Автореферат (1155101), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Селицкий, А. Л. Скубачевский, Вторая краевая задача для параболического дифференциально-разностногоуравнения, Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 26, Изд-во Моск. ун-та, М., 2007, 324–34727 Л. В. Бородулина, Л. Е. Россовский. Разрешимость эллиптических функционально-дифференциальных уравненийсо сжатием аргументов в весовых пространствах. Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 26 (2007), 39–57–4–Объект исследованияДиссертационная работа посвящена исследованию задач с начальными условиямидля дифференциально-разностных уравнений на полупрямой или на полупространстведля комплекснозначных функций и для векторнозначных функций со значениями вгильбертовом пространстве.Рассматриваются линейные дифференциально-разностные уравнения на полупрямой для функции одной переменной, связывающие значения ее производной первого(или порядка k) в произвольной точке t полупрямой со значениями искомой функции(или ее млаадших производных) в конечной совокупности точек полупрямой, полученных из точки t с помощью операций сдвига на фиксированную вещественную величинуотклонение аргумента.dku(t) = Au(t) + Bu(t − h) + Cu(t + τ ) = f (t),dtkt > 0.(1)Здесь τ, h – положительные числа, u : [−h, +∞) → E – искомое отображение полуоси [−h, +∞) в некоторое гильбертово пространство E, f : [0, +∞) → E – заданноеотображение, A, B, C – заданные линейные оператоы в пространстве E (возможно,неограниченные).В зависимости от знака отклонения аргумента подразделяются, согласно предложенной в работах [28 ,29 ] на запаздывания (значения отклонений аргумента отрицательны)и опережения (значения отклонений аргумента положительны).Соответственно, дифференциально разностные уравнения для функции одной переменной на полуоси подразделяются на ДРУ порядка k и на уравнения запаздывающего,опережающего и опережающе-запаздывающего типов.
ДРУ нейтрального типа называют такие уравнения, которые связывают значения старших производных неизвестнойфункции в различных точках рассматриваемой полуоси, но такие уравнения в диссертации исследоваться не будут.Цель диссертационной работыСтавится задача найти набор условий на отображение u : [−h, → E), при выполнении которых найдется единственное отображение u : [−h, → E), удовлетворяющиив определенном смысле ДРУ (1). Следуя подходу работ Власова [30 ,31 ,32 ]в диссертацииk([−h, +∞), E) с экспоненцирассматриваются отображения u из класса Соболева W2,γγtальным весом e при некотором γ ∈ R.
Принадлежность отображения к указанномуклассу Соболева накладывает условия на его гладкость и на его асимптотическое поведение при t → +∞, то есть накладывает условие на бесконечно удаленной границеобласти определения искомого отображения.Для ДРУ (1) в правой δ-полуокрестности граничной точки −h области определения28 А.М. Зверкин, Г.А.
Каменский, С.Б. Норкин, Л.Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения с отклоняющимсяаргументом. 1962. Т. 17. УМН. № 2ю С. 77-164.29 А.Д. Мышкис. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения. Современная математика. Фундаментальные направления. 2003. Т. 4. С. 5-120.30 В.В. Власов, Д.А. Медведев.
Функционально-дифференциальные уравнения и связанные с ними вопросы спектральной теории. Современная математика. Фундаментальные направления. 2008. Т. 30,С. 3-173.31 В.В. Власов, К.И. Шматов. Корректная разрешимость уравнений гиперболического типа с последействием в гильбертовом пространстов.труды математического института им. В.А.Стеклова, 2003. т.243, с. 127-137.32 В.В. Власов, В.Ж. Сакбаев.
О корректной разрешимости в шкале пространств Соболева некоторыхдифференциально-разностных уравнений. Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № 9. С. 1194-1202.–5–искомого отображения при некотором δ > 0 ставится граничное условие видаu|[−h,−h+δ] = ϕ,(2),где ϕ – заданное отображение промежутка [−h, −h + δ] в пространство E.Степень разработанности исследованияРанее в работах [33 ,34 ] рассматривалась постановка задачи (1),(2) при δ = h+τ и быловыявлено счетное множество условий согласования для разрешимости такой задачи, а вработах [35 , 36 ] рассматривалась постановка задачи (1),(2) при δ = h и было определеноусловие на параметри γ веса пространства Соболева, при выполнении которого задача(1),(2) является корректной.Основы теория функционально-дифференциальных уравнений были во многомсформированы в работах [37 , 38 ] в которых была предложена классификация такихуравнений на уравнения запаздывающего, нейтрального и опережающего типов.Теория функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего и нейтрального типов в дальнейшем получила развитие с привлечением методов спектральнойтеории оператором и функциональных пространств в работах [39 ,40 ].Функционально-дифференциальные уравнения опережающего типа изучены в значительно меньшей мере, чем функционально-дифференциальные уравнения запаздывающего и нейтрального типов [ 41 ].Во многом это связано с некорректностью постановки задачи с начальным условиемна промежутке отклонения аргумента в таких уравнениях, требующей от начальногоусловия и правой части уравнения выполнения бесконечного множества условий согласования [42 ].Как было показано в работе [43 ] , для корректности постановки задачи с начальными данными следует задать начальные условия лишь на части промежутка отклоненияаргумена – на промежутке запаздывания аргумента (−h, 0).
