Диссертация (1155096), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

4.1):x = ξ 2n2 ,y = p1 ξ 2k1 + p2 ξ 2k2 .b0 + λb2 xy=λk1k2y = p 1 x n2 + p 2 x n2Yy(x0 )x0Xрис. 4.194Нетрудно видеть, что функция y(x) = p1 xk1 /n2 + p2 xk2 /n2 возрастаети вогнута при x ∈ [0, +∞). В силу вогнутости функции выполняется неравенство y ≤ ye, где ye = kx + b - касательная к графику вогнутой функции y(x) в некоторой точке x0 ≥ 0 Построим 2δ2касательную в точке x0 =. Значения коэффициентов каδ0b2 , b = ye(0) = λb0 . График функциисательной равны k = y 0 (x0 ) = λb0 + λb2 x.y(x) = p1 xk1 /n2 +p2 xk2 /n2 расположен ниже прямой y ≤ ye = λЭто означает, что g(ξ) ≥ 0, то естьb0 + λb2 ξ 2n2 −λ2Xps ξ 2ks ≥ 0.s=1Положимb2 ξ 2n2 + θs (ξ)|ξ|n2λαs (ξ) =rb0 + λb2 ξ 2n2 − p1 ξ 2k1 − p2 ξ 2k2b0 λb2 λλb0 + λb2 ξ 2n2λ,тогда условие (4.57) выполняется при всех θs (ξ) ∈ L∞ (R), s = 1, 2,удовлетворяющих условиюp1 ξ 2k1 θ12 (ξ) + p2 ξ 2k2 θ22 (ξ) ≤ 1,в частности, при θ1 (ξ) = θ2 (ξ) = 0.95ПоложимWb0λb1λb2λq= p21 δ02 + 2p1 p2 δ12 + p22 δ22 , r √1 δ2δ23p1 + p2, δ1 ≥ δ0 δ2 ,4 δ0δ0=,2√δp 1 1,δ 1 ≤ δ0 δ22W√δ1 ≥ δ0 δ2 ,0,=,√p22 W 2 + 2p1 p2 δ12, δ1 ≤ δ0 δ22δ1 W r √1 δ0δ0p1 + 3p2 , δ1 ≥ δ0 δ2 ,4 δ2δ2,=2√δp1 2 ,δ 1 ≤ δ0 δ22W.Теорема 4.2.

Пусть k ∈ N, k1 = k, n1 = 2k, k2 = 3k, n2 = 4k.ТогдаE(W24k (R), K, δ)=√√ 4 δ0 δ2 p 1 δ0 + p 2 δ2 ,δ1 ≥√ δ W ,1δ1 ≤√√δ0 δ2 ,δ0 δ2 .Метод ϕb = (cϕ1 (Y ), ϕc2 (Y )) такой, что его преобразование ФурьеFϕcs (Y ) =2Xαjs (ξ)F yj (ξ), s = 1, 2,j=096где αjs (·)− любые функции из L∞ (R), удовлетворяющие в случае√δ1 ≥ δ0 δ2 условиямr4k8k2k6kbbbbbλ0 λ2 λ0 + λ2 ξ − p1 ξ − p2 ξλ0 − θs (ξ)ξα0s (ξ) = (iξ)(2s−1)k ·,b0 + λb2 ξ 8kλα1s (ξ) = 0,r8k4k8k2k6kbbbbbλ2 ξ + θs (ξ)ξλ0 λ2 λ0 + λ2 ξ − p1 ξ − p2 ξα2s (ξ) = (iξ)(2s−5)k ·,b0 + λb2 ξ 8kλs = 1, 2,а θs (·)− произвольные функции из L∞ (R), удовлетворяющие условиюp1 ξ 2k θ12 (ξ) + p2 ξ 6k θ22 (ξ) ≤ 1,в случае δ1 <√δ0 δ2 условиямP2(iξ)2kj αjs (ξ) = (iξ)(2s−1)k , s = 1, 2, j=0!!P2 |αj1 (ξ)|2P2 |αj2 (ξ)|2+ p2≤1j=0j=0p 1bjbjλλ,является оптимальным .Доказательство.В случае δ1 ≥√δ0 δ2 утверждение теоремы вытекает из теоре-мы 4.1.Пустьδ1 <pδ0 δ2 .97(4.58)Покажем, что в этом случае погрешность оптимального восстанов√ления не меньше величины δ1 W .

