Диссертация (1155096), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

, pn−1 ), pk ≥ 0, 1 ≤ k ≤ n − 1, — весовые коэффициенты.Погрешностью оптимального восстановления назовем величинуnE(W2,h, ∆, δ) =infnϕ:l2,h (Z)→(l2,h (Z))ne(W2,h, ∆, δ, ϕ).Метод ϕ,b на котором достигается нижняя грань, назовем оптимальным методом.Теорема 1.2. Пусть k, n ∈ N, 1 ≤ k ≤ n − 1 и δ > 0. Тогда n1/2n−1P2(n−k)hpk δ n,δ≥,2k=1nE(W2,h , ∆, δ) =n−1 2k 1/2 nP2hδpk, δ<.h2k=1 nhметод ϕ(y)b= ∆kh y является оптимальным.

ПриПри δ <2 nhδ≥все методы ϕbk (y) = ∆kh F −1 ak (ω)F y(ω) , где2b1 + θk (ω)λak (ω) =,b1 + λb2 tn (ω)λ4 sin2t(ω) =h2ωh2 ,(1.16)а θk (·) для почти всех ω удовлетворяют условиюn−1Xn−1Xnnkbbbbpk t (ω)|θk (ω)| ≤ λ1 λ2 t (ω) λ1 + λ2 t (ω) −pk t (ω) , (1.17)k2k=1k=1в которомb1 =λn−1Xk=1pk δk−2 nk1−,nявляются оптимальными.46b2 =λn−1Xk n−kpk δ 2 n ,nk=1Доказательство.Как и в теореме 1.1, сначала докажем, чтоn, ∆, δ) ≥E(W2,hsupnx∈W2,hkxkl2,h (Z) ≤δvu n−1uXtpk k∆k xkl2,h (Z)h.(1.18)k=1nтакой, что kxkl2,h (Z) ≤Для любой последовательности x ∈ W2,hδ, и для любого метода ϕ имеем X1/2n−1k22pk k∆h xkl2,h (Z)=k=1=Xn−1pk k∆kh (x)−∆kh (−x)+ ϕ(0) −ϕ(0)k2l2,h (Z)1/2≤k=1≤Xn−1pk k∆kh (x)−ϕ(0)k2l2,h (Z)1/21/2 Xn−1k2≤+pk k∆h (−x)−ϕ(0)kl2,h (Z)k=1k=1 Xn−1≤ 2k=1supnx∈W2,hkxkl2,h (Z) ≤δpk k∆kh xk2l2,h (Z)1/2≤22e1/2n(W2,h, δ, ϕ).То есть, для любого метода ϕne(W2,h, ∆, δ, ϕ) ≥supnx∈W2,hkxkl2,h (Z) ≤δvu n−1uXtpk k∆k xk2hl2,h (Z) .k=1Отсюда следует неравенство (1.18).Это означает, что квадрат погрешности оптимального восстановления не меньше значения экстремальной задачиn−1Xpk k∆kh xk2l2,h (Z) → max, k∆nh xkl2,h (Z) ≤ 1, kxkl2,h (Z) ≤ δ.(1.19)k=1Как и при доказательстве предыдущей теоремы, перейдем кпреобразованию Фурье, применим теорему Планшереля.

Задача47(1.19) примет вид:Zπ/hn−121 Xpktk (ω)F x(ω) dω → max,2π k=1−π/hZπ/h12πF x(ω)2 dω ≤ δ 2 ,Zπ/h12π−π/h2tn (ω)F x(ω) dω ≤ 1. (1.20)−π/hПокажем, что значение задачи (1.20) не менее, чемn−1P2(n−k)h npk δ n ,δ≥,2k=12knn−1P2hδ 2pk, δ<.h2k=1(1.21)Пусть n2h −1h h arcsin 2 δ n , δ ≥ 2ω0 = n .hδ<π/h,2Рассмотрим последовательность функций xm (·), для которых(F xm )(ω) =D, ω ∈ [ω0 −1; ω0 ],m0,1; ω0 ].mω∈/ [ω0 −√Положим D = δ 2πm.

