Диссертация (1155096), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

При указанных выше значениях λjLjRговорит о неотрицательности подкоренного выражения при всехзначениях ω.(b) Пусть k ≥ ksr . Оптимальный метод будем искать в видеk−ksrϕ(Yb ) = ∆hyksr . Для оценки оптимальной погрешности рассмот-рим экстремальную задачуk−ksrk∆kh x − ∆hyksr kl2,h (Z) → max,(3.44)kk∆hj x − yj (·)kl2,h (Z) ≤ δj , j = 1, . . . , n, x ∈ l2,h (Z), y ∈ l2,h (Z).

ihω2 ihωk−ksr e −1 ke−1 dω → max,Fx(ω)−(Fy)(ω)srhhZ12π|ω|≤π/h(3.45)12πZ ihω2 e − 1 kj dω ≤ δj2 , j = 1, . . . , n.Fx(ω)−(Fy)(ω)jh|ω|≤π/h82Оценим максимизируемое выражение, учитывая условия задачи:2 ihω ihωk−ksr e −1 ke −1(F ysr )(ω) dω =F x(ω) −hhZ12π|ω|≤π/h12πZk−ksrt ihω2 e − 1 ksr(ω)F x(ω) − (F ysr )(ω) dω ≤h|ω|≤π/hδs2r 2(k−ksr )2= e−2θ(k) = E 2 (l2,h (Z), K, δ).hТак как верхняя и нижняя оценки погрешности совпадают, методϕb - оптимальный.(c) Пусть k < k1 . Поскольку в этом случае значение задачи(3.39) равно +∞, любой метод оптимален.Заметим, что, в пределе при h → 0 k−ая разделенная разностьпоследовательности x ∈ l2,h (Z) переходит в производную k−го порядка функции f (·) ∈ L2 (R),eihω − 1= iω, lim t(ω) = ω 2 .h→0h→0hlimПредельный оптимальный метод совпадает с оптимальным методом, полученным для восстановления k-ой производной функциипо приближенно известным производным других порядков, полученным в работе [18]:lim αsjL = limh→0h→0(iω)kbsλjLeihω −1hk−ksjbs tksj+1 −ksj (ω) + λbsλjRjL=bsλjLbs (iω)k−ksjλjL=b+ λs ω 2(ksj+1 −ksj )jR(ksj+1 − k)δs2j+1 (−iω)ksj(ksj+1 − k)δs2j+1 ω 2ksj + (k − ksj )δs2j ω 2ksj+183,lim αsjR = limh→0h→0eihω − 1hk−ksj+1−eihω − 1hksj −ksj+1αsjL (ω) =(iω)k−k2 − (iω)ksj −k2 lim αsjL =h→0(iω)k−k2 −k(iω)(iω)k+ksj −ksj+1 (ksj+1 − k)δs2j+1 (−iω)ksj(ksj+1 − k)δs2j+1 ω 2ksj + (k − ksj )δs2j ω 2ksj+1(k − ksj )δs2j (−iω)k2(ksj+1 − k)δs2j+1 ω 2ksj + (k − ksj )δs2j ω 2ksj+1=.84Глава 4Восстановление производной функции понеточно заданным производным другихпорядков и самой функцииВ заключительной главе рассматривается задача одновременного восстановления производных функций k1 -го и k2 -го порядковв среднеквадратичной норме по неточно заданным производнымn1 -го и n2 -го порядков и самой функции.

Решение приводится принекоторых условиях на погрешности, с которыми заданы производные и сама функция. Полностью задача решена для случая k1 = k,n1 = 2k, k2 = 3k, n2 = 4k, k ∈ N. В данной главе используютсярезультаты, опубликованные автором в работах [24, 27].Рассмотрим соболевское пространство функцийW2n (R) = {x(·) ∈ L2 (R) : x(n−1) (·) - локально абсолютнонепрерывна, x(n) (·) ∈ L2 (R)}, n ∈ N.Пусть n0 = 0, n1 , n2 , k1 , k2 ∈ N, 0 < k1 < n1 < k2 < n2 .

