Диссертация (1155078), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

 rk  y , 0  x  y .21Если функция распределения требований к ресурсам исходной СМОF (x) имеет плотность распределения f (x) , тогда функция распределенияFk (x | y ) , по формуле Байеса, имеет плотность распределения f k (x | y ) :f ( k 1) (y  x), 0xy,f k ( x | y )  f ( x)f ( k ) (y )где f ( k ) (x) – k–кратная свертка плотности f (x) , аf ( k ) ( x) f (y ) f ( k 1) (x  y )dy .0y xНа рисунке 1.3 представлена схема упрощенной многолинейной СМО.R1RMx1xM1l1A1(x),B1(x)...Fk (x)kAL(x),BL(x)lkNРисунок 1.3 – Упрощение многолинейной СМО с требованиямислучайного объемаМощность подмножествX NXk 0kтаких, чтоXkX k  k  M  3 пространства состояний {(k , a, b, d) : 0  k  N , a  0, b  0,0  d  R} ,меньше, чем X k , а значит для нахождения стационарных вероятностейупрощенной СМО потребуется меньше вычислительных операций.22В[111]исследуетсяэкспоненциальнаямноголинейнаяСМОограниченной емкости без мест ожидания как частный случай обобщенноймноголинейной СМО со случайными требованиями.В систему поступает L независимых пуассоновских потока заявок синтенсивностями 1,..., L , длительности их обслуживания независимы всовокупности и имеют экспоненциальное распределение с параметром l ,l  1,2,..., L .

Поступившей на обслуживание заявке l–го класса требуетсянекотораяслучайнаявеличинаобъемаресурса,заданнаяфункциейраспределения Fl ( x) , при этом весь доступный системе ресурс системыограничен. Для экспоненциальной многолинейной СМО с требованием кресурсаодноготипабылополученостационарноераспределениевероятностей в мультипликативном виде [53].В продолжение исследования экспоненциальных СМО со случайнымитребованиями к ресурсам в [54] была доказана теорема о мультипликативномвидераспределениястационарныхвероятностейдлямноголинейномэкспоненциальной СМО с требованиями к ресурсам нескольких типов.Пусть R  ( R1, , RM ) – вектор доступных системе ресурсов M типов.Тогда случайный объем ресурсов, требуемый заявкам l–го класса, имеетфункцию распределения Fl (x) .

Поступившей в систему заявке присваиваетсяпорядковый номер согласно остаточному времени ее обслуживания, такимобразом, что заявка с наименьшим временем до конца обслуживания будетиметь наибольший порядковый номер и первой поступит на обслуживание.Порядковые номера назначаются заново каждый раз, когда в системупоступает новая заявка.Состояние системы в момент времени t  0 задается марковскимпроцессом Y (t )  ( (t ), θ(t ), Γ(t )) на пространстве состоянийY  (k , l,  r1,..., rk ) : 0  k  N , l  0, 0  r1  ...

 rk  R ,23где  (t ) – число заявок в системе; θ(t )  θ1(t ), θ2 (t ), , θ (t ) (t ) ,  k (t ) – класс k–ой заявки; Γ(t )  γ1(t ), γ 2 (t ),, γ (t ) (t ) , а γ k (t )   1k (t ),...,  Mk (t ) – векторресурсов, занимаемых k–ой заявкой.В некоторый момент времени ti  0 в систему может поступить новаязаявка или свое обслуживание может завершить одна из заявок системы. Пустьсистема находится в состоянии Y (ti )   k ,l1,..., lk ,r1,..., rk  . Рассмотрим ееповедение на интервалераспределенас ti1, ti  ,параметромдлительность которого экспоненциально   (l1,..., lk ) ,где  1  ...  L , (l1,..., lk )  l1  ...

