аргумента. Следует сказать несколько слов относительно стратегии, которую мы использовали при доказательстве вогнутости энтропии, а также неравенства треугольника.
Мы вводили вспомогательную систему В для того, чтобы доказать некоторое утверждение о системе А. Введение вспомогательных систем в квантовой1теории информации используется довольно часто, и мы будем это делать еще много раз. Система В вводится потому, что мы хотим найти систему, одна из частей которой находится в состоянии 2 „р;р;, причем значение 4 не известно. Система В служит для хранения «истинного» значения г. Если «истинное» состояние А есть р;, то система В находится в состоянии ~г) (1 ~, причем мы можем узнать г, производя измерение над В. Использование вспомогательных систем позволяет превратить интуитивные соображения в строгие доказательства и является очень полезным инструментом в квантовой теории информации.
Ъгпражнение 11.18. Докажите, что (11.79) превращается в равенство тогда и только тогда, когда все состояния р; совпадают. 630 Глава 11. Энтропия и информация Упражнение 11.19. Предложите набор унитарных операторов У и распределение вероятностей р, такие, что для любого оператора А выполняется равенство р;У;(11 = 1г(А)-, (11.85) 'Упражнение 11.22 (другое доказательство вогиутости). Положим 1(р) = Я(рр+ (1 — р)п). Покажите что для вогнутости энтропии достаточно выполнения условия 1л(р) < О.
Докажите, что 1" (р) < О, сначала считая, что р и о. обратимы, а затем для случая, когда они не обратимы. 11.3.6 Энтропия смеси квантовых состояний С помощью свойства вогнутости можно получить полезную теорему, которая устанавливает верхнюю оценку для энтропии смеси квантовых состояний Я,.р;р;. Объединяя этот результат с полученной ранее нижней оценкой, мы получаем следующие неравенства для энтропии смеси 1 ',.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
