М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 149
Текст из файла (страница 149)
р;р; квантовых со- стояний р;: ~~~,Б(р) < Я ~~~ рьр~ < ~~>,рЯ(р;)+Н(р.) (11.86) а / а Неравенство справа выражает то, что неопределенность состояния '>,, р;р; не может быть больше, чем сумма средней неопределенности по всем состояниям р; и величины Н(р;), представляющей максимально возможную неопределен- ность относительно значения индекса 1. Теперь докажем зто неравенство.
Теорема 11.10. Пусть р = ~,, р,р;, где р; — произвольное распределение ве- роятностей, а р; — любые матрицы плотности. Тогда Н(р) <'Яр;З(р,) + Н(р;), (11.87) причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда носители всех опе- раторов р; ортогональны. где 8 — размерность пространства состояний, на котором действует А. Используя этот факт и строгую вогнутость энтропии, докажите еще одним способом, что однородное состояние 1/а в пространстве размерности 8 является единственным состоянием с максимальной энтропией. Упражнение 11.20. Пусть Р и Я = 1 — Р— два проектора на дополняющие друг друга подпространства.
Докажите, что существуют такие унитарные операторы 11м 11э и вероятность р, что для любого р выполняется равенство РрР + ЯрЯ = р0~ рУ~ + (1 — р) 11эр11з'. Используя этот факт и вогнутость энтропии, докажите теорему 11.9. 'Упражнение 11.21 (вогнутость шеиноновской энтропии).
Докажите вогнутость шенноновской энтропии исходя из вогнутости энтропии фон Неймана. 11.4. Сильная субаддитивность 631 (АВ) вэ ~~~ ~/р;)ф) р). в (11.88) Поскольку ~АВ) является чистым состоянием, мы заключаем, что $(В) = Я(А) = Я ~~~ р;(ф)(ф( = Б(р). (11.89) Выполним проективное измерение над системой В в базисе ~г). После измере- ния состояние системы В оказывается равным в' (11.90) Согласно теореме 11.9, энтропия не уменьшаегся при проективных измерениях, так что Я(р) = Я(В) < Я(В') = Н(р;). Поскольку состояния р; чистые и Я(р;) = О, можно записать В(р) < Н(р') + ~ р*В(р'). (11.91) Равенство в (11.91) имеет место тогда и только тогда, когда В = В'.
Квк легко увидеть, это означает, что состояния ~фД должны быть ортогональными. Рассмотрения случая смешанных состояний теперь не представляет труда. Пусть р; =,С р'.1е') (е' ~ — спектральное разложение состояний ри так что р = 2 ', р;р~.~е')(е'~ для состояния р. Применяя полученный выше результат для чистого состояния и учитывая, что 2 р1 = 1 для всех 1, получаем Я(р) < — ~~» р;р 1о8(р;р ) — р, 1обр; — ~~~ р; ~ р' 1ойр' в Ф = Н(р,)+~ рея(р;), с (11.92) (11.93) (11.94) что и требовалось. Условия равенства для смеси состояний получаются из усло- вий равенства для чистого состояния.
11.4 Сильная субаддитивность В этом разделе мы рассмотрим неравенство субадцитивности и неравенство треугольника для систем, состоящих из трех частей. Основной результат, который будет получен, это неравенство сильной субаддигвиеиосгви, являющееся Доиазатпельсгпво. Предположим сначала что все состояния р; чистые, р; = ~9Д(ф, ~. Считая, что р; — состояния системы А, введем вспомогательную систему В, базисные ор- тонормированные состояния Ц которой нумеруются тем же индексом 1, что и вероятность рь Положим 632 Глава 11. Энтропия и информация чрезвычайно важным и полезным для квантовой теории информации: Б(А, В, С) + Б(В) < Б(А, В) + Б(В, С). (11.95) Здесь А, В, С вЂ” произвольная тройка квантовых систем.
К сожалению, в отличие от классического аналога квантовая субаддитивность доказывается довольно сложно. Однако она настолько полезна для квантовой теории информации, что мы сочли нужным привести доказательство этого результата. Общая схема доказательства дана в подрэзд. 11А.1, а некоторые его детали приведены в Приложении 6. 11.4.1 Доказательство сильной субаддитиниости Для доказательства сильной субаддитивности мы привлечем глубокий математический результат, известный как теорема Либа.
Прежде, чем сформулировать ее, введем одно новое определение. Пусть г'(А, В) — вещественная функция от двух матриц А, В. Будем называть 1' совместно вогнутой по А и В, если для О < Л < 1 выполняется неравенство ДЛАь + (1 — Л)Аг, ЛВь + (1 — Л)Вг) ) Л1(Аь Вг) + (1 — Л)1(Аг, Вг). (11.96) 'Упражнение 11.23 (совместная вогнутость и вогнутость по каждой переменной). Докажите, что совместно вогнутая функция у(А, В) является также вогнутой по переменной А при фиксированной переменной В.
Найдите пример функции двух переменных, которая вогнута по каждой из переменных, но не является совместно вогнутой. Теорема 11.11 (теорема Либа). Пусть Х вЂ” произвольная матрица и О < 1 < 1. Тогда функция У(А, В) =— Фг(Х~АсХВ~-с) (11.97) определенная на множестве неотрицательных определенных матриц, является совместно вогнутой по А и В. Доказательство этой теоремы приводится в Приложении 6. Используя теорему Либа мы выведем последовательность утверждений, приводящую в конечном счете к доказательству сильной субвддитивности.