Пусть∆0 =ξ0 =δ02,δ12∆2 + P ∆0 −∆2 =pδ22,δ12P =p21,p22(∆2 + P ∆0 )2 − 4P2!1/k=!1pp21 δ02 + p22 δ22 − (p21 δ02 + p22 δ22 )2 − 4p21 p22 δ14 4k,2p22 δ12!1/kp∆2 + P ∆0 + (∆2 + P ∆0 )2 − 4Pξ1 ==2(4.59)!1pp21 δ02 + p22 δ22 + (p21 δ02 + p22 δ22 )2 − 4p21 p22 δ14 4k,(4.60)2p22 δ12ss2 4k2δ ξ − δ1δ12 − δ02 ξ04kD1 (m) = 2πm 04k1,D(m)=.2πm2ξ1 − ξ04kξ14k − ξ04kПодкоренное выражение в равенствах (4.59) и (4.60) положительно,т.к. из (4.58) следует, что ∆0 ∆2 > 1, и, следовательно,p√∆2 + P ∆0 ≥ 2 ∆2 P ∆0 ≥ 2 P .Тем самым доказано, что ξ0 < ξ1 .Покажем, чтоδ02 ξ14k − δ12> 0.ξ14k − ξ04kДля этого достаточно доказать, чтоδ02 ξ14k − δ12 > 0или ∆0 ξ14k > 1. Это неравенство можно записать в виде2P ∆0p> 1.∆2 + P ∆0 − (∆2 + P ∆0 )2 − 4PДля доказательства этого неравенства достаточно показать, чтоp(∆2 + P ∆0 )2 − 4P > ∆2 − P ∆0 .98Если правая часть этого неравенства отрицательна, то оно очевидно выполнено, а если правая часть неотрицательна, то неравенствовыполнено в силу очевидного соотношения(∆2 + P ∆0 )2 − 4P > (∆2 + P ∆0 )2 − 4P ∆0 ∆2 = (∆2 − P ∆0 )2 .Осталось показать, чтоδ02 ξ14k − δ12δ12 − δ02 ξ04k2=δ−> 0.0ξ14k − ξ04kξ14k − ξ04kНетрудно убедиться, что для доказательства этого неравенства достаточно убедиться в справедливости неравенства ∆0 ξ04 < 1, которое можно записать в виде2P ∆0p< 1.∆2 + P ∆0 + (∆2 + P ∆0 )2 − 4PДоказательство этого неравенства сводится к доказательству неравенстваp(∆2 + P ∆0 )2 − 4P > P ∆0 − ∆2 ,которое фактически уже было доказано.Рассмотрим последовательность функций xm (·), для которойD1 (m), ξ ∈ [ξ0 −(F xm )(ξ) = D2 (m), ξ ∈ [ξ1 −0,ξ∈/ [ξ0 −1;ξ ]m 01;ξ ]m 11;ξ ]m 0∪ [ξ1 −1; ξ ].m 1Поскольку12πZR(F xm )(ξ)2 dξ = 1 2πZξ0D12 (m) dξ +1ξ0 − mD12 (m) + D22 (m)= δ02 ,2πm99Zξ11ξ1 − mD22 (m) dξ  ≤12πZ21 ξ 4k (F xm )(ξ) dξ =2πZξ0ξ 4k D12 (m) dξ +ξ 4k D22 (m) ≤1ξ1 − m1ξ0 − mRZξ12πm δ02 ξ04k ξ14k − δ12 ξ04k + δ12 ξ14k − δ02 ξ04k ξ14kD12 (m)ξ04k + D22 (m)ξ14k= δ12 ,=2πm2πm ξ14k − ξ04k12πZ21 ξ 8k (F xm )(ξ) dξ =2πZξ0ξ 8k D12 (m) dξ +ξ 8k D22 (m) ≤1ξ1 − m1ξ0 − mRZξ12πm δ02 ξ08k ξ14k − δ12 ξ08k + δ12 ξ18k − δ02 ξ04k ξ18kD12 (m)ξ08k + D22 (m)ξ18k==2πm2πm ξ14k − ξ04kδ12ξ14k+ξ04k−22 p1δ0 2p2= δ22 ,то последовательность функций xm (·) допустима в задаче (4.49).Значение этой задачи не менее величины:ZZ221 p1 ξ 2k (F xm )(ξ) dξ + p2 ξ 6k (F xm )(ξ) dξ  =2πRRZξ0 Zξ1 1  2p1 ξ 2k + p2 ξ 6k dξ + D22 (m)p1 ξ 2k + p2 ξ 6k dξ  ≥D1 (m)2π1ξ0 − mD12 (m)1ξ1 − mp1 ξ0 −1 2km+ p2 ξ0 − 1 6km+D22 (m)p1 ξ1 −1 2km+ p2 ξ1 −2πmПри m → ∞ данная дробь стремится к величинеQ=p2W2b0 δ 2 + λb1 δ 2 + λb2 δ 2 = δ1 W = λ012ξ02k + ξ12kпри указанных выше значениях ξ0 , ξ1 и2b0 = p1 δ1 ,λ2W2222b1 = p2 W + 2p1 p2 δ1 , λb2 = p2 δ1 .λ2δ1 W2W√То есть в случае δ1 < δ0 δ2 погрешность оптимального восстанов-ленияE(W2n2 (R), K, δ) ≥q100b0 δ 2 + λb1 δ 2 + λb2 δ 2 .λ0121 6km.Перейдем к построению оптимальных методов.

