Диссертация (1155096), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Это линейный непрерывный оператор.Преобразованием Фурье последовательности x = {xj }j∈Z ∈l2,h (Z) называется функция(F x)(ω) = hXxj e−ijhω ∈ L2 ([−π/h, π/h]).j∈Z22Преобразованием Фурье оператора разделенной разности первогопорядка последовательностей называется функцияX xj+1 − xje−ijhω =(F ∆1h x)(ω) = hhj∈Z1h!hXxj+1 e−i(j+1)hω ihωe−hXxj e−ijhω=j∈Zj∈ZXXeihωeihω − 11·hxj e−ijhω =(F x)(w).xj+1 e−i(j+1)hω − · hhhhj∈Zj∈ZСледовательно,(F ∆mh x)(ω) =(eihω − 1)m(F x)(ω).hmПо теореме Планшереля получаем2k∆mh xkl2,h (Z) =2k∆mh xkl2,h (Z)12kF (∆mh x)(ω)kL2 ([−π/h,π/h]) ,2π1=2π2mZπ/h ihω2e − 1 dω.Fx(ω)h2m−π/hСвертка последовательностей x и y определяется следующим образом:(x ∗ y)j =Xxk yj−k.k∈ZТеорема 0.2 (о свертке).

Преобразование Фурье переводитсвертку последовательностей в произведение преобразований фурье этих последовательностей:(F (x ∗ y)) (ω) = (F x) (ω) · (F y) (ω).Соболевским пространством W2n (Rd ),n ∈ N называется со-вокупность таких функций f (·) ∈ L2 (Rd ), что для любого k =(k1 , . . . , kd ) ∈ Zd+ , для которого k1 + . . . + kd ≤ n, производнаяx 7→ Dk f (x) =∂f k1 +...+kd (x)∂xk11 · . . .

· ∂xkdd23также принадлежит L2 (Rd ).Пустьd = 1, W2n (R) = {x(·) ∈ L2 (R) : x(n−1) (·) - локально абсолютнонепрерывна, x(n) (·) ∈ L2 (R)}.Преобразованием Фурье производной x0 (·) функции x(·) ∈ W2n (R)является функция(F x0 )(ξ) = iξ(F x)(ξ) ∈ L2 (R),(F x(m) )(ξ) = (iξ)m (F x)(ξ).По теореме Планшереля получаемkx(m) (ξ)k2L2 (R) =1kF x(m) )(ξ)k2L2 (R) =2πZ11m2k(iξ) (F x)(ξ)kL2 (R) =ξ 2m |(F x)(ξ)|2 dξ.2π2πRВыпуклая оптимизацияПусть X — линейное пространство, функция f : X → R.

Надграфиком функции f называется множествоepi f = { (x, α) ∈ X × R | α ≥ f (x) }Функция f : X → R называется выпуклой, если ее надграфик epi fявляется выпуклым множеством.Пусть A — выпуклое подмножество X, функции fi : X → R,i = 0, 1, . . . , m, — выпуклые , ai ∈ R , i = 1, . . .

, m.Выпуклой задачей, или задачей выпуклого программированияназывается следующая задача ортимизации:f0 (x) → min,fi (x) ≤ ai ,24i = 1, . . . , m,x ∈ A.(0.3)Точки x ∈ A , удовлетворяющие неравенствам fi (x) ≤ ai , i =1, . . . , m, называются допустимымиточками. Точки минимумафункции f0 (x) называются решениями данной задачи.Функция L : X × Rm+1 , заданная равенствомL(x, λ) =mXλi fi (x),i=0где λ = (λ0 , λ1 , . . . , λm ), называется функцией Лагранжа задачи (0.3), а числа λ0 , λ1 , . . . , λm — множителями Лагранжа.Теорема 0.3 (Каруша–Куна–Таккера). Пусть xb — решение задачи (0.3).

