Диссертация (1155096), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Обозначим класс последовательностейnnW2,h,∞(Z) = {x ∈ W2,h: (F x)(·) ∈ L∞ ([−π/h, π/h])}.n(Z) такПусть для каждой последовательности x ∈ W2,h,∞же приближенно известно её преобразование Фурье на множестве(−σ; σ) , σ ≤ π/h, в метрике L∞ (−σ; σ), то есть извеcтна некотораяфункция y ∈ L∞ (−σ; σ) такая, чтоk(F x)(·) − y(·)kL∞ (−σ;σ) ≤ δ.Задача состоит в оптимальном восстановлении либо самой последовательности, либо оператора разделенной разности k− го поnрядка последовательности x ∈ W2,h,∞(Z).Любое отображениеϕ(y) : L∞ (−σ; σ) → l2,h (Z)объявляем методом восстановления и погрешностью этого методаназываем величинуne(W2,h,∞(Z), ∆kh , δ, ϕ) =supnx∈W2,h,∞(Z)k(∆kh x) − ϕ(y(·))kl2,h (Z) .y∈L∞ (−σ;σ)k(F x)(·)−y(·)kL∞ (−σ;σ) ≤δНас интересует величинаnE(W2,h,∞(Z), ∆kh , δ) =infϕ: L∞ (−σ;σ)→l2,h (Z)12ne(W2,h,∞(Z), ∆kh , δ, ϕ),которая называется погрешностью оптимального восстановления иметод ϕ,b на котором достигается нижняя грань, называемый оптимальным методом восстановления.Положим ihωe − 12t(ω) =h2σb− решение уравненияRσbhω 22 sin2 = ,h2π,δ2tn (ω)dω =−bσσ0 = min(σ, σb).Теорема 2.1.

Погрешность оптимального восстановленияравна√ Ω,nE(W2,h,∞(Z), ∆kh , δ) = r δ2 2πσ0 < π/h,Rtk (ω)dω,σ0 = π/h,|ω|≤π/hгдеδ2Ω=2πZkt (ω)dω +ωσk−n0δ21−2π|ω|<σ0Znt (ω)dω ,|ω|<σ02hσ02  .h2 sinωσ0 = При σ0 < π/h метод ϕ(y)bтакой, чтоα(ω)y(ω), |ω| ≤ σ0F ϕ(y)b=,0,|ω| > σ0гдеkn−k eihω − 1t(ω)α(ω) = 1 −·,ωσ0hkявляется оптимальным. При σ0 = π/h метод ϕ(y)bтакой, чтоkeihω − 1F ϕ(y)b=y(ω),hkявляется оптимальным.13В третьей главе изучается задача восстановления оператора k-ой разделенной разности последовательности в среднеквадратичной норме по неточно заданным разделенным разностямk1 , k2 , . .

. kn порядков. В этой главе используются результаты, опубликованные автором в работах [22, 25, 26]. Аналогичная задачаоптимального восстановления решения уравнения теплопроводности по приближенным измерениям в другие моменты времени рассматривалась в работе [17]. Задача оптимального восстановленияk-ой производной функции по приближенно известным производным других порядков рассматривалась в работе [18].

Результат,полученный в диссертации, в предельном случае переходит в результат, полученный в работе [18]. Снова перед фдомулировкойтеоремы введем некоторые обозначения.Пусть n ∈ N. Предположим, что для каждой последовательности x ∈ l2,h (Z) неточно известны разделенные разности k1 , k2 , . . . , knпорядков (0 ≤ k1 < k2 < . . . < kn ), то есть известны последовательности y1 , y2 , .

. . , yn такие, чтоkk∆hj x − yj kl2,h (Z) ≤ δj , j = 1, . . . , n.Рассмотрим задачу оптимального восстановления оператора kтой разделенной разности ∆kh x(k ∈ Z+ ) последовательностиx ∈ l2,h (Z). В качестве метода восстановления рассмотрим всевозможные отображенияϕ : (l2,h (Z))n → l2,h (Z).Погрешностью этого метода называется величинаe(l2,h (Z), K, δ, ϕ) =supk∆kh x − ϕ(Y )kl2,h (Z) ,x∈l2,h (Z)Y ∈(l2,h (Z))nkk∆hj x−yj kl2,h (Z) ≤δj , j=1,...,nгде K = (k1 , k2 , . . . , kn ), δ = (δ1 , δ2 , . .