Предположим, что для каждой функции x(·) ∈ W2n2 (R) приближенноизвестны её производные n1 -го и n2 -го порядков и сама функция,то есть извеcтны функции y0 (·), y1 (·) и y2 (·) ∈ L2 (R) такие, чтоkx(nj ) (·) − yj (·)kL2 (R) ≤ δj , j = 0, 1, 2.Задача состоит в одновременном оптимальном восстановлениипроизводных k1 -го и k2 -го порядков функции x(·) ∈ W2n2 (R), 0 <k1 < n1 < k2 < n2 .85В качестве методов восстановления рассмотрим всевозможныеотображенияϕ : (L2 (R))3 → (L2 (R))2 .Погрешностью методов ϕ будем называть величинуe(W2n2 (R), K, δ, ϕ) =vu 2uXtpj kx(kj ) (·) − ϕj (Y )(·)k2supL2 (R) ,nx(·)∈W2 2 (R), Y ∈(L2 (R))3j=1kx(nj ) (·)−yj (·)kL2 (R) ≤δj , j=0,1,2где K = (k1 , k2 ), δ = (δ0 , δ1 , δ2 ), Y = (y0 (·), y1 (·), y2 (·)), ϕ =(ϕ1 (Y ), ϕ2 (Y )).

Здесь p = (p1 , p2 ), p1 , p2 ≥ 0 — весовые коэффициенты, варьируя которые можно отдавать предпочтение более точномувосстановлению производной какого-либо порядка.Погрешностью оптимального восстановления называется величинаE(W2n2 (R), K, δ) =infϕ : (L2 (R))3 →(L2 (R))2e(W2n2 (R), K, δ, ϕ).Методы ϕ,b на которых достигается нижняя грань, будем называтьоптимальными методами.n1n1− n1Теорема 4.1. Если δ1 ≥ δ2n2 δ02, погрешность оптимальноговосстановления равнаE(W2n2 (R), K, δ)qb0 δ 2 + λb2 δ 2 ,= λ02(4.46)гдеb 0 = p1λδ2δ02k1 /n2 2k2 /n2 k1δ2k21−+ p21−,n2δ0n2b2 = p1 k1λn2δ2δ02(k1 /n2 −1)k2+ p2n2δ2δ02(k2 /n2 −1).Метод ϕb = (cϕ1 (Y ), ϕc2 (Y )) такой, что его преобразование ФурьеFϕcs (Y ) = (iξ)ks (1 − αs (ξ)) F y0 (ξ) + (iξ)ks −n2 αs (ξ)F y2 (ξ), s = 1, 2,86гдеb2 ξ 2n2 + θs (ξ)|ξ|n2λrb0 λb2 λb0 + λb2 ξ 2n2 − p1 ξ 2k1 − p2 ξ 2k2λαs (ξ) =,b0 + λb2 ξ 2n2λа θs (·)− произвольные функции из L∞ (R), удовлетворяющие условиюp1 ξ 2k1 θ12 (ξ) + p2 ξ 2k2 θ22 (ξ) ≤ 1,является оптимальным.Доказательство.Сначала рассмотрим задачу оптимального восстановления производных k1 -го и k2 -го порядков в общем виде, без ограничений напогрешности.