При k1 = k, n1 = 2k,k2 = 3k, n2 = 4k, k ∈ N задача (4.56) принимает видZ2X1ps2π s=1R2Xαjs (ξ)(iξ)2kj F x(ξ)+(iξ)(2s−1)k F x(ξ) −j=02 2Xsαj (ξ)zj (ξ) dξ  → max, (4.61)j=012πZzj (ξ)2 dξ ≤ δj2 , j = 0, 1, 2.RВ случе δ1 <√δ0 δ2 , возьмем такие αjs (ξ), s = 1, 2, чтобы они удо-влетворяли условию2X(iξ)2kj αjs (ξ) = (iξ)(2s−1)k .j=0Задача (4.56) принимает вид2 Z X22X1sps αj (ξ)zj (ξ) dξ  → max,2π s=1j=0RZ1zj (ξ)2 dξ ≤ δj2 , j = 0, 1, 2.2πRПрименим неравенство Коши-Буняковского для оценки подынтегральных функций:22 q22XsXαj (ξ)sbqαj (ξ)zj (ξ) = λj · zj (ξ) ≤ j=0bjj=0λ!2 !2 s2XXαj (ξ)bj |zj (ξ)|2 , s = 1, 2.·λbλjj=0j=0101Значит,2 2Xαjs (ξ)zj (ξ) dξ  ≤j=0R2 !Z X2 s2αj (ξ)1 X·psbj2π s=1λj=0Z2X1ps2π s=12XR!bj |zj (ξ)|2λdξ  .j=0При выполнении условия2Xps22 sXαj (ξ)s=1bjλj=0≤ 1,(4.62)также выполняется неравенство2 Z X222XX1bj δ 2 ,ps λαjs (ξ)zj (ξ) dξ  ≤j2π s=1Rj=0j=0то есть указанные методы оптимальны.

