Диссертация (1155099), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Берем непрерывный волновой спектр с несущей частотой ω0 = ω(k0) вдиапазоне верхнего гибридного резонанса т.е. вклад ионов в ток плазмы можноне учитывать. Удобно ввести следующие параметры: u = ωHe / ω, v = (ωpe /ω)2.Здесь ωHe - гирочастота нерелятивистских электронов плазмы, ωpe – электроннаяленгмюровская частота ωpe = (4πe2 n0/m)1/2 , n0 невозмущенная однороднаяплотность плазмы. При поперечном распространении волны р-поляризации скомпонентами полей Ex , Ey , Hz для квадрата показателя преломленияплазмыN2 = (ck / ω)2 на частоте ω получаем формулу:N2 = ε⊥ - (εc2 / ε⊥ ) = 1 – [ v (1 – v )] / (1 – u2 – v).Как видим, волна р-поляризации не является чисто электростатической посколькуEy = - i ( ε⊥ /εc ) Ex , Hz = N Ey . В случае s-поляризации волна имеет компоненты Hx ,23Hy , Ez , показатель преломления равен N = (ε││ )1/2 < 1 т.е.
ω2 = ωpe2 + c2k2.Следовательно, фазовая скорость волны больше скорости света в вакууме и она непредставляет интереса для задачи серфотронного ускорения заряженных частиц.Ниже будем полагать параметр u2 малым т.е. можно пренебречь нелинейностьюволны при взаимодействии с плазмой. Приведем выражение для групповойскоростиволны на частоте ω: vg ≈ ωpe ωHe2 / c2k03<< ω / k. Для лоренцовскогоспектра волн основная компонента электрического поля имеет видEx(x,t) = { Em / [ 1 + ζ2 / L2 ] } cos (ω0t – k0x ),(13)где ζ = x – vg(k0) t , L = 1 / kp есть полуширина локализованного волнового пакета,движущегося со скоростью vg(k0) << vp(k0). Другие компоненты полей Ey , Hzнаходятся по аналогии с (13).
Введем безразмерное время τ = ωt. Характерноевремя пересечения захваченным зарядом волнового пакета порядка δt ~ 2L / vp илив безразмерном времени имеем δτ ~ 2L k0 . За это время центр волнового пакетасместится на расстояние δx ~ 2L (vg / vp ) << 2L. Анализ показал, чтоультрарелятивистское ускорение захваченных зарядов имеет место в случаедостаточно больших времен удержания частиц пакетом в ускоряющей фазе полят.е.
при τ ≥ ( 104 ÷ 106 ). Условие 2 L k0 ≥ ( 104 ÷ 106 ) обеспечивает сильноеускорение захваченных зарядов локализованным волновым пакетом в магнитоактивной плазме при их захвате на задней стороне пакета. Введем безразмернуюполутолщину волнового пакета ρ = L k0 . При численных расчетах задачу можноупростить пренебрегая вихревыми компонентами волновых полей Ey , Hz и дляфазы пакета на несущей частоте Ψ0(τ) = (ω0t – k0x) получаем уравнениеγβp0 d2Ψ0 /dτ2 – (1 - βx2) (eEx / mcω0) – u0βy = 0,(14)где Ex(x,t) определено формулой (13), βp0 = ω0 /ck0 , γ = (1 + h2 + r02 )0.5/ ( 1 - βx 2 )0.5 ,r0 = γβy и учтен интеграл движения J = γβy + u0βp0 (Ψ0 - τ), u0 = ωHe / ω0, а интегралh равен γβz = const ≡ h. Компонента скорости заряда βx в (14) определяетсявыражением βx = βp0 [1 – (dΨ0 / dτ )].