 lk :1. По окончании интервала  ti 1, ti  в систему может поступить новаязаявка, требующая r ресурсов. Если r  R   r1  ...  rk  , то в моментвремени ti заявка поступит с вероятностьюl   (l1,..., lk ).2. По окончании интервала  ti 1, ti  систему может покинуть заявка снаименьшим остаточным временем обслуживания. С вероятностью (l1,..., lk )в момент времени ti обслужится заявка, стоящая на k–   (l1,..., lk )ом месте.3. Поступившей в систему заявке l–го класса будет присвоенпорядковый номер j с вероятностью  lj (l1,..., lk ) , согласно лемме 1 из[35, 28], гдеk (l ,..., l )j  1;   1 (l ,...,s l ) ,l1ss1kl (l1,..., ls ) lj (l1,..., lk )      (l ,..., l ) , 1  j  k ;(j1)l1ss j ll,j  k  1.l   (l1,..., lk )24Обозначим стационарные вероятности СП Y (t ) :q0  lim P{ (t )  0} ,(1.1)t qlk1 , lim P{ (t )  k ; θ1 (t )  l1,t , xk ) ,lk (x1,, θk (t )  lk ; γ1(t )  x1,(1.2), γ k (t )  xk }.Пункты 1–3, описывающие функционирование системы однозначнозадают переходное ядро СП Y (t ) и позволяют записать систему уравненийравновесия:LLj 1j 1q0   j F j (R )    j q1j (R ) ,L j j 10y1 x1F j (R - y1 )q1l1 (dy1 )  ql11 (x1 ) l1  l1 F (x1 ) p0 L  (  j  l1 )j 1Ljj 1ql21 j (dy1, dy 2 ), 1  l1  L, 0  x1  R;0y1 x10y 2 R-y1 y k )qlk1l2 lk (dy1,F j (R  y1 0  y i  xi ,i 1,2, ,ky1   y k Rk  li  lii (l1i 1li 1li 1lk )qlk1 1li 1li 1L (  j   (l1lk ))j 1при 1  l1,lk ( x1,0y i xi , i 1,2, ,k0y k 1R y1  y k, lk  L, x1 , , xk  0,qlN1l2 lN (x1 ,x2 ,…,x N )N  li  lii (l1i 1, dy k )  qlk1l2 lk (x1, x 2 ,li 1li 1lN )qlN1 1li 1li 1lN, xi 1, xi 1,, x k )  li , x k ) Fli ( xi ) qlk1 1lk j (dy1 ,…,dy k+1 ),k xi  R ,1  k  N;i 1N li 1ik(x1 ,…,xi-1 ,xi+1 ,…,x N )Fli (xi ),i 125N xi  R ,при 1  l1, , lN  L, x1 ,…,x N  0,i 1с нормировочным условиемNq0  k 1 1l1 , ,lk  L x1 ,…,xk 0x1   xk Rqlk1 ,,lk (dx1 ,…,dx k )1.Введем обозначение k–кратной свертки функциитребований к ресурсам Fl (x) как Fl( k ) (x) распределенияFl (y ) Fl( k 1) (x  y )dy .0y xСтационарные вероятности (1.1) – (1.2) многолинейной СМО стребованиямислучайногообъемаиограниченнымресурсомимеютмультипликативный вид (1.3) – (1.4), как было доказано в [53, 54] впредположении о пуассоновском входящем потоке и экспоненциальномвремени обслуживания заявок.qlk1 ,,lk ( x1 ,…,x k )  q0 Fl1 ( x1 )lnkFlk (xk )n1n li 1Nq0  1   n1k1 ... kr nF1( k1 )** Fn( kn ) (R)1k1k1 !,(1.3)inkn 1 ,kn ! (1.4)где l  l l , «*» – оператор свертки.Аналогично [121] в [52] была доказана инвариантность стационарногораспределения от функции распределения длительности обслуживания.1.2 Метод анализа СМО с дискретным требованием к ресурсуРассмотрим простейшую СМО со случайным требованием к ресурсу,заданным дискретной случайной величиной как частный случай, важный для26приложения к анализу показателей качества в современных беспроводныхсетях.Технологиямножественногодоступакразделяемойсредевбеспроводных сетях связи 4–го и 5–го поколений подразумевает выделениекаждому соединению некоторого количества ресурсных блоков (ResourceBlock, RB) из ограниченного диапазона частот.

Для передачи потока данных,опорных сигналов и управляющей информации по направлению к источнику(DL) и от него (UL) используется несколько ортогональных поднесущих.Ширина частотного диапазона одной поднесущей составляет 15 кГц, вкачестве наименьшего элемента передачи данных используется передачаодного символа на одной поднесущей, названная ресурсным элементом(Resource Element, RE).

Несколько ресурсных элементов для удобствараспределения частотного ресурса в UL и DL объединяются в ресурсные блоки(Resource Block, RB) объемом 12 последовательных поднесущих, шириной180 кГц, на время действия одного временного слота (0,5 мс).Количество выделяемых RB зависит от типа запрашиваемой услуги,удаленности от базовой станции, мощности передающей антенны и ОСШ вканале [2, 3, 9, 11]. В [69, 95] была исследована важная для приложения модельСМО ограниченной емкости со случайным требованием к ресурсу, которое вотличие от рассмотренных ранее моделей, задается дискретной случайнойвеличиной.Рассматривается простейшая СМО с потерями, без мест для ожиданияс N приборами для обслуживания заявок.