. , δn ), Y = (y1 , y2 , . . . , yn ).14Погрешность оптимального восстановления будет значениемэкстремальной задачиE(l2,h (Z), K, δ) =infϕ: (l2,h (Z))n →l2,h (Z)e(l2,h (Z), K, δ, ϕ),а метод ϕ,b на котором достигается нижняя грань – оптимальныйметод.Пусть k, k1 , k2 , . . . , kn ∈ Z+ , 0 ≤ k1 < k2 < · · · ≤ kn , δ > 0.ПоложимhM = co {(kj , ln 1/δj ), 1 ≤ j ≤ n} + {(t, t ln ) : t ≥ 0},2где co A обозначает выпуклую оболочку множества A. Пусть функция θ(·) на промежутке [0, +∞) задана равенствомθ(k) = max{x : (k, x) ∈ M },ks1 , ks2 , . .

. ksr – ee точки излома,bsλjLksj+1 − k=ksj+1 − ksjbsλjRk − ks j=ksj+1 − ksjδsj+1δs jδsjδsj+14 sin2t(ω) =h2k−ksjsj+1 −ksj2 k,2 kksj+1−k−ksj+1sj,hω2 .Теорема 3.1. Для любого k ≥ 0 погрешность оптимальноговосстановления равнаE(l2,h (Z), K, δ) = e−θ(k) .(1) Если k1 > 0, 0 ≤ k < k1 , то любой метод является оптимальным;(2) если k = ksj , 1 ≤ j ≤ r, то метод ϕb такой, чтоϕ(Yb ) = y sj ,является оптимальным;15(3) если r ≥ 2, k ∈ (ksj , ksj+1 ), 1 ≤ j ≤ r − 1, то любой методвида ϕ(Yb ) = βsjL ∗ ysj + βsjR ∗ ysj+1 является оптимальным,где βsjL , βsjR - последовательности, преобразование Фурьекоторых удовлетворяет условиям:eihω − 1hk−ksjbsλjL≤(F βs )(ω) −jLbs bs tksj+1 −ksj (ω) + λλjLjRqbs λb tk−ksj+1 (ω)λjL sjRbs + λbs tksj −ksj+1 (ω)λjRjL(F βsjR )(ω) =eihω − 1h·qbs tksj −k (ω) + λbs tksj+1 −k (ω) − 1,λjLjRk−ksj+1−eihω − 1hksj −ksj+1αsjL (ω),является оптимальным,b такой, что(4) если k > ksr , то метод ϕk−ksrϕ(Yb ) = ∆hysr ,является оптимальным.В четвертой, заключительной главе изучается задача одновременного восстановления производных функций k1 -го и k2 -го порядков в среднеквадратичной норме по неточно заданным производным n1 -го и n2 -го порядков и самой функции.

Решение приводитсяпри некоторых условиях на погрешности, с которыми заданы производные и сама функция ([27]) . Полностью задача решена ([24])для случая k1 = k, n1 = 2k, k2 = 3k, n2 = 4k, k ∈ N. Этот случай показался интересен тем, что в задачах восстановления производныхпри задании погрешности в среднеквадратичной норме не встречался случай, когда более двух множителей Лагранжа отличны отнуля.

