Автореферат (1155101), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Если1γ < â, то не при всех начальных данных φ ∈ W2 ([−h, 0]), однородное уравнение ut =1au(t) + bu(t − h) + cu(t + τ ), t > 0 имеет решение из пространства W2,γ(−h, +∞).Во втором разделе первой глaвы мы исследуем дифференциально-разностные уравнения вида (1.1) с опережением без запаздывания – при условии b = 0.В этом случае начальные условия задаются в точке t0 = 0. В работе [52 ] были исследованы, в частности, вопросы постановки и корректной разрешимости задачи с начальными условиями для дифференциально-разностного уравнения видаut (t) = au(t) + cu(t + τ ) + f (t),t>0(1.4), гдеu(+0) = u0 .(1.5)Здесь τ > 0, f – заданная непрерывная числовая функция на области (0, +∞), а u– неизвестная числовая функция, областью определения которой является множество(0, +∞).Определение. Решением задачи Коши (1.4) – (1.5) будем называть функцию u ∈которая удовлетворяет уравнению (1.4) на интервале (0, +∞) и начальномуусловию (1.5).Теорема 1.3.
Пусть существует γ > a такое, что выполнено условие |c|eτ γ < γ−a.1(0, +∞) эквивалентна задачеТогда задача (1.4) – (1.5) в пространстве Соболева W2,γКоши c начальным условием (1.5) для ОДУW21 (0, +∞),ut (t) = x1 u(t) + f (t),t > 0,(1.6)где x1 – корень характеристического уравнения λ = a + ceλτ с наименьшей вещественной частью.Здесь эквивалентность двух задач означает, что если начальные данные и неоднородные слагаемые этих задач совпадают, то совпадают и их решения. Установлен следующий результат о предельном переходе для семейства решений ДРУ (1.4) к решениюобыкновенного дифференциального уравнения при стремлении к нулю параметров отклонения аргумента.Через uo обозначим решение обыкновенного дифференциального уравненияut (t) = (a + b + c)u(t),t > 0,удовлетворяющее начальным условиям Кошиu(+0) = ϕ(−0).52 Йаакбариех. А, Сакбаев В.Ж.
Корректность задачи с начальными условиями для параболических дифференциальноразностных уравнений со сдвигами временного аргумента. Известия вузов, 2015. № 4, С. 17-25.– 11 –Теорема 1.4. Пусть существует такое γ0 > a, что |b|+|c|< 1. Тогда существуетγ0 −aтакое > 0, что|b|e−hγ + |c|eτ γω(γ) =≤δ<1γ−aдля любых (h, τ ) ∈ O (0, 0) и γ ∈ O (γ0 ).При этом для любого γ ∈ O (γ0 ) выполняется равенство:lim1 (0,+∞) = 0.sup kuh,τ (t)|R+ − uo (t)kW2,γ(h,τ )→(0,0) t∈[0,T ]Вторая глава "Задача с начальными условиями для дифференциально-разностногоуравнения (ДРУ) второго порядка."Во второй главе исследуются вопросы постановки и корректной разрешимости задачи с начальными условиями для модельного дифференциально-разностного уравнениявторого порядка видаutt (t) = Lu(t) + f (t),t > 0,(2.1)где L – разностный оператор, сопоставляющий функции u : R+ ≡ [0, +∞) → Cфункцию Lu : R+ → C, определяемую равенствомLu(t) = −a2 u(t) + bu(t − h) + cu(t + τ ),t ∈ (0, +∞).(2.2)В равенстве (2.2) коэффициенты b, c - вещественные числа, a, h, τ – положительные постоянные, f – заданная числовая функция на интервале (0, +∞), а u – неизвестная числовая функция, областью определения которой является промежуток(−h, +∞).
Областью определения оператора L, действующего в гильбертовом пространстве L2,γ (−h, +∞), является гильбертово пространство D(L) = W22 (−h, +∞) [53 54, ], на котором оператор L определен согласно формуле (2.2). Ставится задача определить функцию u : (−h, +∞) → R, которая в области (0, +∞) удовлетворяет уравнению(2.1) почти всюду, а на отрезке [−h, 0] удовлетворяет начальному условиюu |[−h,0] = ϕ,(2.3)где ϕ(t) – начальное значение функции u, заданное на множестве [−h, 0].
