Автореферат (1155101), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Власов, В.Ж. Сакбаев. О корректной разрешимости в шкале пространств Соболева некоторыхдифференциально-разностных уравнений. Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № 9. С. 1194-1202.46 В.В. Власов, В.Ж. Сакбаев. О разрешимости одного класса функционально-дифференциальных уравнений с опережающим аргументом в гильбертовом пространстве. Некоторые проблемы фундаметнальной и прикладной математики.М.: МФТИ. 1997. С. 72-823.47 Йаакбариех.
А, Сакбаев В.Ж. Представление формулами Фейнмана полугрупп, порожденных параболическимидифференциально-разностными операторами.ТРУДЫ МФТИ, 2012. Т. 4, № 4, С. 113-119.48 A. Tichonoff. Theoremes d’unicite pour l’equation de la chaleur. Мат. Сборник. 1935. Т. 42, № 2.
С. 199-216.–7–функциональное пространство Соболева с экспоненциальным весом, достаточные длякорректной разрешимости задачи с начальными условиями для ДРУ первого и второго порядков опережающего типа относительно числовой или векторной неизвестнойфункции.2. Определены условия на показатель экспоненциального веса пространства Соболева, выраженные в терминах корней характеристического многочлена, соответствующего дифференциально-разностному оператору, необходимые для корректной разрешимости задачи с начальными условиями для ДРУ опережающего типа.3. Для некоторых специальных постановок задачи с начальными условиями для ДРУвторого порядка опережающего типа без запаздывания установлена зависимость размерности пространства начальных данных, при которых задача имеет единственноерешение в пространстве Соболева с экспоненциальным весом, от величины коэффициентов при слагаемом с опережающим аргументом.4.
Доказана сходимость решений корректных задач с начальными условиями дляДРУ с фиксированной начальной функцией и переменными отклонениями аргументана величины h (запаздывание) и τ (опережение) к решению задачи Коши для ОДУ пристремлении к нулю параметров отклонения аргумента.Теоретическая и практическая значимость.Результаты диссертации развивают теорию линейных дифференциально-разностныхуравнений и могут быть применены в исследованиях задач оптимального управления.Методы диссертационного исследования.В диссертации используются методы теории линейных дифференциальных идифференциально-разностных уравнений, методы спектрального анализа линейныхоператоров, методы теории однопараметрических полугрупп линейных операторов.На защиту выносятся следующие положения диссертации:1.
Получены условия на коэффициенты дифференциально-разностного оператора ифункциональное пространство Соболева с экспоненциальным весом, достаточные длякорректной разрешимости задачи с начальными условиями для ДРУ первого и второго порядков опережающего типа относительно числовой или векторной неизвестнойфункции.2.
Определены условия на показатель экспоненциального веса пространства Соболева, выраженные в терминах корней характеристического многочлена, соответствующего дифференциально-разностному оператору, необходимые для корректной разрешимости задачи с начальными условиями для ДРУ опережающего типа.3. Для некоторых специальных постановок задачи с начальными условиями для ДРУвторого порядка опережающего типа без запаздывания установлена зависимость размерности пространства начальных данных, при которых задача имеет единственноерешение в пространстве Соболева с экспоненциальным весом, от величины коэффициентов при слагаемом с опережающим аргументом.4. Доказана сходимость решений корректных задач с начальными условиями дляДРУ с фиксированной начальной функцией и переменными отклонениями аргументана величины h (запаздывание) и τ (опережение) к решению задачи Коши для ОДУ пристремлении к нулю параметров отклонения аргумента.–8–Достоверность.Полученных результатов обеспечивается строгими математическими доказательствами.
Результаты находятся в русле современных исследований, проводимых другимиавторами.Апробация диссертационной работы.Основные результаты диссертации и отдельные ее части докладывались на научныхсеминарах:• На семинаре по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством профессора А.Л. Скубачевского, 17 мая 2016 года. И 14 апреля2017 года (РУДН).• На семинаре по спектральной теории дифференциальных операторов под руководством академика РАН, профессора В.
А. Садовничего, 16 ноября 2016 года (МГУ).• На научном семинаре кафедры математического моделирования НИУ "МЭИ"подруководством профессора А.А. Амосова и профессора Ю. А. Дубинского, 7 декабря2016 года.• На семинаре кафедры математического анализаим. М.В. Ломоносов (МГУ) подруководством профессора Прилепко Алексей Иванович, 23 марта 2017 года.• На семинаре кафедры прикладной математики под руководством профессора Б.Ю.Стренина и доц. А.Ю.