В итоге (14) принимает вид (12). Это уравнение решалось численно, в частности, для следуюших значений исходных параметров : u = 0.2, βp0 = 0.2, h = 1, g = 1, ρ = o L / c = 4∙104 , σ = 1.4 σc . Графикихарактеристик ускоренной частицы даны ниже. Здесь σ = e Em/m c ω. Проведенные24расчеты показали, что в центральной области волнового пакета, где амплитудаэлектрического выше порогового значения, при нахождении заряда в диапазонеблагоприятных фаз ( который оказался достаточно широким), а скорость зарядапоперек внешнего магнитного поля больше фазовой скорости на несущей частоте(β⊥ > βp ), что соответствует возможности реализации черенковского резонанса, внекоторый момент времени имеют место захват и последующее сильноерелятивистское ускорение зарядов локализованным волновым пакетом при захватечастицы на задней стороне пакета.
Набор энергии захваченной частицей возрастаетс увеличением характерной полуширины (по амплитуде электрического поля)волнового пакета, движущегося с групповой скоростью. Согласно расчетам приускорении захваченной частицы ее релятивистский фактор и поперечные квнешнему магнитному полю компоненты импульса возрастают пропорциональновремени удержания заряда в эффективной потенциальной яме. Поперечныекомпоненты скорости заряда выходят на асимптотические значения, а продольная(относительно внешнего магнитного поля) скорость стремится к нулю. С течениемвремени ускоряемые частицы конденсируются на дно эффективной нестационарной потенциальной ямы.Изложимподробнеерезультатычисленныхрасчетовсерфотронногоускорения частиц волновым пакетом для следующего варианта выбора исходныпараметров задачи h = 1, gy(0) = 1, βp = 0.2, u = 0.2, σ = 1.4 σc , σc = uγp , а = 0, ρ =4∙104, соответствующего слаборелятивистским начальным энергиям заряженнойчастицы γ(0) ≈ 1.257.
Пусть начальная фаза Ψ(0) = φ + δΨ(0), где φ = 2π∙3826,соответствует положению частицы на задней стороне волнового пакета, что даетмаксимум набора энергии ускоренными частицами. Тогда захват частиц в режимсерфинга на задней стороне пакета происходит, в частности, для диапазоназначений параметра δΨ(0) = 1.6406 ÷ 2.5. В случае Ψ(0) = 2.404∙104 результатырасчетов представлены на рис.3. Так на рис.3а дан график [Ψ(τ) - Ψ(0)]. Вылетчастицы на правой (передней) стороне волнового пакета происходит, когдаамплитуда пакета становится ниже порогового для серфинга значения т.е.
привремени τ ≈ 62335. При этом энергия ускоренной частицы соответствует max γ ≈252559 т.е. она 1.3 ГэВ для электронов. Графики релятивистского фактора зарядаγ(τ) и его аналитической аппроксимации линейной функцией M(τ) показаны нарис.3б. Согласно рисунку, для захваченной пакетом частицы наблюдаетсяпостоянный темп ускорения. После вылета заряда из эффективной потенциальнойямы ее энергия практически постоянна, вариации γ незаметны. График функцииcos Ψ(τ), определяющей темп ускорения, дан на рис.3в. Отметим, что после вылетазаряда из потенциальной ямы среднее значение cos Ψ(τ) равно нулю.Рис.3а. График фазы пакета на несущей частоте для частицы, захваченнойсразу на левой стороне волнового пакетаРис.
3б. График релятивистского фактора и его аналитическойаппроксимации. Темп роста энергии практически постоянен.26Ниже дан график функции cos (), определяющей динамику серфотронногоускорения. Как видим, после вылета из эффективной потенциальной ямы этафункция колеблется в интервале ( - 1, 1), а ее среднее значение практически нуль.Рис. 3в.
Темп ускорения захваченной частицы. После вылета заряда изэффективной потенциальной ямы среднее значение cosΨ(τ) равно нулю.Следовательно, серфотронное ускорение прекращается.Раздел 1.4. Основные результаты главы 1Рассмотреносерфотронноеускорениеэлектронамонохроматическойэлектромагнитной волной для слабо релятивистских начальных энергий частиц.Численными расчетами показано, что при благоприятной начальной фазе волны натраектории частицы электрон сразу захватывается волной в режим ультрарелятивитстского серфотронного ускорения.