Тогда существует такой ненулевой набор множителейb = (λb0 , λb1 , . . . , λbm ), чтоЛагранжа λb = L(bb(a) minx∈A L(x, λ)x, λ);bi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m;(b) λbi (fi (b(c) λx) − ai ) = 0, i = 1, . . . , m.Если существуют xb – допустимая в задаче (0.3) точка, и наb = (λb0 , λb1 , . . . , λbm ), которые удовлебор множителей Лагранжа λb0 > 0, то xтворят условиям (a), (b) и (c) и при этом λb — решениезадачи (0.3).Если найдется по крайней мере одна допустимая в задаче точка xb ∈ A, такая, что fi (bx) < ai , i = 1, .

. . , m (условие регулярноb0 6= 0.сти или условие Слейтера), то λЕсли выполнено условие Слейтера, то ограничения (a), (b) и(c) – необходимые и достаточные условия того, что допустимая взадаче (0.3) точка xb является решением этой задачи.Очевидно, что, если условия (a), (b) и (c) выполнены для некоb то они выполнены и для набора cλ,b где c > 0. Тоторого набора λ,b0 > 0 будем полагать, что λb0 = 1.есть при λ25Значением задачи (0.3) называется нижняя грань чисел f0 (x) повсем допустимым x. Если xb — решение задачи (0.3), то, очевидно,значение задачи равно f0 (bx).26Глава 1Восстановление оператора разделенной разностипо преобразованию Фурье последовательности всреднеквадратичной нормеВ данной главе рассматриваются задачи одновременного восстановления операторов разностей последовательности различныхпорядков в среднеквадратичной норме на классе последовательностей с ограниченной n-ой разделенной разностью.

В первой задаче преобразование Фурье последовательности приближенно заданона отрезке. Во второй задаче неточно задана сама последовательность. Предельным переходом из полученных результатов вытекает непрерывный случай, исследованный в работах [13], [11] и [16].Решение второй задачи изложено автором в работе [21].Перед формулировкой основных результатов данной главы введем некоторые обозначения. Пусть n ∈ N. Рассмотрим класс последовательностейnW2,h= {x ∈ l2,h (Z) : k∆nh xkl2,h (Z) ≤ 1}.Преобразованием Фурье последовательности x = {xj }j∈Z ∈ l2,h(Z)является функция(F x)(ω) = hXxj e−ijhω ∈ L2 ([−π/h, π/h]),j∈Zа оператора разделенной разности первого порядка – функция(F ∆1h x)(ω) = hX xj+1 − xjj∈Zh27e−ijhω =eihω − 1(F x)(ω),hпреобразованием Фурье оператора разделенной разности порядкаm - функция(F ∆mh x)(ω) =(eihω − 1)m(F x)(ω).hmСтавится задача одновременного оптимального восстановленияоператоров всех разностей(∆1h x, ∆2h x, .

. . , ∆hn−1 x)n, при условии, что её преобразованиепоследовательности x ∈ W2,hФурье на отрезке [−σ; σ], 0 ≤ σ ≤ π/h нам известно с точностьюдо δ :kF x(ω) − y(ω)kL2 ([−σ;σ]) ≤ δ,δ > 0.В качестве методов восстановления рассмотрим всевозможныеотображенияϕ(y) = (ϕ1 (y), ϕ2 (y), . . . , ϕn−1 (y)),ϕk (y) : L2 ([−σ; σ]) → l2,h (Z),1 ≤ k ≤ n − 1.Обозначим∆ = (∆1 , ∆2 , . . .

, ∆n−1 ).Погрешностью метода ϕ называется величинаne(W2,h, F, ∆, δ, ϕ) ==supn , y∈L ([−σ;σ])x∈W2,h2kF x(ω)−y(ω)kL2 ([−σ;σ]) ≤δvu n−1uXtpk k∆k x − ϕk (y)k2hl2,h (Z) .k=1Здесь p = (p1 , p2 , . . . , pn−1 ), pk ≥ 0, 1 ≤ k ≤ n − 1, — весовыекоэффициенты, варьируя которые можно отдавать предпочтениеболее точному восстановлению оператора какой-либо разности.28Погрешностью оптимального восстановления называется величинаnE(W2,h, F, ∆, δ) =infϕ: L2 ([−σ;σ])→(l2,h (Z))nne(W2,h, F, ∆, δ, ϕ).Метод ϕ,b на котором достигается нижняя грань, назовем оптимальным методом.Пусть x -положительный корень уравнения n−kn−1n−1XXkk δ2 npkx.pk x n =n 2πk=1k=1n−1Pkpk x n вогнута,Рассмотрим обе части уравнения.

