Автореферат (1155101), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Тогда задача с начальными условиями+γ 22(2.6)–(2.8) в пространстве W2,γ(0, +∞) эквивалентна задаче Коши для ОДУu00 (t) − (λ1 + λ2 )u0 (t) + λ1 λ2 u(t) = f (t),t > 0,с начальными данными (2.8).Теорема 2.9. Пусть выполнено неравенство b > a2 и величина h > 0 мала настолько, что величина γ∗ = inf(ReΞ) достигается в единственнойточке λ1 = x1 ∈ R√02множества Ξ. Тогда если выполнены условия 0 < γ < b − a , то существует такоеh1 > 0, что при всех h ∈ (0, h1 ) и при любом начальном условииu(+0) = ϕ,2однородное уравнение (2.6) имеет в пространстве W2,γ0 (R+ ) единственное решениеu(t) = ϕex1 t ,t ≥ 0.Третья глава изучаются гиперболические ДРУ с отклонением временного аргумента.В этой части исследуются вопросы постановки и корректной разрешимости задачи с начальными условиями для модельного гиперболического дифференциальноразностного уравнения видаutt (t, x) = Lu(t, x) + f (t, x),t > 0, x ∈ Rd(3.1)где2Lu(t, x) = −A u(t, x) +NX{[ak (u(t + hk , x))]+k=1[ck (Au(t + hk , x))]} − γ0 u(t, x),(t, x) ∈ (0, +∞) × Rd .(3.2)Здесь коэффициенты ak , ck , hk , k = 1, N - вещественные числа, −h = h1 < h2 < ...
<hN , причем −h < 0, f – заданная числовая функция на области (0, +∞) × Rd , а u –неизвестная числовая функция, заданная на множестве (−h, +∞) × Rd .В равенстве (3.2), A – самосопряженный положительный оператор в пространствеH = L2 (Rd ), действующий из области определения D(A) = W22 (Rd ) ⊂ H в пространствоH.Пусть α0 – точная нижняя грань оператора A и пусть α0 ≥ 0. Областью определенияоператора L, действующего в гильбертовом пространстве L2,γ ((−h, +∞), H), является– 15 –гильбертово пространствоD(L) = L2,γ ((−h, +∞), D(A2 ))\W22 ((−h, +∞), H)[57 ,58 ], на котором оператор L определен согласно формуле (3.2).
Ставится задача определить функцию u : (−h, +∞)×Rd → R, которая в области (0, +∞)×Rd удовлетворяетуравнению (3.3) , а на множестве (−h, 0] × Rd удовлетворяет начальному условиюu |(−h,0]×Rd = ϕ,(3.3)где ϕ(t, x) – начальное значение функции u, заданное на множестве (−h, 0] × Rd . Приэтом предполагается, что функция ϕ удовлетворяет условию ϕ ∈ W22 ((−h, 0), A2 ). Дляисследования модельной задачи с начальными условиями (3.1),(3.3) предположим, чтоA2 = −∆.Положимω(γ) =NXeγhk {akk=1111+c}+γ,k02γ 2 + α0γγ 2 + α02γ ∈ R+ = (0, +∞).Теорема 3.2.
Пусть ω(γ) < 1 на интервале (α, β) ⊂ R. Пусть функцииϕ ∈ W23 ([−h, 0], A3 ). Тогда если f ∈ L2,γ (R+ , H1 ) при некотором γ ∈ (α, β), то задача с начальным условием (3.1),(3.3) имеет единственное решение u в пространстве2W2,γ((−h, +∞), A2 ), причем норма решения допускает оценку2 ((−h,+∞),A2 ) ≤ c[kf kL3kukW2,γ2,γ (R+ ,H) + kϕkW2 ([−h,0],A3 ) ],(3.4)с постоянной c, не зависящей от выбора f ∈ L2,γ (R+ , H) , ϕ ∈ W23 ([−h, 0], A3 ) .Наряду с задачей (3.1),(3.3) рассмотрим задачу с начальными условиями для модельного гиперболического дифференциально-разностного уравнения видаutt (t) = Zu(t) + f (t),t > 0,(3.5)NX{[ak (u(t + hk ))] + [ck A2 u(t + hk )]}−Zu(t) = −A u(t) +2k=1γ0 u(t),t ∈ (0, +∞).(3.6)В равенстве (3.6) A – линейный самосопряженный положительный оператор в гильбертовом пространстве H с плотной областью определения D ⊂ H, имеющий дискретный спектрσ(A) = {sn , n ∈ N)}с точной нижней гранью α0 > 0, причем каждому собственному значению sn соответствует единственная собственная функция vn оператора A.57 В.В.