Тогда12πZω0D2 dω =D2= δ2.2πm1ω0 − mКроме того,12πZω01ω0 − mδ2mtn (ω)D2 dω = 2nhhω0nZω0 δ 2 22n sin2nhω2 ≤ 1.4 sin2dω ≤2h2n1ω0 − m48Тем самым функции xm (·) допустимы в задаче (1.20). Следовательно, значение этой задачи не менее величиныZω0Zω0 kn−1n−1X1 X4hωk22dωpkt (ω)D dω = δ msin2kpk2k2π k=1h2k=11ω0 − m1ω0 − mn−1X1h(ω0 − m)2δ 2 22k sin2k≥pkh2kk=1Величина, стоящая в правой части этого неравенства при m → ∞стремится к величине (1.21). Таким образом, доказано, что1/2 nn−1P2(n−k)hpk δ n,δ≥,2k=1nE(W2,h , ∆, δ) ≥n−1 2k 1/2 nP2hδpk, δ<.h2k=1Займемся теперь построением оптимальных методов. Пусть δ ≥(h/2)n . Будем искать оптимальные методы среди методов видаϕk (y) = Λk y, где Λk : l2,h (Z) → l2,h (Z) - линейный непрерывныйоператор, действие которого в образах Фурье имеет вид:keihω − 1αk (ω)F y(ω),F (Λk y)(ω) =hkгде αk (ω) ∈ L∞ ([−π/h; π/h]) - периодическая функция, 1 ≤ k ≤n − 1.Для оценки погрешности таких методов рассмотрим экстремальную задачуn−1Xpk k ∆kh x − Λk y k2l2,h (Z) → max,kx − ykl2,h (Z) ≤ δ,k=1nx ∈ W2,h, y ∈ l2,h (Z).49Перепишем эту задачу в образах Фурье12πZπ/h Xn−1−π/hZπ/h12πk=12pk t (ω)F x(ω) − αk (ω)F y(ω) dω → max,kF x(ω) − F y(ω)2 dω ≤ δ 2 ,−π/h12πZπ/h2tn (ω)F x(ω) dω ≤ 1.−π/h(1.22)Используя неравенство Коши-Буняковского, получаем|F x(ω) − αk (ω)F y(ω)|2= |F x(ω)(1 − αk (ω)) + αk (ω)(F x(ω) − F y(ω))|2q2qb1 αk (ω) λ 1 − αk (ω)b2 tn (ω)F x(ω)= qF x(ω) − F y(ω) + qλb2 tn (ω)b1λλb1 |F x(ω) − F y(ω)|2 + λb2 tn (ω)|F x(ω)|2 ,≤ αk (ω) λгдеqk (ω) =|αk (ω)|2 |1 − αk (ω)|2+.b1b2 tn (ω)λλУчитывая условия в задаче (1.22), имеем12πZπ/h Xn−1−π/hk=12pk t (ω)F x(ω) − αk (ω)F y(ω) dωkb1 δ 2 + λb2 ),≤ kQ(·)kL∞ ([−π/h,π/h]) (λгдеQ(ω) =n−1Xpk tk (ω)qk (ω).k=1Если kQ(·)kL∞ ([−π/h,π/h]) ≤ 1, то значение задачи (1.22) не превосходитb1 δ 2 + λb2 =λn−1Xpk δ 2n−knk=150n≤ E 2 (W2,h, ∆, δ).(1.23)Из неравенства (1.23) следует оценка сверху погрешности оптимального восстановления при δ ≥ (h/2)n :vu n−1uXn−knE(W2,h , ∆, δ) ≤ tpk δ 2 n .k=1Тем самым методы, в которых αk (·), k = 1, .

. . , n − 1, выбраны так,что kQ(·)kL∞ ([−π/h,π/h]) ≤ 1, будут оптимальными.Покажем. что условие kQ(·)kL∞ ([−π/h,π/h]) ≤ 1 эквивалентно выражению (1.16) в условии теоремы. Имеемn−1XQ(ω) =pk tk (ω)qk (ω)k=1n−1X2bb1b2 tn (ω) λ1λ1 + λ+·α (ω)−.pk t (ω)=b1 λb2 tn (ω) kb1 + λb2 tn (ω) λb1 + λb2 tn (ω)λλk=1kПоложимb1 .b1 + λb2 tn (ω)) − λθk (ω) = αk (ω)(λТогда условие kQ(·)kL∞ ([−π/h,π/h]) ≤ 1 эквивалентно условию (1.17).Покажем, что выражение, стоящее в правой части неравенства (1.17), неотрицательно. Рассмотрим функциюg(t) = −n−1Xb1 + λb2 tn ,pk tk + λt ∈ [0, 4/h2 ],k=1и параметрически заданную кривуюx = t n ,n−1Py =pk tk .k=1Функция y(x) =n−1Ppk xk/n возрастает и вогнута при x ∈ [0, +∞).k=1В силу вогнутости функции выполняется неравенство y ≤ ye, гдеye = kx + b - касательная к графику вогнутой функции y(x) внекоторой точке x0 ≤ (2/h)2n .