Для неблагоприятной начальной фазычастица будучи незахваченной совершает циклотронное вращение (сотни-тысячициклотронных периодов) и затем в момент черенковского резонанса попадает вблагоприятную фазу волны на траектории электрона, захватывается волной иреализуется ультрарелятивистское серфотронное ускорение с ростом энергии наиспользованных интервалах счета по времени на три-шесть порядков величины.При этом релятивистский фактор захваченного электрона увеличивается спостоянным темпом роста. Важно то, что интервал времени циклотронноговращения сравнительно невелик. Следовательно, резко возрастает число частиц,27попадающих в режим серфотронного ускорения.
На фазовой плоскости ((),()), где введено обозначение () = d()/d, изображающая точка движется поспиралевидной траектории, сжимающейся у точки типа устойчивый фокус(вариации () и ()) убывают с ростом времени. Показано, что принеблагоприятном знаке компоненты скорости вдоль волнового фронта частица дляблагоприятной фазы захватывается волной, тормозится оставаясь захваченной ипоменяв знак скорости вдоль волнового фронта далее переходит в режимультрарелятивистского ускорения (формально – неограниченного при бесконечноминтервале области амплитуд волны выше критического для серфинга значения).На интервале торможения траектория изображающей точки на фазовой плоскостисоответствует увеличению расстояния до устойчивого фокуса.
В случаевзаимодействия частицы с локализованным в пространстве волновым пакетомоколо положения центра пакета (по оси х) имеется интервал, в котором амплитудаэлектрического поля волны выше критического значения. В нем частица приблагоприятной фазе на несущей частоте пакета может захватиться и быстроперемещаясь на переднюю сторону пакета (движущегося с групповой скоростью,которая значительно меньше фазовой на несущей частоте) сильно ускоряется.Пересекая пакет она попадает в область на передней стороне пакета, где амплитудаэлектрического поля меньше критического значения, становится незахваченной иускорение прекращается.
Следовательно, характерный размер пакета (вдольнаправления распространения волны) определяет доступное время серфотронногоускорения волновым пакетом. Здесь следует отметить, что в космической плазме,например, гелиосфере или в местных межзвездных облаках характерный размеробласти реализации серфотронного ускорения может быть очень большим.Поэтому (согласно оценкам) рост энергии захваченных пакетом частиц можетбыть на три-шесть и более порядков величины, например, от ГэВ до областиколена в спектре космических лучей т.е.
~ 1015 эВ. Расчетами показано, что прианализе серфотронного ускорения при использованных значениях параметровзадачи электрическое поле волны или волнового пакета можно считатьпотенциальным. Учет в расчетах вихревой компоненты электрического поля и28магнитного поля волн практически не меняет результаты. Интересно отметить, чтосогласно численным расчетам частица не будучи захваченной волной или пакетомтем не менее некоторое (сравнительно небольшое время) может быть в областиускоряюшего поля с ростом ее энергии на десятки-сотни процентов от начальногозначения.Глава 2. Численное исследование ультрарелятивистского серфотронногоускорения при умеренных начальных энергиях заряженных частицВ настоящей главе будет рассмотрено ультрарелятивистское серфотронноеускорение при умеренных начальных энергиях заряженных частиц волнами вплазме на основе численных расчетов процесса захвата частиц волнами с последующим сильным ускорением с анализом благоприятных условий реализациисерфинга.Раздел 2.1.
Численные расчеты серфотронного ускорения электроновэлектромагнитной волной при умеренных начальных энергиях частиц.Динамика траекторий на фазовой плоскости.Рассмотрим численные расчеты с использованием программы Mathcad14для некоторых значений исходных параметров : u, p , h, g(0), , a. Начальнаяфаза волны на траектории частицы бралась из интервала (0) ( - 3, 3 ) с шагом(0) = 0.2. Интервал счета по был до 40000. Здесь h, g(0) компонентыбезразмерного импульса частиц вдоль магнитного поля и волнового фронтасоответственно.Областьблагоприятныхфаз,прикоторыхзаряженныечастицызахватываются волной сразу (в начальный момент времени), определяласьчисленными расчетами для разных значений (0) с относительно малым шагом(0) при различных значениях начальной отстройки частицы от черенковскогорезонанса, определяемой параметром a = {[ x(0)/p] – 1}.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