Б то же время эти утверждения интересны и сами по себе. Первое из них — это выпуклость относительной энтропии. Теорема 11.12 (выпуклость относительной энтропии). Относительная энтропия Б(рОо) является совместно выпуклой по р и а. Донавангельспгео. рассыотрим функцию 1~(А, Х) аэ Сг(ХФАсХВ~-а) сг(Х1Х 4) (11.98) 11.4. Сильная субаддитивность 633 где А и Х вЂ” произвольные операторы, определенные на одном и том же про- странстве. Первое слагаемое является вогнутой функцией от А по теореме Ли- ба, второе слагаемое линейно по А, следовательно, 1А(А, Х) является вогнутой функцией от А. Пусть ЦА,Х) ге — )А=еЦА,Х) = Фг(Х1(1обА)ХА) — сг(Х1Х(1о8А)А).
(11.99) й й Замечая, что 1е(А, Х) = 0 и используя вогнутость 1А(А, Х) по А, получаем 1(ЛА +(1 Л)А Х) йю а( 1+( — ) г, ) а е Ь 1д(Ам Х) . 1а(Аю Х) = Л1(АыХ) + (1 — Л)1(Аю Х). (11.100) (П.101) (11.102) Таким образом, 1(А, Х) является вогнутой функцией от А. Определим блочные матрицы А [ )Х [ ]. (11.103) р ~~ — Э р = -Я(А, В) — Сг рлл 1о8 — Э р (11.104) — $(А, В) — Фг(р~ 1о8 р ) + 1о8 д (11.105) — — $(А)В) + 1обд.
(11.106) Таким образом, $(А~В) = 1о8Н вЂ” Б(ран~)1(й®рв). Вогнутость $(А~В) следует из совместной выпуклости относительной энтропии. Теорема 11.14 (сильная субадцнтивность). Для любой тройки квантовых систем А, В, С справедливы неравенства Я(А) + Я(В) < Я(А,С) + Я(В,С), Я(А, В, С) + $(В) < Я(А, В) + $(В, С). (11.107) (11.108) Как несложно проверить, 1(А, Х) = — $(р~ ~а), поэтому совместная выпуклость $(р~)о ) следует из вогнутости Х(А, Х) по А. Следствие 11.13 (вогнутость квантовой условной энтропии) Рассмот- рим составную квантовую систему АВ, состоящую из компонент А и В.
Услов- ная энтропия $(А~В) является вогнутой функцией от состояния рлв составной системы АВ. Донааательсгаво. Пусть а — размерность пространства состояний системы А. Заметим, что 634 Глава 11. Энтропия и информация Доказагпеавсгпео. Мы докажем первое неравенство, используя вогнутость условной энтропии, а затем покажем, что второе неравенство следует из первого (как несложно увидеть из доказательства, эти два неравенства эквиведентны друг другу).
Рассмотрим функцию Т(р~~~), определенную на состояниях составной системы АВС: Т(рлпс) вэ Я(А) + Я(В) — Я(А С) — Б(В С) = — Б(С~А) — Б(С~В) (11 109) Из вогнутости условной энтропии следует, что Т(рлзп) является выпуклой функцией от состояния рл~~. Далее, рассмотрим спектральное разложение состояния составной системы риз~ = ~, р;р)(1~. Из выпуклости функции Т следует, что Т(рлзо) < ~,р;Т(р)(Ц). Но для любого чистого состояния системы АВС мы имеем Я(А,С) = Б(В), Я(В,С) = Я(А) и, таким образом, Т®(зО = О. Следовательно, Т(рлзп) < О, т.
е. Я(А) + Я(В) — Я(А,С) — Я(В,С) < О, (11.110) что совпадает с первым неравенством, которое нужно было доказать. Чтобы доказать второе неравенство, введем вспомогательную систему В, расширяющую АВС до чистого состояния. Применяя уже доказанное неравенство, получаем (11.111) Б(В) + Б(В) < Б(В, С) + Б(В, С).
Но поскольку АВСВ находится в чистом состоянии, то Б(В) = Я(А, В, С), Б(В, С) = Я(А, В), поэтому неравенство (11.111) принимает вид Я(А,В,С)+Б(В) < Я(А,В)+ Б(В,С), (11.112) что и требовалось доказать. Упражнение 11.24. Мы доказали сильную субаддитивность как следствие неравенства Я(А) + Я(В) < Б(А, С) + Я(В, С). Покажите, что это неравенство в свою очередь является следствием сильной субадпитивностн. Упражнение 11.25. Мы доказали сильную субаддитивность как следствие вогнутости условной энтропии Б(А~В). Покажите, что вогнутость условной энтропии в свою очередь является следствием сильной субаддитивности. (Указанпе. Для решения этой задачи удобно ввести вспомогательную систему.) 11.4.2 Сильная субадцитнннпсть: основные применения Сильная субаддитивность и связанные с ней результаты имеют много полезных приложений для квантовой теории информации. В этом разделе мы рассмотрим несколько таких приложений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
