М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 151
Текст из файла (страница 151)
1. Покажите, что для любых а„б ) 0 Я(атОЯЗ) = аЯ(г~Яз) + с<юг(г) 1об(а/13). (11.132) 2. Исходя из совместной выпуклости относительной энтропии, докажите субадцитивность относительной энтропии, т. е. что Я(г~ + гзпзь + зг) < Я(г~~~зг) + Я(гз~~зэ). (11.133) 3. Исходя из субеддитивности относительной энтропии, докажите совместную выпуклость относительной энтропии. 11.4. Сильная субаддитивность 639 4. Пусть р; и д~ — произвольные распределения вероятностей. Покажите, Я г р;тф ~~~ вяв; < ~~~ рюЯ(г;(~в;) + ~ р; сг(г;) 1о3(р;/вя).
(11.134) Заметим, что если операторы г; нормированы так, что Фг(г;) = 1, это выражение принимает очень простой вид Я (~ р;г,"11 ~~~ у<в,~ < ~~~ р;Я(г;)(в;) + Н(р;Йвя), (11.135) / г -где Н( ~ ~ ) — шенноновская относительная энтропия.
Задача 11.3 (аналог неравенства треугольника для условной энтро- пии). 1. Покажите что Н(Х, г 1Я) > Н(Х 1Е). 2. Покажите что неравенство Я(А, В~С) > Я(А!С) не всегда верно. 3. Докажите аналог неравенства треугольника для условной энтропии, т. е. что Я(А, В)С) > Я(А)С)-Я(В~С). (11.136) Задача 11.4 (условные формы сильной субаддитивности). (1) Докажи- те, что Я(А,В,С~Р) + Я(В1Р) < Я(А,В~Р) + Б(В,Сф). (2) Покажите на примере, что неравенство Н(Р)А, В, С)+Н(Р(В) < Н(ЦА, В)+ Н(Р~В, С) не всегда верно. Задача 11.5 (исследование сильной субаддитивности). Предложите про- стое доказательство сильной субаддитивности для квантовой энтропии. Краткое содержание главы ° Любую фундаментальную меру информации можно определить как количество физических ресурсов, необходимое для решения некоторой задачи по обработке данных.
° Основные определения: (энтропия) (втиносительная энтропия) (условная энтропия) (вэаимная информация) Я(А) = — гг(рл 1ойрв), Я(рЦо) = -Б(р) — Мр1ойа), Я(А1В) = Я(А,В) — Я(В), Я(А:В) = Я(А) + Я(В) — Я(А, В). 640 Глава 11. Энтропия и информация ° Сильная субаддитивностьп 8(А, В, С)+В(В) < В(А, В)+В(В, С). Другие неравенства для энтропии выводится из этого неравенства и свойства совместной выпуклости относительной энтропии. ° Относительная энтропия является совместно выпуклой функцией от своих аргументов. ° Относительная энтропия монотонна: В(рл[]ал) < о'(р'~н]]п'~в).
История и дополнительная литература Исторически, понятие энтропии возникло в исследованиях по термодинамике и статистической физике. Современный теоретико-информационный интерес к энтропии был инициирован работами Шеннона по теории информации (353). Для общего ознакомления со свойствами шенноновской энтропии (и другими вопросами теории информации) хорошо подходит учебник Ковера и Томаса (106), главы 2 и 16. Всестороннее обсуждение энтропии фон Неймана можно найти в обзоре Верля [413], а также в книге Огня и Пеца (308). Энтропийный принцип неопределенности рассматривался в работе Дойча ]116).
Энтропийные соотношения неопределенностей изучались также во многих других работах, и здесь мы упомянем лишь два интересных результата. Соотношение неопределенностей, усиливавшее неравенство Дойча для некоторых специальных измерений, было предложено Краусом (230] и затем доказано в работе Маассена и Уффинка [297). Понятие относительной энтропии было введено Куллбэком и Лейблером [215), а его квантовый аналог был предложен Юмегаки (396]. Неравенству Фаине посвящена работа [145]. Неравенство Клейна доказанно в работе (218]. Неравенство треугольника доказали Араки и Либ [11].
Интересную историю имеет неравенство сильной субадцитивносги. Впервые важность классической сильной субаддитивности для статистической фпзпки была отмечена Робинсоном и Рюэллем (341]. Квантовая версия сильной субаддитивности появилась в 1968 г.
в качестве гипотезы в работе Ланфорда и Робинсона (264]. Однако доказать этот факт не удавалось довольно долго. Соответствующая теорема была доказана только в 1973 г. в двух работах: в работе Либа [243] — теорема Либа, и в работе Либа и Рускаи [266) — неожиданная связь между сильной субаддитивностью и теоремой Либа; см. также [265). Теорема Либэ является обобщением гипотезы ВигнераЯнасе-Дайсона, которую предложили в 1963 г. Вигнер и Янаев (422], а затем обобщил Дайсон (неопубликовано). Удивительно, что вплоть до 1973 г. никто не предполагал существование связи между гипотезой Вигнера-Янасе-Дайсона и сильной субаддитивностью. Обсуждение гипотезы Вигнера-Янасе-Дайсона содержится в работе Верля [413].