Для заданной погрешности в равномерной норме ситуация,когда много множителей Лагранжа отлично от нуля, достаточно16распространен (см [10], [11]). Ранее задача оптимального восстановления k-ой производной функции по приближенной информации о самой функции и ее n-ой производной рассматривалась вработе [16].Рассмотрим соболевское пространство функцийW2n (R) = {x(·) ∈ L2 (R) : x(n−1) (·) - локально абсолютнонепрерывна, x(n) (·) ∈ L2 (R)}, n ∈ N.Пусть n0 = 0, n1 , n2 , k1 , k2 ∈ N, 0 < k1 < n1 < k2 < n2 . Предположим, что для каждой функции x(·) ∈ W2n2 (R) приближенноизвестны её производные n1 -го и n2 -го порядков и сама функция,то есть извеcтны функции y0 (·), y1 (·) и y2 (·) ∈ L2 (R) такие, чтоkx(nj ) (·) − yj (·)kL2 (R) ≤ δj , j = 0, 1, 2.Задача состоит в одновременном оптимальном восстановлениипроизводных k1 -го и k2 -го порядков функции x(·) ∈ W2n2 (R), 0 <k1 < n1 < k2 < n2 .Любой метод метод (отображение ) ϕ : (L2 (R))3 → (L2 (R))2 объявляется методом восстановления и его погрешность вычисляетсяпо формулеe(W2n2 (R), K, δ, ϕ) =supnvu 2uXtpj kx(kj ) (·) − ϕj (Y )(·)k2L2 (R) ,x(·)∈W2 2 (R), Y ∈(L2 (R))3j=1kx(nj ) (·)−yj (·)kL2 (R) ≤δj , j=0,1,2где K = (k1 , k2 ), δ = (δ0 , δ1 , δ2 ), Y = (y0 (·), y1 (·), y2 (·)), ϕ =(ϕ1 (Y ), ϕ2 (Y )).

Здесь p = (p1 , p2 ), p1 , p2 ≥ 0 — весовые коэффициенты, варьируя которые можно отдавать предпочтение более точномувосстановлению производной какого-либо порядка.17Погрешностью оптимального восстановления называется величинаE(W2n2 (R), K, δ) =infϕ : (L2 (R))3 →(L2 (R))2e(W2n2 (R), K, δ, ϕ).Методы ϕ,b на которых достигается нижняя грань, будем называтьоптимальными методами.n1n1− n1Теорема 4.1. Если δ1 ≥ δ2n2 δ02, погрешность оптимальноговосстановления равнаE(W2n2 (R), K, δ)qb2 δ 2 ,b0 δ 2 + λ= λ20гдеb 0 = p1λδ2δ02k1 /n2 2k2 /n2 δ2k1k2+ p2,1−1−n2δ0n2b2 = p1 k1λn2δ2δ02(k1 /n2 −1)k2+ p2n2δ2δ02(k2 /n2 −1).Метод ϕb = (cϕ1 (Y ), ϕc2 (Y )) такой, что его преобразование ФурьеFϕcs (Y ) = (iξ)ks (1 − αs (ξ)) F y0 (ξ) + (iξ)ks −n2 αs (ξ)F y2 (ξ), s = 1, 2,гдеb2 ξ 2n2 + θs (ξ)|ξ|n2λαs (ξ) =rb0 λb2 λb0 + λb2 ξ 2n2 − p1 ξ 2k1 − p2 ξ 2k2λb0 + λb2 ξ 2n2λ,а θs (·)− произвольные функции из L∞ (R), удовлетворяющие условиюp1 ξ 2k1 θ12 (ξ) + p2 ξ 2k2 θ22 (ξ) ≤ 1,является оптимальным.18ПоложимWb0λb1λb2λq= p21 δ02 + 2p1 p2 δ12 + p22 δ22 , r √1 δ2δ23p1 + p2, δ1 ≥ δ0 δ2 ,4 δ0δ0=,2√δp 1 1,δ 1 ≤ δ0 δ22W√δ1 ≥ δ0 δ2 ,0,=,√p22 W 2 + 2p1 p2 δ12, δ1 ≤ δ0 δ22δ1 W r √1 δ0δ0p1 + 3p2 , δ1 ≥ δ0 δ2 ,4 δ2δ2,=2√δp1 2 ,δ 1 ≤ δ0 δ22W.Теорема 4.2.

