М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 153
Текст из файла (страница 153)
Величина, которая стоит в правой части неравенства (12.6), настолько полезна в квантовой теории информации, что получила название энтропии Холеео, и иногда обозначается как Х. Вставка 12.1. Теорема о невозможности копирования Можно ли сделать копию неизвестного квантового состояния? Как это ни странно, нельзя. Здесь мы приводим элементарное доказательство этого факта, которое раскрывает существенную причину, почему это невозможно. Предположим, что у нас есть квантовая машина с двумя слотами, обозначенными как А и В.
Слот А, слою даниэла, вначале находится в неизвест- 12.1. Различение квантовых состояний и доступная информация 647 ном, но чистом квантовом состоянии рр) . Это то самое состояние, которое должно быть скопировано в слот В, целевой сло»в. Мы предполагаем, что целевой слот изначально находится в некотором стандартном чистом состоянии )в). Следовательно, начальное состояние копирующего устройства имеет вид (12.1) Некоторое унитарное преобразование У производит процедуру копирова- ния, которая в идеальном виде выглядит так 'рр) ® )в) — «у((ф) х >г)) = ~ф) х ~ф). (12.2) Пусть данная процедура копирования выполняется для двух чистых со- стояний, 1Ф) и )<р). Тогда имеем П(ЮЕ! )) =ЮЭЮ, П(Ы) Е!э)) = М) Е М).
(12.3) (12.4) Взяв скалярное произведение этих двух уравнений, получим (Ф!ч) =((ФМ)) . (12.5) Но уравнение х = яв имеет только два решения, з = О и х = 1, так что, либо )9) = )~р), либо (ф и >~р) ортогональны. Следовательно, устройство копирования может копировать только те состояния, которые ортогональны друг другу и поэтому универсальное квантовое устройство копирования невозможно. Потенциальное квантовое устройство копирования не может, например, копировать кубитовые состояния >у1) = )0) и >»») = ((0) + )1))/~/2, поскольку эти состояния не ортогональны. Итак, мы показали, что невозможно точно копировать неизвестное квантовое состояние, используя унитарное преобразование.
Естественно возникает несколько вопросов. Что будет, если мы попробуем копировать смешанные состояния? Что произойдет, если допустить существование копирующих устройств, которые не унитарны? Что будет, если мы захотим допустить неточные копии, которые, тем не менее, «хорошо» соответствуют некоторым интересным мерам различия информации. Все эти вопросы уже были предметом многих исследований, см.
равд. «История и дополнительная литература» в конце главы. Краткий вывод этих работ таков: даже при использовании неунитарных копирующих устройств, копирование неортогональных чистых состояний невозможно без определенной потери информации. Подобные выводы верны также для смешанных состояний, хотя необходим более сложный подход для определения понятия копирования смешанного состояния. 648 Глава 12. Квантовая теория информации Доказан»ель оп»во.
Гранину Холево можно доказать с помощью простого и красивого построения, включающего три квантовые системы, которые мы обозначим как Р, Ч и М. Система Я вЂ” квантовая система, которую Алиса предоставляет Бобу; Р и М вЂ” вспомогательные системы, которые вводятся, чтобы облегчить доказательство, как это сделано при доказательстве многих энтропийных неравенств в гл. 11. Систему Р можно интуитивно рассматривать как систему «приготовления». По определению, она имеет ортонормированный базис ~я), элементы которого соответствуют возможным вариантам О,..., п приготовления квантовой системы Я. Система М интуитивно может быть представлена как «измерительное устройство» Боба с базисом ~у), элементы которого соответствуют возможным результатам измерения 1,..., п, которое делает Боб. Предполагается, что начальное состояние общей системы можно представить в виде р~™ = ~~~ р,/з)(з/ Э р«Э /0)(0!, (12.7) где мы записываем разложение тензорного произведения в порядке РЯМ.
Интуитивно понятно, что это состояние соответствует ситуации, когда Алиса выбрала значение х с вероятностью р, приготовила соответствующее р и передала его Бобу, который собирается использовать свою измеряющую аппаратуру, изначально находящуюся в стандартном состоянии ~0), для проведения измерений. Введем квантовое преобразование Я, которое действует только на системы Я и М (но не на Р), обеспечивая измерение с РОМ элементами (Еэ') над системой Я и запоминание результата этого измерения в системе М: Я(иЭ (0)(0)) = ) ~/Еэп~/Е»Э (р)(р), (12.8) где п — любое состояние системы Я и ~0) — начальное состояние измеряющей аппаратуры. В следующем упражнении вы увидите, что с' является квантовым преобразованием, сохраняющим след. «гпрс жнение 12.2. Определим Уэ как унитарный оператор, действующий на систему М следующим образом: У (р') ш ~у'+у), где сложение производится по модулю я+1. Покажите, что (,,/ЕцЭ Пэ) — набор элементов, определяющих сохраняющее след квантовое преобразование Я, действие которого на состояния вида и Э (О) (О) согласуется с (12.8).