При этомпредполагается, что функция ϕ удовлетворяет условию ϕ ∈ W22 (−h, 0).2Определение. Функцию u ∈ W2,γ(−h, +∞) назовем решением задачи (2.1)–(2.3)в весовом пространстве Соболева, если она удовлетворяет дифференциальному уравнению (2.1) в пространстве L2,γ (0, +∞) и начальному условию (2.3) тождественно наинтервале [−h, 0].Положим1ω(γ) = 2(|b|e−γh + |c|eγτ ), γ ∈ (0, +∞).(2.4)2γ +a53 В.В.
Власов, В.Ж. Сакбаев. О корректной разрешимости в шкале пространств Соболева некоторыхдифференциально-разностных уравнений. Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № 9. С. 1194-1202.54 В.В. Власов, К.И. Шматов. Корректная разрешимость уравнений гиперболического типа с последействием в гильбертовом пространстов.труды математического института им. В.А.Стеклова, 2003.
т.243, с. 127-137.– 12 –Теорема 2.2. Пусть ω(γ) < 1 на интервале (α, β) ⊂ (0, +∞). Пусть функции ϕ ∈Тогда если f ∈ L2,γ (R+ ) при некотором γ ∈ (α, β), то задача с начальным2условием (2.1)–(2.3) имеет единственное решение u в пространстве W2,γ((h, +∞)),причем норма решения допускает оценкуW22 ([−h, 0]).2 ((h,+∞)) ≤ c[kf kL2kukW2,γ2,γ (R+ ) + kϕkW2 ([−h,0]) ],(2.5)с постоянной c не зависящей от выбора f ∈ L2,γ (R+ ) , ϕ ∈ W22 ([−h, 0])Определим числаâ = sup{Reλ : λ ∈ Ξ, Reλ < α},b̂ = inf {Reλ : λ ∈ Ξ, Reλ > β},где Ξ ⊂ C – множество корней характеристического уравнения λ2 + a2 = be−λh + ceλτ ,а числа α, β определены условием ω(γ) < 1 на интервале (α, β) ⊂ R.Теорема 2.3 Пусть ω(γ) < 1 на интервале (α, β) ⊂ R. Тогда если γ > b̂, то2однородная задача (2.1)–(2.3) имеет нетривиальное решение u ∈ W2,γ(0, +∞).
Если2γ < â, то не при всех начальных данных (φ, ψ) ∈ C , однородное уравнение utt =2(0, +∞).Mu(t), t > 0, имеет решение из пространство W2,γФиксировав некоторое h0 > 0 предположим, что на отрезке [−h0 , 0] задана некотораяфункция φ0 ∈ W22 ([−h0 , 0]). Тогда при произвольных (h, τ ) ∈ R+ × R+ таких, что h ∈(h0 , 0), рассматривается задача (2.1)–(2.3) с начальным условием φh = φ0 |[−h,0] .Через uo обозначим решение обыкновенного дифференциального уравненияutt (t) = (−a2 + b + c)u(t),t > 0,удовлетворяющее начальным условиям Кошиu(+0) = ϕ(−0),ut (+0) = ϕ0 (−0).Теорема 2.4. Пусть существует такое γ0 > a, что ω(γ0 ) < 1. Тогда существуеттакое > 0, что ω(γ) ≤ δ < 1 для любых (h, τ ) ∈ O (0, 0) и γ ∈ O (γ0 ).
При этом длялюбого γ ∈ O (γ0 ) выполняется равенство:lim(h,τ )→(0,0)2 (0,+∞) = 0.kuh,τ (t)|R+ − uo (t)kW2,γВо втором разделе второй главы рассматривается модифицированное упрощенноеДРУ (2.1), в котором дифференциально-разностный оператор (2.2) является оператором опережиющего типа и не содержит запаздываний. Исследуются вопросы постановки и корректной разрешимости задачи с начальными условиями для модельногодифференциально-разностного уравнения второго порядка с опережением без запаздывания, т.е.
