Диссертация (1155078), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Распределение стационарныхвероятностей (2.14) и (2.15) СП Y  (t ) может быть найдено согласноформулам (2.17) и (2.18):qk (r )  q0kk!pr ( k ) ,(2.17)1 k (k ) q0   p  ,  k ,r X k ! r (2.18)где pr – средневзвешенная вероятность требований r к ресурсам системыLдля    l :l 1lpl ,rl ,l 1Lpr  (2.19)Доказательство. Просуммируем обе части (2.13) по всем значениям векторовr1,..., rL , для которых выполняется условие r  r1  ...  rL .

Получимr1 ...rL rПоqk (r1,..., rL ) определениюr1 ...rL rr1 ...rL r k1 ... kL kстационарныхq0 p1,( kr1 )1pL( k,rL )Lвероятностей1k1k1 !...(2.3) LkLkL !,и(2.15)kq1,...,L (r1,..., rL )  qk (r ) , тогдаqk (r )  q0L r1 ...rL r k1 ... k L k l 1pl(,krl )llklkl !,qk (r)  q0 gk (r) .Теперь покажем, что функция g k (r) является k–кратной сверткойвероятностей pr , заданных формулой (2.19) и имеет видg k (r ) kk!pr ( k ) .(2.20)54Обозначим вектор z r  ( z1r1 ,..., zM rM ) для нахождения производящейфункции  (z) от функции g k (r) .kl L( kl ) l  z    gk  r   z    pl ,r zr lkl ! 0r R0r R  r1 ...rl r k1 ... k L  k l 1rklLLlkl ( kl ) l( kl ) rlrl   pzpz  l ,r l k !    k !    l ,r l .l0r R  r1 ...rL r k1 ... k L k l 1 k1... kL k l 1 l  0rR 0rl r l( kl ) (z ) Обозначим pl(,krl ) z rlвспомогательнуюl0r R 0rl rпроизводящую функцию, тогдаLlkl  k ! lk (z)  z k1 ... k L k l 1llkkL1k!1 L k  L lkl     l l (z)    k !   l l (z)   k !     l (z)  .k !  k1 ...kL k k1 !...k L ! l 1 l 1 l 1Совершая обратный переход от производящей функции   z  к g k (r) ,воспользуемся свойством произведения k производящих функцийL l  l (z)l 1и получим k–кратную свертку средневзвешенной вероятности pr :k lg k (r ) pl ,rl k !  l 1 L(k )kk!pr ( k ) .

□Следствие 2.2 Вероятность блокировки упрощенной СМО с заявкаминескольких классов и случайными требованиями к ресурсам может бытьнайдена по формуле (2.21)N 1kk 0k ! 0 jRB  1  qo pj( k 1)(2.21)Доказательство. По определению вероятность блокировки СМОN 1B 1 k 0 0 jRqk ( j)0iR  jpi .55Подставим значения стационарных вероятностей, полученных в (2.17):N 1 k  k (k ) qpp1qpj( k ) pi   0 k! j   iok 0 0 jR k 0 k ! 0 jR 0i R  j0iR jN 1B 1 N 1kk 0k ! 0 jR 1  qo pj( k 1) . □Следствие 2.3 Средний объем b занятых ресурсов упрощенной СМО сзаявками нескольких классов и случайными требованиями к ресурсамзадается формулой (2.22).Nb  q0 k 0kRk ! 0 jRjpj( k )(2.22)Доказательство.