Там же получены условия на коэффициенты уравнения (1.1) и параметры весового пространства Соболева,достаточные для корректной разрешимости задачи с начальными условиями в такоймодифицированной постановке.33 А.М. Зверкин, Г.А. Каменский, С.Б. Норкин, Л.Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения с отклоняющимсяаргументом. 1962. Т. 17.
УМН. № 2. С. 77-164.34 Г.А. Каменский, А.Л. Субачевский. Линейные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений. М.:Изд. МАИ. 1992.35 В.В. Власов, В.Ж. Сакбаев. О корректной разрешимости в шкале пространств Соболева некоторыхдифференциально-разностных уравнений. Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № 9. С. 1194-1202.36 Йаакбариех.
А, Сакбаев В.Ж. Представление формулами Фейнмана полугрупп, порожденных параболическимидифференциально-разностными операторами.ТРУДЫ МФТИ, 2012. Т. 4, № 4, С. 113-119.37 А.М. Зверкин, Г.А. Каменский, С.Б. Норкин, Л.Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения с отклоняющимсяаргументом. 1962. Т.
17. УМН. № 2ю С. 77-164.38 А.Д. Мышкис, Л.Э. Эльсгольц. Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимсяаргументом. УМН. 1967. Т. 22. № 2(134). С. 21–5739 В.В. Власов, Д.А. Медведев. Функционально-дифференциальные уравнения и связанные с ними вопросы спектральной теории. Современная математика. Фундаментальные направления. 2008.
Т. 30,С. 3-173.40 В.С. Рабинович. О задаче Коши для параболических дифференциально-разностных операторов с переменными коэффициентами. Дифф. ур-я. 1983. Т. 19. № 6. С. 1032–1038.41 А.Д. Мышкис. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения. Современная математика. Фундаментальные направления. 2003. Т. 4. С. 5-120.42 Г.А. Каменский, А.Л. Субачевский.
Линейные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений. М.:Изд. МАИ. 1992.43 Йаакбариех. А, Сакбаев В.Ж. Корректность задачи с начальными условиями для параболических дифференциальноразностных уравнений со сдвигами временного аргумента. Известия вузов, 2015. № 4, С. 17-25.–6–В работе [44 ] было установлено, что ДРУ опережающего типа допускают корректную постановку задачи с началными уловиями. В настоящей диссертационной работе,являющейся продолжением исследований [45 ,46 ] и [47 ], получены достаточные условиякорректной разрешимости задачи (1),(2) – указаны условия на весовую функцию шкалы весовых пространств Соболева, при которых задача (1),(2) имеет единственное решение в весовом пространстве, причем норма решения допускает оценку через нормунеоднородного слагаемого f уравнения (1) и норму начального условия ϕ из (2).
В работе показано, к каким нарушениям корректности задачи (1),(2) приводит нарушениеусловия на вес.В терминах спектра оператора задачи показано, что в случае весовых пространствСоболева со слишком быстро убывающим весом задача (1),(2) имеет в пространстве Соболева более одного решения. Наоборот, если весовая функция убывает слишком медленно, то в соответствующем пространстве Соболева может не найтись решения задачи(1),(2). В этом полученный результат аналогичен результату работы А.Н. Тихонова[48 ],в которой для шкалы функциональных пространств найдена граница корректной разрешимости задачи Коши для уравнения теплопроводности и установлено нарушениеединственности решения задачи Коши в более широких пространствах шкалы.Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:1.
Определить условия на коэффициенты дифференциально-разностного оператораи функциональное пространство Соболева с экспоненциальным весом, достаточные длякорректной разрешимости задачи с начальными условиями для ДРУ первого и второгопорядков опережающего типа.2. В терминах корней характеристического многочлена, соответствующегодифференциально-разностному оператору, определить условия на показатель экспоненциального веса пространства Соболева, необходимые для корректной разрешимостизадачи с начальными условиями для ДРУ опережающего типа.3. Определить зависимость пространства начальных данных задачи с начальнымиусловиями для ДРУ опережающего типа без запаздывания, допускающей корректнуюразрешимость в пространстве Соболева с экспоненциальным весом, от расположениякорней характеристического многочлена.4.
Доказать сходимость решений корректных задач с начальными условиями дляДРУ с переменными отклонениями аргумента на величины h (запаздывание) и τ (опережение) к решению задачи Коши для ОДУ при стремлении к нулю параметров отклонения аргумента.Научная новизнаВсе полученные в диссертации результаты являются новыми. Наиболее значимые изних:1. Получены условия на коэффициенты дифференциально-разностного оператора и44 Йаакбариех. А, Сакбаев В.Ж. Представление формулами Фейнмана полугрупп, порожденных параболическимидифференциально-разностными операторами.ТРУДЫ МФТИ, 2012. Т. 4, № 4, С. 113-119.45 В.В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