Докажем, что имеет место неравенствоvu 2uXn2tE(W2 (R), K, δ) ≥suppj kx(kj ) (·)k2L2 (R) .nx(·)∈W2 2 (R),(nj )kx(·)kL2 (R) ≤δj , j=0,1,2j=1(4.47)Для любой функции x(·) ∈ W2n2 (R) такой, что выполнены условия kx(nj ) (·)kL2 (R) ≤ δj , j = 0, 1, 2, и для любого метода ϕ имеем2 p1 kx(k1 ) (·)k2L2 (R) + p2 kx(k2 ) (·)k2L2 (R)1/2=p1 kx(k1 ) (·) − (−x)(k1 ) (·) + ϕ(0) − ϕ(0)k2L2 (R) +1/2p2 kx(k2 ) (·) − (−x)(k2 ) (·) + ϕ(0) − ϕ(0)k2L2 (R)≤1/2p1 kx(k1 ) (·) − ϕ(0)k2L2 (R) + p2 kx(k2 ) (·) − ϕ(0)k2L2 (R)+1/2≤p1 k(−x)(k2 ) (·) − ϕ(0)k2L2 (R) + p2 k(−x)(k2 ) (·) − ϕ(0)k2L2 (R)2e(W2n2 (R), K, δ, ϕ).То есть, для любого метода ϕ выполняетсяvu 2uXn2te(W2 (R), K, δ, ϕ) ≥suppj kx(kj ) (·)k2L2 (R) .nx(·)∈W2 2 (R),kx(nj )(·)kL2 (R) ≤δj , j=0,1,287j=1Отсюда следует неравенство (4.47).Это означает, что погрешность оптимального восстановления неменьше значения экстремальной задачиqp1 kx(k1 ) (·)k2L2 (R) + p2 kx(k2 ) (·)k2L2 (R) → max,kx(nj ) (·)kL2 (R) ≤ δj ,j = 0, 1, 2.

(4.48)Перейдем к квадрату задачи (4.48), запишем её в образах Фурье. Применив теорему Планшереля, приходим к следующей задаче:12πZ(p1 ξ 2k1 + p2 ξ 2k2 )|(F x)(ξ)|2 dξ → max,R12πZξ 2nj |(F x)(ξ)|2 dξ ≤ δj2 ,j = 0, 1, 2. (4.49)RКак и при доказательстве предыдущих теорем, расширим этузадачу, перейдя от функций к неотрицательным мерам12πZ(p1 ξ 2k1 + p2 ξ 2k2 ) dµ(ξ) → max,R12πZξ 2nj dµ(ξ) ≤ δj2 ,j = 0, 1, 2,dµ(ξ) = |(F x)(ξ)|2 dξ ≥ 0.R(4.50)Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид1L(dµ(·), λ) =2πZ(−p1 ξ 2k1 − p2 ξ 2k2 + λ0 + λ1 ξ 2n1 + λ2 ξ 2n2 ) dµ(ξ),Rгде λ = (λ0 , λ1 , λ2 ).По теореме Каруша-Куна-Таккера для нахождения решениядостаточно найти такие неотрицательные множители Лагранжа88b0 , λb1 , λb2 и допустимую в задаче (4.50) меру dbλµ(·) ≥ 0 , для которых выполняются условия:b0 , λb1 , λb2 ) = L(dbb0 , λb1 , λb2 ),min L(dµ(·), λµ(·), λ(4.51)dµ(·)>0bj  1λ2πZξ 2nj dµ(ξ) − δj2  = 0,j = 0, 1, 2.(4.52)RТеперь докажем теорему 4.1.

Пустьn1n1− n1δ1 ≥ δ2n2 δ02.(4.53)Положим λ1 = 0 и рассмотрим функцию y = y(x), заданную параметрическиy = p1 ξ 2k1 + p2 ξ 2k2 ,x = ξ 2n2 .В предыдущих главах мы убедились, что это вогнутая функцияпри x ∈ [0, +∞). Касательная к графику этой функции в точкеx0 = ξ02n2 будет иметь вид y = λ0 + λ2 x, гдеk1k2k1k2n2λ0 = 1 −p 1 x0 + 1 −p2 x0n2 ,n2n2λ2 =k1k2−1−1k2k1p1 x0n2 + p2 x0n2 .n2n2Тем самым в силу вогнутости для всех ξ ∈ R будет выполненонеравенство−p1 ξ 2k1 − p2 ξ 2k2 + λ0 + λ1 ξ 2n1 + λ2 ξ 2n2 ≥ 0.Следовательно, L(dµ(·), λ) ≥ 0 для любой неотрицательной мерыdµ(ξ). Положим dµ0 (ξ) = 2πδ02 δ(ξ − ξ0 ), где δ(·) — дельта-функцияв нуле, аξ0 =δ2δ01/n2.Тогда12πZξ 2nj dµ0 (ξ) = δj2 ,R89j = 0, 2,а12πZξ2n1dµ0 (ξ) =δ022n1 /n2δ2δ02n12−= δ2n2 δ02n1n2≤ δ12 .RТаким образом, dµ0 (·) — допустимая мера, выполнены условия(4.52) и L(dµ0 (·), λ) = 0.