Средний объем занятых ресурсов системы представляетсобой суммуNNk 0k 0b   b k qk (r )  rpr( k )pr( k )0r R0r RN  k (k ) kpr   q0 rpr( k ) q0k 0 k ! 0rR k!Полученные аналитические формулы (2.21) и (2.22) для вычислениявероятностных характеристик упрощенной СМО с агрегированным потокомсредневзвешенных требований не удобны для практического применения, таккак требуют нахождения всех k –кратных сверток вероятностей pr для всехвозможных значений вектора 0  r  R . Чтобы избежать вычисления свертоквероятностей pr был разработан алгоритм, который позволяет рекуррентновычислять значение нормировочной константы упрощенной СМО, с помощьюкоторой могут быть найдены стационарные вероятности системы, вероятностьблокировки и средний объем занятых ресурсов.562.3 Рекуррентный алгоритм вычисления вероятностных характеристикупрощенной СМОДля анализа показателей качества модели современной беспроводнойсети был разработан эффективный вычислительный алгоритм для вероятностиблокировкизаявокисреднегообъемазанятыхресурсовСМОсагрегированным потоком средневзвешенных суммарных требований кресурсам.Согласно формулам для вычисления стационарных вероятностей (2.17)и (2.18) обозначим нормировочную константу G  N , R   q01 :NG N,R  kk 0 0 jRk!pj( k ) .(2.23)В основе рекуррентного алгоритма лежит метод нахождениянормировочной константы, предложенный в [24].Определим функцию G  n, r  :nG  n, r   kk 0 0 jrk!pj( k ) ,(2.24)для r  0 зададим начальные значения исходя из ее определения,G  0, r   1 ,(2.25)rG 1, r   1    pj .(2.26)j0Обозначим функцию H  n, r  такую, чтоH  n, r   G  n, r   G  n  1, r  .(2.27)Утверждение 2.2.

Функция H  n, r  удовлетворяет рекуррентномусоотношениюH  n, r  n 0 jrpjH (n  1, r  j) ,для всех n  2 и r  0 с начальным условием(2.28)57H 1, r   0 jrpj ,(2.29)Доказательство. Из определения (2.27) и условий (2.25), (2.26) следуетH 1, r   G 1, r   G  0, r   0 jrnH  n, r   G  n, r   G  n  1, r   k 0 0 jrnn! 0 jrpj( n)n n! 0ir 0 jipj pi(nj1)kk!pj( k )npj ,n1n! 0 jrkk 0 0 jrpjji rk!pj( k ) pi(nj1)   n1 ( n1)  pj  pi   n  pjH (n  1, r  j) . □n 0 jr  (n  1)! 0ir  j0 jrУтверждение 2.3.

Значения функции G  n, r  для всех n  2 и r  0могут быть найдены по формуле (2.30) при условии (2.31)G  n, r   H  n, r   G  n  1, r  ,(2.30)G 1, r   1  H 1, r  .(2.31)Доказательство. Данного утверждения следует из определения функцииH  n, r  в (2.27) и утверждения 2.2.□Следствие 2.4 Вероятность блокировки В упрощенной СМО сагрегированным потоком средневзвешенных требований к ресурсам имеетвидB  1  G 1  N , R 0 jRpjG ( N  1, R  j) ,(2.32)Bl вероятность блокировки заявок класса l задается выражениемBl  1  G 1  N , R Доказательство.Воспользуется0 jRpl , jG ( N  1, R  j).формулой(2.21)(2.33)длянахождениявероятности блокировки с помощью рекуррентного отношения (2.30) и58определением нормировочной константы G  N , R  из (2.23) с начальнымиусловиями (2.24) и (2.25):N 1kk 0k ! 0 jRB  1  qo 1 G1 N,R 0iRN 1piN 1kk 0k ! 0 jR 0i jpj( k 1)  1  G 1  N , R  k k! k 0pj( k )  1  G 1  N , R 0 jR i 0 jRpi pj(ki) pj G  N  1, R  j .Вероятность блокировки Bl заявок класса l задается формулой (2.33)по определению с учетом доказанного.