Власов, В.Ж. Сакбаев. О корректной разрешимости в шкале пространств Соболева некоторыхдифференциально-разностных уравнений. Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № 9. С. 1194-1202.58 В.В. Власов, К.И. Шматов. Корректная разрешимость уравнений гиперболического типа с последействием в гильбертовом пространстов.труды математического института им. В.А.Стеклова, 2003. т.243, с. 127-137.– 16 –В равенстве (3.5) f – заданная функция из пространства L2 ((0, +∞), H1 ), а u –неизвестная числовая функция, заданная на множестве (h, +∞) × Rd из пространстваW22 ((h, +∞), A2 ).Ставится задача определить функцию u : (h, +∞) × H, которая в области (0, +∞) ×Rd удовлетворяет уравнению (3.1) , а на множестве (h, 0] × Rd удовлетворяет начальнымусловиямu |(h,0] = ϕ,(3.7)где ϕ(t) : (h, 0] → H - заданная начальная функция из пространства W23 ((h, 0), A3 ).Рассмотрим связанные с корнем sn оператора Z характеристическое уравнениеξ 2 = −s2n +NXeξh [ak + ck sn ] − γ0(3.8)k=1Определим числаâ = sup{Reλ : λ ∈ Ξ, Reλ < α},b̂ = inf {Reλ : λ ∈ Ξ, Reλ > β},где Ξ ⊂ C – множество, являющееся обединением множеств Ξn корней характеристического уравнения (3.8) по всем sn ∈ σ(A), а числа α, β определены условием ω(γ) < 1на интервале (α, β) ⊂ [0, +∞).Теорема 3.3.
Пусть функции ϕ ∈ W22 ([h, 0], A2 ). Пусть ω(γ) < 1 на интервале(α, β) ⊂ R. Тогда если γ > b̂, то однородная (с нулевыми начальным условием и правой2((h, +∞), A2 ).частью) задача (3.1),(3.3) имеет нетривиальное решение u ∈ W2,γ3А если γ < a, то не при всех начальных данных φ ∈ W2 ([h, 0], A3 ) однородное урав2((−h, +∞), A2 ).нение (3.3) utt (t) = Zu(t), t > 0, имеет решение из пространства W2,γТеорема 3.4. Пусть существует такое γ∗ > a, что ω(γ∗ ) < 1. Тогда существуеттакое > 0, что ω(γ) ≤ δ < 1 для любых h ∈ O (0) в RN и γ ∈ O (γ0 ).
При этом длялюбого γ ∈ O (γ0 ) выполняется равенство:2 ((0,+∞),A2 ) = 0.lim kuh (t)|R+ − uo (t)kW2,γh→0где uo – решение задачи Коши для дифференциального уравнения2utt (t) = (−A − γ0 I +NX(ak I + ck A)u(t) + f (t),k=1с начальными условиямиu(+0) = φ0 (−0),ut (+0) = φ00 (−0).– 17 –t > 0,РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИСтатьи в научных журналах1. Акбари Фаллахи. А, Йаакбариех. А, Сакбаев В.Ж.
Корректность задачи с начальными условиями для гиперболических дифференциально- разностных уравненийсо сдвигами временного аргумента. Дифференциальные уравнения, 2016. Т. 52, №3, С. 352-365.2. Акбари Фаллахи. А. О стремлении к нулю величины отклонения аргумента вдифференциально-разностных уравнениях с опережением.ТРУДЫ МФТИ, 2016.Т. 8, № 1, С. 109-114.3. Акбари Фаллахи.
А. Дифференциально-разностных уравнений второго порядка сопережением в весовых пространствах Соболева. ТРУДЫ МФТИ, 2016. Т. 1, № 1,С. 109-120.• Основные результаты по теме диссертации изложены в семи печатных работах,из которых три [A1-A3] в журналах, рекомендованных ВАК.Личный вклад.Работа [A1] опубликована в соавторстве. Результаты этой работы, вошедшие в диссертацию, получены лично автором.
Также автором опубликованы статьи [A2-A3].Тезисы научных и международных конференций4. Акбари Фаллахи. А. Корректность задачи с начальными условиями для гиперболических дифференциально-разностных уравнений со сдвигами временного аргумента.// Труды 57-й научной конференции МФТИ с международным участием,посвященной 120-летию со дня рождения П. Л. Капицы. Москва 24–29 ноября 2014года МФТИ.5. Акбари Фаллахи. А.
Корректность задачи с начальными условиями для гиперболического дифференциально-разностного уравнения с опережением и запаздыванием.// XII Международной Казанской летней школы-конференции «Теория функций ее, приложения и смеженые вопросы» КАЗАНЬ,27 Июня – 4 Июля 2015.6. Акбари Фаллахи. А. Корректность задачи с начальными условиями для гиперболических дифференциально-разностных уравнений со сдвигами временного аргумента.// The eighth International Conference of Iranian Students in the RussianFederation. St.
Petersburg, Russia, April 24–26, 2015. Saint Petersburg State University.7. A. Akbari Fallahi Cauchy problem for hyperbolic functional differential equationsCauchy problem for hyperbolic functional differential equations with deviation of timeargument.// 12th "Seminar on Differential Equations and Dynamical System Tabriz,Iran.
27-29 May 2015, University of Tabriz.– 18 –Акбари Фаллахи А.Задачи с начальными условиями для дифференциально-разностныхуравнений с опережениемАннотацияДифференциально-разностные уравнения возникают в ряде задач математическойфизики и оптимального управления. При этом дифференциально-разностные уравнения опережающего типа являются наименее исследованным направлением по сравнению с уравнениями запаздывающего и нейтрального типов. Цель настоящей диссертации – исследование корректных постановок задачи с начальными условиями дляуравнений опережающего типа. В диссертации получены новые достаточные и необходимые условия корректной разрешимости задачи с начальными условиями для таких дифференциально-разностного уравнений в весовых пространствах Соболева, установлена сходимость решений задачи с начальным условием для дифференциальноразностного уравнения к решению задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения при стремлении к нулю величины отклонения аргумента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