Отсюда вытекает, что dµ0 (·) является решением экстремальной задачи (4.49).b0 δ 2 +Покажем, что решение задачи (4.50) не меньше величины λ0b2 δ 2 . Рассмотрим последовательность функций xm (·), для которойλ2(F xm )(ξ) =D(m), ξ ∈ [ξ0 −ξ∈/ [ξ0 −0,где ξ0 =δ2δ0 n121; ξ ],m 0√, D(m) = δ0 2πm. Так какZ12π1;ξ ]m 0Zξ0(F xm )(ξ)2 dξ = 12πD2 (m) dξ ≤1ξ0 − mR1· D2 (m) = δ02 ,2πmn1n2и, учитывая условие δ1 ≥ δ2 δ012πZξ2n1 n1− n12, выполняются соотношения21(F xm )(ξ) dξ =2πZξ0ξ 2n1 D2 (m) dξ ≤1ξ0 − mRD2 (m) 2n1· ξ0 ≤ δ12 ,2πm12πZ2D2 (m) 2n2ξ 2n2 (F xm )(ξ) dξ ≤· ξ0 = δ22 ,2πmR90то последовательность функций xm (·) допустима в задаче (4.49).Значение этой задачи не менее величины:ZZ22112k1 p1 ξ (F xm )(ξ) dξ +p2 ξ 2k2 (F xm )(ξ) dξ =2π2πRRD2 (m)2πZξ0 2k22k1dξ ≥p1 ξ + p2 ξ1ξ0 − mδ02 2k12k2 11p1 ξ0 −+ p2 ξ0 −.mmПри m → ∞ величина, стоящая в правой части, стремится к величинеQ=δ02 2 nk2 2 nk122δ2δ2b0 δ 2 + λb2 δ 2+ p2=λp102δ0δ0при k1 k2b0 = p1 δ2 2 n2 1 − k1 + p2 δ2 2 n2 1 − k2 ,λδ0n2δ0n2k−nk−n 1 2 2 2b2 = p1 k1 δ2 2 n2 + p2 k2 δ2 2 n2 .λn2 δ0n 2 δ0n1n2n1− n1То есть в случае δ1 ≥ δ2 δ0(4.54)2погрешность оптимального восста-новленияE(W2n2 (R), K, δ)≥qb0 δ 2 + λb2 δ 2 .λ02Займемся построением оптимальных методов.