□Следствие 2.5 Средний объем занятых ресурсов b  (b1,..., bM )упрощенной СМО с агрегированным потоком средневзвешенных случайныхтребований имеет вид:RmMb  R  G ( N , R )  em  G ( N , R  iem ) ,1m1(2.34)i 1где вектор em  (e1,..., eM ) состоит из нулей и единицы на m–ом месте.Доказательство. Средний объем занятых ресурсов b определим как разностьобъемов доступного и свободного ресурса:b  R G1N N,R n 0N R  G 1  N , R  n R GN N,R n 0 R G1n! 0 jRM  em ( Rm  jm ) pj(n) n N,R MMi 1Rm em  n!n0m1i 1 0 jR iemMRm Nnm1i 1 n0n! 0 jRiem R  G 1  N , R   em  R GRm  jm  em n! 0 jR m1nN1(R  j) pj( n) n! 0 jR m1n 01nMRmm1i 1pj( n) pj( n) pj( n)  N , R   em  G  N , R  iem  .□59Следствие2.5.Второймоментобъемазанятыхресурсовb(2)  b1(2) ,..., bM (2) задается формулой (2.35), тогда дисперсия σ 2 среднегообъема занятых ресурсов σ 2  b(2)  b2 , где b2  b12 ,..., bM 2 .b(2)  2G 1( N , R) r G( N , R)  G( N , R  r)   2b .(2.35)0rRДоказательство.

Второй момент некоторой СВ может можно найти поформуле 2  x 1  F ( x)  dx , следовательноb(2)2N r   q00rR r jR n0nn!pjn 2G 1 ( N , R)2N r  G1( N , R)0rR r jR n0Nnn!pjn n   n! pjn r0rR r jR n0NNn nn n N n n  2G ( N , R)  r   pj   pj  pr  0rR  0 jR n0 n!0 jR r n0 n!n0 n!1Nn n  2G ( N , R)  r  G( N , R)  G( N , R  r)  pr  0rR n 0 n !11 2G ( N , R) r  G( N , R)  G( N , R  r)   2G1N( N , R)0rR 2G 1( N , R)n r  n! prn 0r R n0 r G( N , R)  G( N , R  r)   2b .□0rRПолученные формулы (2.32) – (2.34) позволяют рекуррентнорассчитать вероятностные характеристики системы с агрегированнымпотокомсредневзвешенныхсуммарныхтребованийкресурсамипредставляют собой эффективный вычислительный алгоритм для нахожденияключевых показателей качества модели беспроводной сети, таких каквероятность блокировки услуг и средний объем занятых частотных ресурсов.Анализ данных характеристик на примере модели гетерогеннойбеспроводной сети представлен в главе 3.60ГЛАВА 3.

АНАЛИЗ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ МОДЕЛИРАЗДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ БЕСПРОВОДНОЙ СЕТИ3.1 Анализ вероятностных характеристик СМО с дискретнымтребованием к ресурсуРассмотрим вероятностные характеристики важной на приложения канализу показателей качества беспроводных сетей СМО с дискретнымтребованием. Распределение стационарных вероятностей исследуемой СМОполучены численно с помощью рекуррентных формул (1.20) – (1.22).Для заданной функции распределения требований к ресурсу F ( x) ,конструктивныхинагрузочныхпараметровсистемыанализируетсявероятность блокировки B по формуле (1.23), среднее число заявок в системеN согласно (1.24) и объем занятого ресурса b из (1.24).Вкачествезаконараспределениетребованийкресурсурассматриваются:1) биномиальное распределение Binom(r , p) с параметрами r  0 и0  p  1;2) смещенное биномиальное распределение Binom`(r  1, p) , котороепозволяет исключить случаи выделения ресурса нулевого объема,т.е. r  0 , 0  p  1 ;3) геометрическое распределение Geom( p) , 0  p  1 , с т.н.

тяжелымихвостом.Для вычисления элементов матриц (1.13) – (1.17), которые определяютвсе необходимые компоненты решения системы уравнений равновесия (1.9) –(1.11) в матричной форме методом UL– разложения, необходимо вычислить k–кратные свертки (1.15) и вероятности переходов (1.16) для каждого изпредложенных распределений требований к ресурсу.61Пусть поступившей заявке в систему будет выделено i единицресурса с вероятностью pi mr ip (1  p)r  i , для 0  i  r и p  , где m –irматематическое ожидание СВ требований к ресурсу, r – максимальный объемресурса, доступный заявке.

Характеристики

Список файлов диссертации