Системе доступен некоторый объемресурса R. Поступившая на обслуживание заявка требует целое число единицресурса. Пусть в некоторый момент времени t  0 в системе находится  (t )заявок и занято  (t )  R единиц ресурса. С интенсивностью  в системупоступает пуассоновский поток заявок, k–ой заявке для обслуживаниянеобходимо выделить некоторое число rk  0 единиц ресурса. Требования кресурсу – независимые дискретные случайные величины с функцией27распределения F ( x) , математическим ожиданием m и дисперсией  2 . Еслитребование k–ой заявки rk  R   (t ) , то заявка займет прибор и выделенныйей ресурс на все время обслуживания, имеющее экспоненциальноераспределение с параметром .

Длительности обслуживания заявокнезависимы в совокупности и не зависят от параметров входящего потока.Если для обслуживания заявки не достаточно ресурса, rk  R   (t ) , или всеприборы в системе заняты,  (t )  N , то заявка будет потеряна.В момент  i завершения обслуживания i–ой заявки объем занятогоресурса  ( i ) уменьшится на некоторую величину  i , которая не зависит отпредыдущих состояний системы и при заданном числе заявок в системе ( i )  k и объеме  ( i )  y занятого ресурса имеет функцию распределенияFk ( x | y)  P( i  x |  ( i )  k ; ( i )  y ) , 0  x  y , рисунок 1.4R1x1F(x)R1...λ,µkNxkyk-ая заявказавершилаобслуживаниеkxF(x|y)NРисунок 1.4 – Схема функционирования упрощенной СМО со случайнымитребованиями к ресурсамВведем обозначение p j  P(ri  j ) вероятностей того, что случайнаявеличина требования к ресурсу ri примет значение j , j  0,..., R .

Пара j , p jзадает ряд распределения случайной величины требований к ресурсу.28Рассмотрим случайную величину y  r1  ...  rk , где все ri , i  1,2,..., k ,независимы, которая принимает значения j  0,..., R с вероятностьюp (jk )j  pi p (jki 1) ,(1.5)i 0где p (jk ) – k–кратная свертка вероятности p j .ФункцияраспределенияFk ( x | j )случайнойвеличиныyпопостроению является кусочно–постоянной на всей области определения иимеет скачек в точке x  i , i  0,..., R на величинуpijkpi p (jki 1)p (jk ),(1.6)при 0  i  j , j  0,..., R .Случайный процесс Y  (t )  ( (t ), (t )) на пространстве состоянийY Nk 0Y k , Y k  { k , r  : 0  r  R, 0  r  R} при условии pr( k )  0 являетсяцепью Маркова со стационарным распределением вероятностейq0,0  lim P{ (t )  0,  (t )  0},(1.7)qk ,r  lim P{ (t )  k , (t )  r} ,(1.8)t t для 1  k  N , 0  r  R .СхемапереходовмеждусостояниямиисследуемойСМО,представленная на рисунке 1.5, и матрица интенсивностей переходов Aоднозначно задают переходное ядро СП Y  (t ) и систему уравненийравновесия (1.7) – (1.9)R PR q0,0    q1, j  0,(1.9)j 0jRp (ji ) ps js jps(i 1)  PR j  i  qi, j    p jsqi1,s  (i  1) s 0qi 1,s  0 ,(1.10)29для 0  j  R , 1  i  N  1,jN  qN , j    p j s qN 1,s  0 ,(1.11)s 0при 0  j  R . p j s pq  jn-1,sn,jnp j  s ps( n1)n+1,q n  1 p njpq  j p (jn )pq( n1)Рисунок 1.5 – Переходы между состоянии простейшей СМО сдискретным требованием к ресурсуУтверждение 1.1.

Матрица интенсивностей переходов A СП Y  (t )невырожденная,консервативная,неразложимаяиможетбытьпредставлена в блочном трех–диагональном виде: Ψ0 Λ0Μ Ψ1 1 0 Μ2A0 ... 0...0 00...0Λ10...Ψ2Λ20.........0...Μ N 1 Ψ N 10ΜN0 0 ... 0 Λ N 1 Ψ N R(1.12)с начальными блоками Ψ 0    p j , Λ0    p0 ,  p1,...,  pR  , Μ1    ,...,  Tj 0и матрицами Ψ n 1n N , Λ n 1n N 1 , Μ n 2n N с элементами( PRi  n ), i  jпри n  1, N  1,0, i  j n (i, j )  (1.13)30 p j i , i  j  Rn (i, j )  0, i  jпри n  1, N  1,(1.14) pi  j p (jn1), j i R nпри n  2, N ,n (i, j )  pi( n )0, j  i(1.15) N  , i  j.0,ij N (i, j )  (1.16)Доказательство. Матрица A является невырожденной, консервативной,неразложимой и блочной трех–диагональной матрицей по построению.

Характеристики

Список файлов диссертации