Оптимальныеметоды в общем случае будем искать среди методов ϕ(Yb ) =(ϕb1 (Y ), ϕb2 (Y )) вида ϕbs (Y (·)) = Λs0 y0 (·) + Λs1 y1 (·) + Λs2 y2 (·), где Λsj :L2 (R) → L2 (R), j = 0, 1, 2, s = 1, 2 - линейные непрерывные операторы, действие которых в образах Фурье имеет вид:F (Λsj yj )(·) = αjs (·)(F yj )(·), j = 0, 1, 2, s = 1, 2,где αjs (·) ∈ L∞ (R).91Для оценки оптимальной погрешности для фиксированныхyj (·) ∈ L2 (R), j = 0, 1, 2, s = 1, 2, рассмотрим экстремальную задачу2Xps kx(ks ) (·) −s=12X!Λsj yj (·)k2L2 (R)→ max,j=0kx(nj ) (·) − yj (·)k2L2 (R) ≤ δj2 , j = 0, 1, 2, s = 1, 2.Перепишем эту задачу в образах Фурье2 Z 22XX1ps (iξ)ks F x(ξ) −αjs (ξ)F yj (ξ) dξ  → max, (4.55)2π s=1j=0RZ1(iξ)nj F x(ξ) − F yj (ξ)2 dξ ≤ δj2 , j = 0, 1, 2.2πRПоложимzj (ξ) = (iξ)nj F x(ξ) − F yj (ξ), j = 0, 1, 2.Задача (4.55) примет видZ2X1ps2π s=1R2Xksαjs (ξ)(iξ)nj F x(ξ)+(iξ) F x(ξ) −j=02 2Xsαj (ξ)zj (ξ) dξ  → max, (4.56)j=012πZzj (ξ)2 dξ ≤ δj2 , j = 0, 1, 2.Rn1n2n1− n1В случае δ1 ≥ δ2 δ02положимα0s (ξ) = (iξ)ks (1 − αs (ξ)) , α1s (ξ) = 0, α2s (ξ) = (iξ)ks −n2 αs (ξ), s = 1, 2.92Задача (4.56) перепишется в видеZ2X1ps (iξ)ks (1 − αs (ξ)) z0 (ξ)+2π s=1R(iξ)12πZks −n22 αs (ξ)z2 (ξ) dξ → max,zj (ξ)2 dξ ≤ δj2 , j = 0, 1, 2.RОценим подынтегральные функции с помощью неравенства КошиБуняковского:(iξ)ks (1 − αs (ξ)) z0 (ξ) + (iξ)ks −n2 αs (ξ)z2 (ξ)2 =2qq−n2(iξ) αs (ξ) b2ks 1 − αs (ξ)bqξ qλ0 · z0 (ξ) +λ2 · z2 (ξ) ≤b0b2λλ!22|α(ξ)||1−α(ξ)|ssb0 |z0 (ξ)|2 + λb2 |z2 (ξ)|2 , s = 1, 2.ξ 2ks+· λb0b2 ξ 2n2λλТогдаZ2X1ps (iξ)ks (1 − αs (ξ)) z0 (ξ) + (iξ)ks −n2 αs (ξ)z2 (ξ)2 dξ  ≤2π s=1R!Z2221 X|1−α(ξ)||α(ξ)|ssb0 |z0 (ξ)|2 + λb2 |z2 (ξ)|2 dξ  .ps ξ 2ks+λ2nbb2π s=1λ0λ2 ξ 2RЕсли выполняется условие2Xξ 2ks pss=1|1 − αs (ξ)|2 |αs (ξ)|2+b0b2 ξ 2n2λλ!≤ 1,(4.57)справедливо неравенствоZ221 Xps (iξ)ks (1 − αs (ξ)) z0 (ξ) + (iξ)ks −n2 αs (ξ)z2 (ξ) dξ ≤2π s=1Rb0 δ 2 + λb2 δ 2 ,λ0293то есть оценка сверху совпадает с оценкой снизу, что означает оптимальность метода.

Покажем, что множество оптимальных методовне пусто. Из условия (4.57) найдем ограничения на αs (ξ) и построим явно какой-либо из методов.2Xξ2kspss=1b0 + λb2 ξλb0 λb2λ2n2|1 − αs (ξ)|2 |αs (ξ)|2+b0b2 ξ 2n2λλ!=2P2ps ξ 2ks2n2bλξ2s=1·ξ 2(ks −n2 ) ps αs (ξ) −≤1 +2nbbbb2 ξ 2n22λ+λξλ+λ020s=12X22n2bλ2 ξ2(ks −n2 )ξps αs (ξ) − ≤2nbbλ0 + λ2 ξ 2 s=12Xb0 λb2λb0 + λb2 ξ 2n2λ2 ·b0 + λb2 ξ 2n2 −λ2X!ps ξ 2kss=1Рассмотрим функциюb0 + λb2 ξ 2n2 ,g(ξ) = −p1 ξ 2k1 − p2 ξ 2k2 + λξ ≥ 0,и параметрически заданную кривую (см. рис.

Характеристики

Список файлов диссертации