Савина, 6 апреля 2017 года (РУДН).Структура диссертации.Диссертация "Задача с начальными условиями для дифференциально-разностныхуравнений с опержением. " состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 36 наименований. Объем диссертации составляет 129 страниц.Содержание работыПервая глава "Задача с начальными условиями для дифференциально-разностногоуравнения(ДРУ) первого порядка".В первом разделе первой главы изучаются Дифференциально-разностного уравнения с опережением и запаздывания видаut (t) = au(t) + bu(t − h) + cu(t + τ ) + f (t),t > 0,(1.1)в котором a, b, c – вещественные постоянные, положительные постоянные τ, h являютсяотклонениями аргумента (опережением и запаздыванием соответственно), а f – заданная на полуоси R+ = (0, +∞) непрерывная числовая функция.
Требуется определитьнеизвестную числовую функцию u : (−h, +∞) → R, удовлетворяющую уравнению (1.1)и удовлетворяющих начальному условиюu(t) = φ(t),с заданной начальной функцией φ.–9–t ∈ (−h, 0)(1.2)Для каждого числа γ ≥ 0 через L2,γ (R+ ) обозначим пространство классов эквивалентности измеримых отображений u : R+ → C, для которых выполняется условиеe−γt u ∈ L2 (R+ ), наделенное нормойkukL2,γ (R+ ) = ke−γt ukL2 (R) .lЧерез W2,γ(a, b) при каждом l ∈ N обозначим пространство числовых функций наинтервале (a, b) со значениями в комплексной плоскости C таких, чтоujl (t) ∈ L2,γ (a, b), j = 0, 1, l = 1, 2, ...;с нормой(l) 2kL2,γ (a,b) + k u k2L2,γ (a,b) )1/2 ,k u kW2,γl (a,b) = (k uγ ≥ 0.Определение. Решением задачи Коши (1.1) – (1.2) будем называть функцию u ∈W21 (−h, +∞), которая удовлетворяет уравнению (1.1) почти всюду на интервале (0, +∞)и начальному условию (1.2) тождественно на интервале (−h, 0).В диссертации получены достаточные и необходимые условия корректной разрешимости задачи (1.1)–(1.2).
Исследовано влияние нарушения необходимых условий на нарушение существования и нарушение единственности решения. Исследовано предельноеповедение при (h, τ ) → (0, 0) решений задачи (1.1)–(1.2)Поэтому всюду далее если b = 0, то в условии (1.2) полагается h = 0. В диссертациипродолжено исследование статей [49 , 50 ], получены достаточные условия корректной разрешимости задачи (1.1)–(1.2)– указаны условия на весовую функцию шкалы весовыхпространств Соболева, при которых задача (1.1) – (1.2) имеет единственное решениев весовом пространстве, причем норма решения допускает оценку через норму неоднородного слагаемого уравнения (1.1) и норму начального условия (1.2).
Исследовано,к каким нарушениям корректности задачи (1.1)-(1.2) приводит нарушение условия навес.Положимbcω(γ) = e−γh+ eγτ, γ > 0.γ+aγ+aТеорема 1.1. Пусть ω(γ) < 1 на интервале (α, β) ⊂ R. Тогда если ϕ ∈ W21 ([−τ, 0])и f ∈ L2,γ (R+ ) при некотором γ ∈ (α, β), то задача с начальным условием (1.1) –1(1.2) имеет единственное решение u в пространстве W2,γ((−τ, +∞)), причем нормарешения допускает оценку1 ((−τ,+∞)) ≤ C[kf kL1kukW2,γ2,γ (R+ ) + kϕkW2 ([−τ,0]) ],(1.3)с постоянной C, не зависящей от выбора f ∈ L2,γ (R+ ) и ϕ ∈ W21 ([−τ, 0]).Пусть Ξ – множество решений характеристического уравнения λ = a + be−hλ + ceτ λ ,которое является счетным [51 ].49 В.В.
Власов, В.Ж. Сакбаев. О разрешимости одного класса функционально-дифференциальных уравнений с опережающим аргументом в гильбертовом пространстве. Некоторые проблемы фундаметнальной и прикладной математики.М.: МФТИ. 1997. С. 72-823.50 Йаакбариех. А, Сакбаев В.Ж. Корректность задачи с начальными условиями для параболических дифференциальноразностных уравнений со сдвигами временного аргумента. Известия вузов, 2015. № 4, С. 17-25.51 В. В.
Власов, Дж. Ву, Г. Р. Кабирова, Корректная разрешимость и спектральные свойства абстрактных гиперболических уравнений с последействием, СМФН, 2010, том 35, 44–59.– 10 –Определим числаâ = sup{Reλ : λ ∈ Ξ, Reλ < α},b̂ = inf {Reλ : λ ∈ Ξ, Reλ > β}.Теорема 1.2. Пусть ω(γ) < 1 на интервале (α, β) ⊂ R. Тогда если γ > b̂, то1однородная задача (1.1)–(1.2) имеет нетривиальное решение u ∈ W2,γ(−τ, +∞).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