,Докажем границу Холево следующим образом. Используя штрихи для обозначения состояния РОМ после применения Я и обозначения без штрихов для состояний до применения Я, имеем Я(Р:Я = Я(Р:Я, М), так как М изначально некоррелирована ни с Р, ни с Я, и Я(Р:О„М) > Я(Р'.Ц', М'), поскольку применение квантового преобразования Я к ЯМ не может увеличить взаимную информацию Р с ЯМ (теорема 11.15), и, наконец, Я(Р'.Г)',М~) ) Я(Р'.М'), так как исключение систем не может увеличить взаимную информацию (тоже теорема П.15).
Соединяя все результаты, получаем Я(Р:М ) < Я(Р:Я). (12.9) 12.1. Различение квантовых состояний и доступная информация 649 Это неравенство после несложных алгебраических преобразований превращается в гранину Холево. Сначала рассмотрим правую часть неравенства. Заметим, что р ~ = ~~~ р )х)(х) З р , (12.10) откудаследует, что Б(Р) = Н(р ), Я(14) = Я(р) и Я(Р,Я) = Н(р )+'~ „р«Б(р ) (в соответствии с теоремой 11.10). Таким образом, Б(Р:Ф = Б(Р) + БЮ) — Б(РА) = Б(р) — Я р*Б(р*) (12 11) р = ~~~ р(х, р))х)(х! Э )у)(у(, (12.13) откуда Б(Р'.М') = Н(Х У), а это как раз то, что нам нужно! Итак, граница Холево доказана! 12.1.2 Примеры применения границы Холево Граница Холево — краеугольный камень в доказательстве множества резуль- татов квантовой теории информации.
Рассмотрим несколько примеров исполь- зования этого важного неравенства. Напомним теорему 11.10, которая утвер- ждает, что Б(р) — ~р.Б(Р,) < Н(Х), (12.14) причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда носители состояний р«ортогональны. Допустим, что носители состояний р«не ортогональны, так что неравенство в (12.14) строгое. Тогда из границы Холево следует, что Н(Х:У) строго меньше Н(Х), и поэтому Боб не может точно определить Х на основе своего результата измерения У. Таким образом, мы еще раз убеждаемся, что если состояния, приготовленные Алисой, не ортогональны, то Боб не может с уверенностью определить, какое состояние приготовила Алиса.
Пусть, например, Алиса приготавливает единственный кубит в одном из двух квантовых состояний в зависимости от того, что выпадет при бросании монеты. Если выпадет «орел», Алиса приготавливает состояние ~0), а если выпадег «решка», Алиса приготавливает состояние сов В)0) + вш В)1), где д — некоторый вещественный параметр. Отсюда следует, что в базисе (0), (1) р можно записать в виде а это и есть энтропия Холево! Теперь рассмотрим левую часть (12.9). Заметим, что р~'«~ = ) р,)х)(х)Э~/Ецр ~/Е»В)у)(р!. (12.12) Взяв след по системе Я' и используя то, что совместное распределение вероятностей р(х,у) для пары (Х,У) удовлетворяет равенствам р(х, у) = р р(у~х) = р, Ыр,Е„) = р Ы~/Е„р,;/Е„), получаем 660 Глава 12.
Квантовая теория информации 1 1 О 1 сов~ 0 сов 0зшд Р= +— 2 ~ О О ~ 2 ~ создз1пд з)пад (12.15) г ы м м ы м м м м м О/и Рис. 12 1. Энтропия Ханево Х как функция В, когда состояния )О) и сов В)0)+воз)1) яриготовле- ны с равными вероятностями. Отметим, что внтролия Ханево достигает максимума лри В = л/2, что соответствует ортогональным состояниям. Только в этой точке Боб мажет с уверенностью определить, какое состояние лриготовила Алиса. Границу Холево можно сделать более удобной для применения, используя неравенство Фзно (во вставке 12.2 приведен вывод неравенства). Допустим, что Боб делает предположение Х = /(У) о том, какое состояние приготовила Алиса, основываясь на результате своего измерения У и некотором правиле построения предположения, описываемом функцией /(.).
Тогда в соответствии с неравенством Фано и границей Холево, Н(тр(з уЗ Х)) + р(х ф Х) 106(~Х) — 1) > Н(Х)У) = Н(Х) — Н(Х:У) > Н(Х) — Х, (12.19) что позволяет установить, с какой точностью Боб может определить значение Х. Эвристически, чем меньше у, тем труднее Бобу установитгч какое состояние подготовила Алиса.
Это проиллюстрировано на рис. 12.2 для случая, когда Алиса приготавливает )О) с вероятностью 1/2 и сов 0)О) + з)яд)1) с вероятностью 1/2. При этом неравенство (12.19) сводится к Н(р(Х ф Х)) > 1 — у и Простое вычисление показывает, что собственные значения р есть (1 ш сов 0)/2 и, следовательно, энтропия Холево совпадает с двоичной энтропией Н((1 + соз д) /2) (рис. 12.1) . Отметим, что энтропия Холево достигает максимума (1 бит) при 0 = т/2, что соответствует случаю, когда Алиса приготавливает состояния, выбранные из ортогонального набора, и Боб может точно определить, какое состояние приготовила Алиса. Для остальных значений 0 энтропия Холево строго меньше, чем 1 бит, и Боб не может точно определить, какое состояние приготовила Алиса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