Приведенное в данной главе доказательство теоремы Либа принадлежит Саумону (358) и является вариантом доказательства предложенного Ульманом ]395). Существуют и другие доказательства этой 11.4. Сильная субаддитивность 641 теоремы, см. например Эпштейна [144), Андо [16) и Пец [321]. Субадцитивность относительной энтропии по первому и второму аргументу была доказана в работе Либа [244).
Доказательство совместной субэдцитивности квантовой условной энтропии содержится в работе Нильсена [303]. Монотонность относительной энтропии была впервые замечена Линдбладом [246]. Задача 11.2 предложена Руслан [343]. эь кввнааы виюле Глава 12 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ Классическая теория информации в основном изучает проблему передачи классической информации — букв алфавита, речи, битовых строк — по каналам связи, работающим по законам классической физики.
Как изменится картина, если мы сможем построить квантовомеханические каналы связи? Сможем ли передавать информацию более эффективно? Можем ли мы применить квантовую механику для передачи секретной информации так, чтобы секретные данные не перехватили? Это только два вопроса из тех, которые возникают, если считать, что каналы связи квантовомеханические. При таком определении канала мы вынуждены пересмотреть фундаментальные вопросы, поставленные классической теорией информации в поисках новых ответов. В этой главе будет дан обзор того, что известно о квантовой теории информации, в том числе некоторые неожиданные и интригующие возможности, появляющиеся при использовании квантовых каналов связи. Изучение каналов связи способствует развитию квантовой теории информации, но область ее применения гораздо шире. Как показано в равд.
1.6, можно выделить три фундаментальные цели, придающие единство работе над квантовой теорией информации: определение элементарных классов статических ресурсов в квантовой механике (которые мы называем типами «информации»); определение элементарных кдассов динамических процессов в квантовой механике (методов «обработки информации»); определение количества ресурсов, необходимых для выполнения элементарных динамических процессов. Квантовая теория информации гораздо богаче, чем классическая теория информации, поскольку квантовая механика оперирует множеством элементарных классов статических и динамических ресурсов — не только знакомыми всем классическими типами, но и абсолютно новыми классами, как например, статический ресурс запутанности.
Глава называется «Квантовая теория информации», и может показаться удивительным, что мы надеемся представить все аспекты теории квантовой информации в одной главе? В самом деле, квантовая теория информации охватывает не только рассмотренные здесь вопросы, но и множество тем, подробно изложенных в предыдущих главах, включая изучение квантовых преобразова; ний, определение и изучение мер различия квантовой информации, квантовые коды, исправляющие ошибки, и различные представления энтропии.
Цель этой главы — описать квантовую теорию информации в ее «чистом» виде; остальные главы посвящены разработке специальных средств, тогда как здесь мы имеем дело с самыми общими формулировками, которыми можно определить свойства квантовой информации. 12.1. Различение квантовых состояний и доступная информация 643 В равд. 12.1 мы начнем с обсуждения на языке теории информации некоторых свойств квантовых состояний, уникальных по сравнению с классическими состояниями.
Квантовые состояния не только невозможно копировать, их вообще невозможно точно различить! Количественно это описывается с помощью границы Холево. В равд. 12.2 мы рассмотрим элементарную теоретико- информационную задачу сжатия дани»»т и покажем, что кяантовые состояния можно сжимать подобно классическим. При этом будут параллельно использоваться теорема о типичных последовательностях и теорема о типичном подпространстве, чтобы доказать теорему Шумахера о кодироеанпи для квантового канала без шума, аналогичную теореме Шеннона о кодировании для классического канала без шума.
Естественным обобщением этой пробле. мы является задача о пропускной способности квантового канала с шумом для классической информации и в равд. 12.3 мы докажем теорему ХолевоШумахера-Вестморланда, аналогичную теореме Шеннона о кодировании для классического канала с шумом. Самой сложной является задача о пропускной способности квантового канала с шумом для квантовой информации.
Это тема равд. 12.4, в котором дается определение обменной энтропии, рассматриваются квантовое неравенство Фане и квантовое неравенство обработки данных, однако, вопрос о пропускной способности так и остается открытым. В этом разделе также представлены квантовая граница Синглтона и «заклинание» демона Максвелла.
В начале следующего раздела дается сводка основных результатов первой половины этой главы. Два вопроса — Запутанность и неортогональность — обсуждаются на протяжении всего нашего исследования квантовой информации и являются объектами изучения двух последних разделов этой главы. В равд. 12.5 запутанность состояний рассматривается как физический ресурс и объясняется, каким образом можно преобразовать, очистить и разбавить запутанность. И, наконец, равд. 12.6 посвящен квантовой крипо«ографпи, обеспечивающей безопасную связь на основе многих свойств квантовой информации, рассмотренных в этой главе. 12.1 Различение квантовых состояний и доступная информация Есть простая игра, в которую мы можем сыграть, чтобы проиллюстрировать значительные различия между квантовой и классической информацией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