Функция y =k=1n−k2n−1nP k δlim y 0 = 0. Функция y =pkx - прямая с положительx→0n 2πk=1ным угловым коэффициентом, проходящая через начало коорди-нат. Это означает, что при x > 0 графики этих функций имеютединственную точку пересечения, то есть данное уравнение всегдаимеет единственный корень.Введем обозначения:122hx 2n1arcsin, x 2n <2hhσb=,21π ,x 2n ≥hhωh4 sin22 , ω = t (σ) .t(ω) =σh2Теорема 1.1. Пусть n ∈ N, δ > 0. ТогдаnE(W2,h, F, ∆, δ) = 2 n−k1/2n−1nPδpk,σ≥σb,2πk=1kn−1 2 n−k1/2Pδ kn−kk−npk ωσ+ ωσ, σ<σb.2π nnk=129Все методы ϕbk (y) =∆k F −1 αk (ω)y(ω) ,hω ∈ (−σ; σ)0,ω∈/ (−σ; σ),гдеαk (ω) =b1 +θk (ω)λb1 +λb2 tn (ω) ,λω ∈ (−σ; σ),(1.4)ω∈/ (−σ; σ)0,а θk (·) для почти всех ω ∈ (−σ; σ) удовлетворяют условиюn−1Xn−1Xnnkbbbbpk t (ω)|θk (ω)| ≤ λ1 λ2 t (ω) λ1 + λ2 t (ω) −pk t (ω) , (1.5)k2k=1k=1в которомb1λb2λ 2 − nkn−1Pδpk1 − nk ,σ≥σb,2π= k=1,k n−kn−1Pk1 − nk , σ < σpk ωσkbnk=1 n−kn−1P k δ2 npk n, σ≥σb,2πk=1= n−1Ppk ωσk−n ,σ<σbk=1являются оптимальными.Доказательство.Докажем , чтоnE(W2,h, F, ∆, δ) ≥supnx∈W2,hkF x(ω)kL2 ([−σ;σ]) ≤δvu n−1uXtpk k∆k xk2hl2,h (Z) .k=1nДля любой последовательности x ∈ W2,hтакой, чтоkF x(ω)kL2 ([−σ;σ]) ≤ δ,30(1.6)и для любого метода ϕ имеем X1/2n−1k22pk k∆h xkl2,h (Z)=k=1=Xn−1pk k∆kh (x)−∆kh (−x)+ ϕ(0) −ϕ(0)k2l2,h (Z)1/2≤k=1≤Xn−1pk k∆kh (x)−ϕ(0)k2l2,h (Z)+n−1Xpk k∆kh (−x)−ϕ(0)k2l2,h (Z)1/2≤k=1k=1 Xn−1≤ 2supnx∈W2,hk=1kF x(ω)kL2 ([−σ;σ]) ≤δpk k∆kh xk2l2,h (Z)1/2≤1/22n.≤ 2e (W2,h , F, ∆, δ, ϕ)То есть, для любого метода ϕne(W2,h, F, ∆, δ, ϕ) ≥supnx∈W2,hkF x(ω)kL2 ([−σ;σ]) ≤δvu n−1uXtpk k∆k xk2hl2,h (Z) .k=1Из данного неравенства следует неравенство (1.6).Это означает, что квадрат погрешности оптимального восстановления не меньше значения экстремальной задачиn−1Xpk k∆kh xk2l2,h (Z) → max, k∆nh xkl2,h (Z) ≤ 1,(1.7)k=1kF x(ω)kL2 ([−σ;σ]) ≤ δ.Перейдем к квадрату задачи и применим теорему Планшереля.Задача (1.7) принимает вид:2kZπ/h ihωn−12e − 1 1 XpkF x(ω) dω → max,2k2π k=1h−π/hZσ−σF x(ω)2 dω ≤ δ 2 ,12π2nZπ/h ihω2e − 1 dω ≤ 1.Fx(ω)h2n−π/h31(1.8)Рассмотрим расширение этой задачи на пространство всех положительных мер на окружности.