Если построить касательную вточке x0 = δ −2 , то значения коэффициентов касательной равны51b2 , b = ye(0) = λb1 . Это означает, что g(t) ≥ 0. Так какk = y 0 (x0 ) = λb1 > 0, λb2 > 0, правая часть неравенства (1.17) неотрицательна.λПри δ < (h/2)n рассмотрим метод ϕ(y)b= ∆kh y. Тогдаkeihω − 1F ϕ(ω)b=F y(ω).hkОценим его погрешность. Переходя к образам Фурье, аналогично(1.22) получаем следующую задачу12πZπ/h Xn−1−π/hZπ/h12πk=12pk t (ω)F x(ω) − F y(ω) dω → max,kF x(ω) − F y(ω)2 dω ≤ δ 2 ,12π−π/hZπ/h2tn (ω)F x(ω) dω ≤ 1.−π/h(1.24)Учитывая условия в задаче (1.24), получаем12πZπ/h Xn−1−π/hk=12n−1X2pk t (ω)F x(ω) − F y(ω) dω ≤ δpk tk (ω)kk=1n−1X 2k2n= E 2 (W2,h, ∆, δ).pk≤δhk=12Снова верхняя и нижняя оценки погрешности совпадают, что доказывает оптимальность метода.52Глава 2Восстановление оператора разделенной разностипоследовательности по её преобразованию Фурьев равномерной нормеВ данной главе решается задача восстановления самой последовательности или ее k-ой разделенной разности, 1 ≤ k ≤ n − 1,в среднеквадратичной норме по неточно заданному на интервалепреобразованию Фурье данной последовательности в равномернойнорме на классе последовательностей с ограниченной n-ой разделенной разностью.

Формулировка и доказательство теоремы изложены автором в работе [23].Рассмотрим класс последовательностейnnW2,h,∞(Z) = {x ∈ W2,h: (F x)(·) ∈ L∞ ([−π/h, π/h])}.nПусть для каждой последовательности x ∈ W2,h,∞(Z) прибли-женно известно её преобразование Фурье на множестве (−σ; σ) ,σ ≤ π/h, в метрике L∞ (−σ; σ), то есть извеcтна некоторая функция y ∈ L∞ (−σ; σ) такая, чтоk(F x)(·) − y(·)kL∞ (−σ;σ) ≤ δ.Задача состоит в оптимальном восстановлении либо самой последовательности, либо оператора разделенной разности k− го поnрядка последовательности x ∈ W2,h,∞(Z).Любое отображениеϕ(y) : L∞ (−σ; σ) → l2,h (Z)53объявляем методом восстановления и погрешностью этого методаназываем величинуn(Z), ∆kh , δ, ϕ) =e(W2,h,∞k(∆kh x) − ϕ(y(·))kl2,h (Z) .supnx∈W2,h,∞(Z)y∈L∞ (−σ;σ)k(F x)(·)−y(·)kL∞ (−σ;σ) ≤δНас интересует величинаnE(W2,h,∞(Z), ∆kh , δ) =infϕ: L∞ (−σ;σ)→l2,h (Z)ne(W2,h,∞(Z), ∆kh , δ, ϕ),которая называется погрешностью оптимального восстановления иметод ϕ, на котором достигается нижняя грань, называемый оптимальным методом восстановления.Положим ihωe − 12t(ω) =h2σb− решение уравненияRσbhω 22 sin2 = ,h2π, σ0 = min(σ, σb).δ2tn (ω)dω =−bσТеорема 2.1.