Докажем, что множествооптимальных методов также не пусто. Пустьαjs (ξ) =bj (iξ)(2s−1)k (−iξ)2kjλ,2Pbj ξ 4kjλj=0тогда условиеP2j=0 (iξ)2kjαjs (ξ) = (iξ)(2s−1)k , s = 1, 2, выполняется.Покажем, что условие (4.62) также выполняется.222 sXXαj (ξ)p1 ξ 2k + p2 ξ 6kps=.2bjPλ4kjbs=1j=0λj ξj=0Рассмотрим функциюb0 + λb1 ξ 4k + λb2 ξ 8k =g1 (ξ) = −p1 ξ 2k − p2 ξ 6k + λp21 δ1p2 W 2 + 2p1 p2 δ12 4kp 2 δ1− p1 ξ 2k + 2ξ − p2 ξ 6k + 2 ξ 8k =2W2δ1 W2W2p2 δ1 4k 4kξ0 ξ1 − 2ξ02k ξ12k ξ 2k + ξ04k + 4ξ02k ξ12k + ξ14k ξ 4k −2W p2 δ1 2k2 2k2− ξ02k + ξ12k ξ 6k + ξ 8k = 2ξ − ξ02kξ − ξ12k ≥ 0,2W102это означает чтоp1 ξ 2k + p2 ξ 6k≤ 1,2Pbj ξ 4kjλj=0условие (4.62) выполнено, множество оптимальных методов не пусто.103Литература[1] Колмогоров А.

Н., “О наилучшем приближении функций заданного функционального класса”, Ann. Math., 37, 107–110 (В “А. Н. Колмогоров. Избранные труды, том 1. Математика и механика”, с. 209–212).[2] Никольский С. М. Квадратурные формулы, M.: Наука, 1988.[3] Смоляк С. А., Об оптимальном восстановлении функций и функционаловот них, Канд. дисс. М.: МГУ, 1965.[4] Осипенко К. Ю., “Наилучшее приближение аналитических функций поинформации об их значениях в конечном числе точек ”, Матем. заметки,19:1, (1976), 29–40.[5] Micchelli C. A., Rivlin T. J. A survey of optimal recovery.

In: OptimalEstimation in Approximation Theory (C. A. Micchelli and T. J. Rivlin, Eds.).P. 1–54. New York: Plenum Press, 1977.[6] Micchelli C. A., Rivlin T. J. Lectures on Optimal Recovery. Lecture Notes inMathematics. Berlin: Springer–Verlag, V. 1129, ( 1985), P. 21–93.[7] Melkman A. A., Micchelli C. A. Optimal estimation of linear operators inhilbert spaces from inaccurate data SIAM J. Numer. Anal. , V.

16, (1979),P. 87–105.[8] Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю., Тихомиров В.М. “Оптимальноевосстановление и теория экстремума”, Докл. РАН, 379:2 (2001), 161–164.[9] Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения. Эдиториал УРСС, М., 2011 (3-е изд.)[10] Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К.

Ю., “Оптимальное восстановлениефункций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью”, Матем. сб., 193:3 (2002), 79–100.[11] Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю., “Оптимальное восстановлениефункций и их производных по приближенной информации о спектре инеравенства для производных”, Функц. анализ и его прилож., 37 (2003),51–64.104[12] Магарил-Ильяев Г.

Г., Осипенко К. Ю. “Об оптимальном восстановлениифункционалов по неточным данным”, Мат. заметки, 50:6 (1991), 85–93.[13] Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. “Оптимальное восстановление линейных операторов по неточной информации”, Итоги науки. Южный федеральный округ. Математический форум, 2, (2009), 158—192.[14] Введенская Е. В., Осипенко К. Ю.“ Дискретные аналоги неравенства Л.В.Тайкова и восстановление последовательностей, заданных неточно “, Математические заметки , (2012), 92:4, 18–29.[15] Чудова С. С. “ Оптимальное восстановление разностей последовательностей “, Вестник ТГУ: Сер.

Характеристики

Список файлов диссертации