Положимdµ(ω) =21 (F x)(ω) dω ≥ 0.2πТогда задачу (1.8) можно переписать в виде:−n−1Xpkk=1Zσ2π2kZπ/h ihωe − 1h2kdµ(ω) → min,(1.9)−π/hdµ(ω) ≤ δ 2 ,−σ2nZπ/h ihωe − 1h2ndµ(ω) ≤ 1.−π/hЭто выпуклая задача. Сопоставим ей функцию Лагранжа: σ2kZZπ/h ihωn−12Xe − 1δ dµ(ω) + λ1  dµ(ω) −+pkL(dµ(·), λ1 , λ2 ) = −2kh2πk=1−σ−π/hλ2 2nZπ/h ihωe − 1h2ndµ(ω) − 1 =−π/hZπ/h−π/hn−1X!δ2pk t (ω) + λ1 χ[−σ,σ] + λ2 t (ω) dµ(ω) − λ1−+ λ2 ,2πk=1knгде χ[−σ,σ] – характеристическая функция на отрезке [−σ, σ].Легко показать, что если найдутся допустимая в задаче (1.9)b = (λb1 , λb2 ) такие, чтомера dbµ(·) ≥ 0 и множители Лагранжа λвыполнены условия:b1 , λb2 ) = L(dbb1 , λb2 ),min L(dµ(·), λµ(·), λ(1.10)dµ(·)>0Zσb1 λ2dbµ(ω) −δ = 0,2πZπ/hb2 λ−σtn (ω)dbµ(ω) − 1 = 0,−π/h(1.11)b1 ≥ 0, λb2 ≥ 0,λ32(1.12)то dbµ(·) - решение задачи (1.9).

Действительно, для любой допустимой меры dµ(·) выполняется цепочка неравенств:−n−1XZπ/hpkk=1tk (ω)dµ(ω) ≥ −Zπ/hb2 λZπ/hpkk=1−π/hn−1Xb1 tk (ω)dµ(ω) + λZσ2dµ(ω) −−σ−π/hb1 , λb2 ) ≥ L(dbb1 , λb2 ) =tn (ω)dµ(ω) − 1 = L(dµ(·), λµ(·), λ−π/h−n−1Xk=1Zπ/hpktk (ω)dbµ(ω).−π/hСледовательно,n−1Xk=1Zπ/hpktk (ω)dbµ(ω) ≥n−1Xk=1−π/hZπ/hpktk (ω)dµ(ω)−π/hдля всех допустимых мер dµ(·), то есть dbµ(·) - решение задачи (1.9).Рассмотрим подынтегральное выражение в функции Лагранжаg(ω) = −n−1Xpk tk (ω) + λ1 χ[−σ,σ] + λ2 tn (ω).k=1Для выполнения условия (1.10) необходимо, чтобы g(ω) ≥ 0для всех ω. Cделаем замену t = t(ω) ≥ 0. Тогда n−1Pb1 + λb2 tn , t ∈ [0; ωσ ]pk tk + λ−k=1g(t) =.n−1P2knbpk t + λ2 t ,t ∈ ωσ ; (2/h)−k=1b1 ≥ 0 иРассмотрим сначала случай σ ≥ σb.

Множители Лагранжа λb2 ≥ 0 будем подбирать так, чтобы прямая y = λb1 + λb2 x касаласьλграфика параметически заданной функцииn−1Pye =pk tk ,k=1x = t n33δ +2πв единственной точке x0 = tn0 (см. рис. 1.1). Из графика функцииb1 > 0 и λb2 > 0, где λb1 – точка пересечения касательнойследует, что λb2 – угловой коэффициент наклона касательной.с осью OY ; λb1 + λb2 xy=λYb2 xy=λye =n−1Pkpk x nk=1ye0x0ωσnωσbnрис.

Характеристики

Список файлов диссертации