для ДРУ видаutt (t) = Lu(t) + f (t),t > 0,(2.6)где L – разностный оператор, сопоставляющий функции u : R+ ≡ [0, +∞) → C функцию Lu : R+ → C, определяемую равенством– 13 –Lu(t) = −a2 u(t) + cu(t + τ ),t ∈ [0, +∞).(2.7)Здесь коэффициенты a, c ∈ R – вещественные числа, τ > 0, f – заданная числоваяфункция на области (0, +∞), а u – неизвестная числовая функция, областью определения которой является полуось (0, +∞).Областью определения оператора L, действующего в гильбертовом пространствеL2,γ (0, +∞), является гильбертово пространство2D(L) = W2,γ(0, +∞)Ставится задача определить функцию u : (0, +∞) → R, которая в области (0, +∞)удовлетворяет уравнению (2.6), и удовлетворяет начальным условиям (2.8), которыезадаются для ДРУ с опережением без запаздывания. При t → +0 функция u удовлетворяет начальному условию:u(+0) = ϕ,ut (+0) = ψ,(2.8)где (ϕ, ψ) ∈ C 2 – начальное значение функции и ее первой производной.2(0, +∞) назовем решением задачи (2.6)–(2.8) в веОпределение.
Функцию u ∈ W2,γсовом пространстве Соболева, если она удовлетворяет дифференциальному уравнению(2.6) в пространстве L2,γ (0, +∞) и начальному условию (2.8).Положимω(γ) =eγτ |c|,a2 + γ 2γ ∈ R.(2.9)Теорема 2.5. Пусть ω(γ) < 1 на некотором промежутке (α, β) ⊂ R и пусть f ∈L2,γ0 (0, +∞) при некоторых γ0 ∈ (α, β). Тогда при любом γ ∈ [γ0 , β) задача Коши (2.6)–2(2.8) имеет единственное решение u в пространсве W2,γ(0, +∞), причем справедливаоценка2 (0,+∞) ≤ C[|ϕ| + |ψ| + kf kLkukW2,γ2,γ (0,+∞) ]с константой, не зависящей от ϕ, ψ, f .Установлено, что в зависимости от коэффициентов уравнения, точнее, в зависимости от расположения корней характеристического квазимногочлена дифференциальноразностного оператора (2.7), реализуются различные возможности корректной постановки задачи (2.6)–(2.8), а также возможность однозначной разрешимости задачи содним начальным условием (2.8) для однородного уравнения (2.6).
Ключевую роль ввыборе корректной постановки задачи для дифференциально-разностного уравнения(2.6)–(2.7) играет множество корней характеристического уравнения (2.10) оператора(2.7),λ2 = −a2 + beλh .(2.10)Множество Ξ комплексных корней уравнения (2.10), является счетным множествомв комплексной плоскости C [ 55 , 56 ], которое симметрично относительно вещественной оси при условии a, b, h ∈ R.
Спецификой опережающего типа дифференциально55 В.В. Власов, Д.А. Медведев. Функционально-дифференциальные уравнения и связанные с ними вопросы спектральной теории. Современная математика. Фундаментальные направления. 2008. Т. 30,С. 3-173.56 А.М.
Зверкин, Г.А. Каменский, С.Б. Норкин, Л.Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения с отклоняющимсяаргументом. 1962. Т. 17. УМН. № 2ю С. 77-164.– 14 –разностного оператора (2.7) является то, что в любой полуплоскости Re(λ) < γ плоскости C находится не более чем конечное множество точек Ξ. Поэтому существует конечное подмножество точек множества Ξ, на которых достигается величина γ∗ = inf(ReΞ).Пусть Ξ – множество комплексных корней характермстического уравнения λ2 + a2 =beλh . Установлено, что если a2|b|eγh < 1, то существует пара точек λ1 , λ2 ∈ Ξ таких, что+γ 2Reλ1 ≤ Reλ2 < inf Re(Ξ\{λ1 , λ2 }).Теорема 2.8. Пусть c = 0 и a2|b|eγh < 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