Погрешность оптимального восстановленияравна√ Ω,nE(W2,h,∞(Z), ∆kh , δ) = r δ2 2πσ0 < π/h,Rtk (ω)dω,σ0 = π/h,|ω|≤π/hгдеδ2Ω=2πZkt (ω)dω +ωσk−n0|ω|<σ0δ21−2πZhσ0 22  .h2 sinωσ0 = 54t (ω)dω ,|ω|<σ0nПри σ0 < π/h метод ϕ(y)bтакой, чтоα(ω)y(ω), |ω| ≤ σ0,F ϕ(y)b=0,|ω| > σ0гдеkn−k eihω − 1t(ω)α(ω) = 1 −·,ωσ0hkявляется оптимальным. При σ0 = π/h метод ϕ(y)bтакой, чтоkeihω − 1y(ω),F ϕ(y)b=hkявляется оптимальным.Доказательство.Сначала докажем неравенствоnE(W2,h,∞(Z), ∆kh , δ) ≥supnx∈W2,h,∞(Z)k(F x)(·)kL∞ (−σ;σ) ≤δk∆kh xkl2,h (Z) .(2.25)nДля любой последовательности x ∈ W2,h,∞(Z) такой, что выполне-но неравенство k(F x)(·)kL∞ (−σ;σ) ≤ δ, и для любого метода ϕ имеем2k∆kh xkl2,h (Z) =k∆kh (x) − ∆kh (−x) + ϕ(0) − ϕ(0)kl2,h (Z) ≤k∆kh (x) − ϕ(0)kl2,h (Z) + k∆kh (−x) − ϕ(0)kl2,h (Z) ≤n2e(W2,h,∞(Z), ∆kh , δ, ϕ).То есть, для любого метода ϕne(W2,h,∞(Z), ∆kh , δ, ϕ) ≥supnx∈W2,h,∞(Z)k(F x)(·)kL∞ (−σ;σ) ≤δОтсюда следует неравенство (2.25).55k∆kh xkl2,h (Z) .Перейдем к доказательству теоремы 2.1.

Из доказанного неравенства следует, что погрешность оптимального восстановления неменьше значения экстремальной задачиk∆kh xkl2,h (Z) → max,(2.26)k∆nh xkl2,h (Z) ≤ 1, k(F x)(ω)kL∞ (−σ;σ) ≤ δ.Перейдем к квадрату задачи (2.26) и запишем её в образах Фурье. По теореме Планшереля имеем12kF (∆mh x)(ω)kL2 ([−π/h,π/h]) ,2π2k∆mh xkl2,h (Z) =2k∆mh xkl2,h (Z) ihωe − 12m F x(ω)2 dω.h2mZ1=2π|ω|≤π/hТем самым, приходим к следующей задаче: ihωZe − 12k 1(F x)(ω)2 dω → max,2πh2k(2.27)|ω|≤π/h12πZ ihωe − 12n (F x)(ω)2 dω ≤ 1, (F x)(ω)2 ≤ δ 2h2n|ω|≤π/hnдля почти всех ω ∈ (−σ; σ), x ∈ W2,h,∞(Z).Можно показать, что задача (2.27) не имеет решения, поэтомудля нахождения ее значения, аналогично тому, как это было сделано при доказательстве теоремы 1.1, рассмотрим расширенныйвариант данной задчи, сделав заменуdµ(ω) =21 (F x)(ω) dω > 0,2πгде мера dµ(·) абсолютно непрерывна относительно меры Лебегана множестве (−σ; σ) и p(·) − её производная.

Тогда задача (2.27)56примет вид: ihωe − 12kZ1−2πh2kdµ → min,(2.28)|ω|≤π/h12π ihωe − 12nZdµ ≤ 1, p(ω) ≤h2nδ2.2π|ω|≤π/hСопоставим этой задаче функцию Лагранжа: iωhe − 12kZL(dµ(·), λ1 (ω), λ2 ) = −h2kdµ(ω)+|ω|≤π/hZ2λ1 (ω) p(ω) −δ2πZdω + λ2  iωhe − 12nh2ndµ(ω) − 1 =|ω|≤π/h|ω|<σZ−tk (ω) + λ1 (ω)χ(−σ,σ) + λ2 tn (ω) dµ(ω)−|ω|≤π/h2Zλ1 (ω)δdω + λ2  ,2π|ω|<σгде χ(−σ,σ) – характеристическая функция на интервале (−σ, σ).b1 (·) наЕсли найдутся неотрицатеьная ограниченная функция λb2 ≥ 0 и допустимая в задаче (2.28) мера db[−π/h, π/h], число λµ(·) спроизводной pb(·) на интервале (−σ; σ) , для которых выполняетсянеравенствоb1 (ω), λb2 ) ≥ L(dbb1 (ω), λb2 )L(dµ(·), λµ(·), λ(2.29)для всех функций мер dµ(·) ≥ 0, которые абсолютно непрерывнына (−σ; σ), а также соотношенияZδ2bλ1 (ω) pb(ω) −dω = 0,2π|ω|<σ57(2.30)Ztn (ω)dbµ(ω) = 1,b2λ(2.31)|ω|≤π/hто dbµ(·) - решение задачи (2.28).

Характеристики

Список файлов диссертации