Пусть k ∈ N, k1 = k, n1 = 2k, k2 = 3k, n2 = 4k.ТогдаE(W24k (R), K, δ)=√√ 4 δ0 δ2 p 1 δ0 + p 2 δ2 ,δ1 ≥√ δ W ,1δ1 ≤√√δ0 δ2 ,δ0 δ2 .Метод ϕb = (cϕ1 (Y ), ϕc2 (Y )) такой, что его преобразование ФурьеFϕcs (Y ) =2Xαjs (ξ)F yj (ξ), s = 1, 2,j=019где αjs (·)− любые функции из L∞ (R), удовлетворяющие в случае√δ1 ≥ δ0 δ2 условиямr4k8k2k6kbbbbbλ0 − θs (ξ)ξλ0 λ2 λ0 + λ2 ξ − p1 ξ − p2 ξ(2s−1)ks·α0 (ξ) = (iξ),b0 + λb2 ξ 8kλα1s (ξ) = 0,r8k4kb2 ξ + θs (ξ)ξb0 λb2 λb0 + λb2 ξ 8k − p1 ξ 2k − p2 ξ 6kλλα2s (ξ) = (iξ)(2s−5)k ·,b0 + λb2 ξ 8kλs = 1, 2,а θs (·)− произвольные функции из L∞ (R), удовлетворяющие условиюp1 ξ 2k θ12 (ξ) + p2 ξ 6k θ22 (ξ) ≤ 1,√в случае δ1 < δ0 δ2 условиямP2(iξ)2kj αjs (ξ) = (iξ)(2s−1)k , s = 1, 2, j=0!!1222|α(ξ)||α(ξ)|PPjj22+ p2≤1j=0j=0p 1bbjλjλявляется оптимальным .20,Предварительные сведенияОбозначенияПусть N, Z, Z+ , R и C — множества соответственно натуральных, целых, неотрицательных целых, действительных и комплексных чисел.Пусть d ∈ N.

Через Rd (R1 = R) обозначим евклидово пространство всех упорядоченных наборов из d вещественных чисел со скаPлярным произведением hx, yi = di=1 xi yi , где x = (x1 , . . . , xd ) , y =(y1 , . . . , yd ). Длину (евклидову норму) вектора x = (x1 , . . . , xd ) ∈ Rdpобозначим |x| = x21 + . . . + x2d .Пусть 1 ≤ p ≤ ∞.

Обозначим через Lp (Rd ) совокупность измеримых комплекснозначных функций f (·) на Rd с конечной нормой1/pZp, 1 ≤ p < ∞,|f (x)| dxkf (·)kLp (Rd ) =Rdkf (·)kL∞ (Rd ) = inf{α > 0 | mes {x ∈ Rd | |f (x)| > α} = 0 }.Скалярное произведение в L2 (Rd ) определяется по формулеZ(g(·), f (·)) =g(x)f (x) dx.RdОператор разделенной разностиПусть l2,h (Z), h > 0 - пространство последовательностей x =P|xj |2 < ∞, с нормой{xj }j∈Z таких, чтоj∈Z!1/2kxkl2,h (Z) =hXj∈Z21| xj |2.Оператор разделенных разностей определим равенством:∆1h x= ∆h x =xj+1 − xjh,m−1∆mx .h x = ∆h ∆hj∈ZГармонический анализПусть f (·) ∈ L1 (Rd ).

Функция (F f )(·), заданная на Rd и определенная равенствомZf (x)e−ihξ,xi dx,(F f )(ξ) =ξ ∈ Rd ,(0.1)Rdназывается преобразованием Фурье функции f (·).Теорема 0.1 (Планшереля). Существует единственный линейный непрерывный оператор, отображающий L2 (Rd ) на L2 (Rd )(также называемый преобразованием Фурье и также обозначаемый через F ), который на L1 (Rd ) ∩ L2 (Rd ) совпадает с (0.1) и приэтом, справедливо равенствоkf (·)kL2 (Rd ) =1k(F f )(·)kL2 (Rd ) .(2π)d/2(0.2)Из (0.2) следует, что F — взаимно однозначное отображение.Обратный оператор к F называется обратным преобразованиемФурье и обозначается F −1 .

Характеристики

Список файлов диссертации