Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 3
Текст из файла (страница 3)
е. 1х-а1=ш Чи ело а называется приближенным значением точного числа х с точностью до Ьа, если абсолютная погрешность приближенного значения а не превышает Ьа, т. е, 1х-а1<Ьа. Число Ьа называется граиичвй абсолютной погрешности приближенного числа а. Существует бесконечное множество чисел Ьа, удовлетворяющих приведенному определению; поэтому на практике стараются подобрать возможно меньшее н простое по записи число Ьа. По н известной границе абсолютной погрешности Ьа находятся границы, в которых заключено точное значение числа х: (х=ахба)вь(а — Ьа~х<а+Ьа).
1. Даны приближенные значения числа х=2/3; аз=0,6; а =0,66 а =0,67. — г= ,=0,67. Какое из этих трех приближений является лучшим? О Находим: 3 3 Лучшим приближением числа х является аз=0,67. ® 2. Длина детали х (см) заключена в границах 33 <х< 34. Найти границу абсолютной погрешности измерения детали. О Примем за прнближеняое значение длины детали среднее арифметическое границ: а=(33+34)/2=33,5 (см). Тогда граница абсолютной погрешности приближенного значения длины детали не превзойдет 0,5 (см). Ь =34— Величину Ьа можно найти н как полуразность верхней и нижн й е границ, т, е.
а=( — 33)/2=0,5 (см). Длина детали х, найденная с 'точностью до Ьа=0,5 (см), заключена между приближенными значениями числа х: 33,5 — 0,5<х<33,5+0,5; хю33,5х0,5 (см). Ф 1О 3. Найдите абсолютную погрешность окРУгления да едишш сдедуюших чисел: !) 0,8; 2) 7,6; 3) 19,3; 4) 563,58 4. Граница абсолютной погрешности приближенного значения 386 числа х равна 0,5. Укажите границы, в которых заключено число х. б.
Найдите границу абсолютной погрешности измерений, полученных в виде неравенства 37<.т<38, 6. Амперметр дает точность +0,02 А. При измерении силы тока получили 10,63 А. Укажите границы этого числа. 7. Атомная масса'водорода 1,0082+0,0005, а меди 63,4410,15. Укажите границы приближенных значений этих чисел. 8. Плошадь квадрата равна 24,510,3 (смг). Найдите границы измерения плошади квадрата. й 2. ВЕРНЫЕ ЦИФРЫ ЧИСЛА. ЗАПИСЬ ПРИБЛИЖЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ ЧИСЛА.
ОКРУГЛЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЧИСЕЛ 1. Верные н значащие цифры числа. Цифра т приближенного числа а называется верной в ишроком сиыгле, если граница абсолютной погрешности числа а не превосходит единицы того разряда, в котором записывается цифра т. Цифра гв приближенного числа а называется веркой в строгом смысле, если граница абсолютной погрешности числа а не превосходит половины единицы того разряда, в ко~ором записана цифра т.
В числах, полученных в результате измерений нлн вычислений н используемых прн расчетах в качестве исходных данных, а также в десятичная записи приближенного значения числа, все цифры должны быть верными. Наиболее употребнтельна такая запись приближенного числа (напрнмер, в математических таблицах), прн которой цифры верны в строгом смысле. Граница абсолютной погрешности Ьа находится непосредственно по записи приближенного значения а числа х.
Цифры в записи приближенного числа, о которых не известно, являются лн онн верными, называются гамииюгльиыми. Значащими цифрами приближенного числа называются все его верные цифры, кроме нулей, стоящих перед первой цифрой (слева направо), отличной от нуля. 2. Округление чисел. Прн округлении числа а его заменяют числом а, с меньшим количеством значащих цифр. Абсолютная величина разности 1а' — а,) называетсв аагргшиаюиыа акруглетш. Прн округлении числа до т значащих цифр отбрасывают все цифры, стоящие правее т-й значащей цифры, нлн прн сохранении разрядов заменяют нх нулями, При этом если первая слева нз отброшенных цифр больше нлн равна 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу. Прн применении этого правила погрешность округления не превосходит половины единицы десятичного разряда, определяемого последней оставленной значащей цнфрой Округление приближенных значений чисел с сохранением в записи только верных цифр производная до разряда, в котором записана первая справа верная цифра.
9. Найти границу абсолютной погрешности приближенного значения 0,1968 числа х, числа х, все цифры которого верны в строгом смысле. 0 Граница абсолютной погрешности этого числа равна 0,00005, половине е н е единицы последнего разряда, сохраняемого в записи. ° , т.е. 10. Указать верные цифры (в широком смысле) следуюпшх чисел: 1) 373+0 056; 2) 3627+ 0 0008; 3) 4732~0 06; 4) 561 274+ 500.
О 1) Граница пог шн ре осгн ба=О,056 не превосходят единицы разря а десятых (неравеяство 0,056 < О, в д цифры 3 н 7. ,! ерное), Следовательно, верными являются — 0,001, то все цифры прнблшкенного числа 2) Тгк как ба=О,0008<0,00, ,627 верны. 4 3) Поскольку ба=0,06<0,1, верными являю ся ф 4 7. яются цифры 4 и 7. ) Так как ба=500<1000, то верны цифры 5, 6 я 1.
ш 11. За приближенное значение числа 26,7 взято число 27. Являются ли цифры числа 27 верными? смысле. 83 О Так как !26,7 — 27!=0,3<1, то цифры 2 н 7 — верные в строг м — строгом 12. Приближенное значение числа 9,587+0,03 округлить до первого справа верного разряда. 0 Первая справа ве ная р цифра находятся в разряде десятых, поэтому число 9,587 округляем до десятых; 9,587т9,6. Новое значение границы погрешности Аа равно сумме границы погрешности 0,03 и погрешности округления 00!3, т.
е. ба=003+0013=0043<0,!. Ч 9, верные. ° р .нженным значением числа 9,587 с точное ь 0,1. Ц ф ч остью до, . Цифры 9 и 6 13, Укажите верные цифры (в широком смысле) следующих чн- 5) 375+20. сел: 1) 0,028+0,004; 2) 0,463+0,0008; 3) 0,078+0,002; 4) !2,78~0,0005; 14.
Назовите в 15. За п вите верные цифры числа ялл3,14, считая яш3,1416. а приближенное значение числа 999,82 взято число 1000. Укажите верные цифры числа 1000. 16. Сох ани р те только верные цифры в записи следующих приближенных значений чисел: 1) 280+10; 2) 8900+100; 3) 530 00 17. Округлите до первого справа верного разряда приближенные значения данных чисел: 1) 0,3281 ~ 0,05; 2) 2,0637+0,0025; 3) 14,0367~0,8; 4) 24,734х0,06. 18. О справа ного аз а и круглите приближенные значения данных чисел х исел до первого верного разряда и зацишите эти числа в стандартном виде: 1) !2378~25; 2) 15763+50; 3) 8724+25; 4) 8!2~6. 19.
У . Укажите границу погрешности приближения, если в записи приближенных значений данных чисел все ф широком смысле); 1) хт0,56; 2) хт84,3; 3) хт5,10; 4) хае4,100. 20. Укажите ани гр цу погрешности приближения данных чисел, ысле: 1 4,28-10г; 2) 42800 10г; 3) 2,001 1О л' 4) 3,60 10 з 12' в 3. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ПРИБЛИЖЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ ЧИСЛА Аа е !а! Чем меньше относительная погрешность, тем выше качество измерений яли вычислений.
Относительная погрешность — велнчнна безразмерная, что позволяет сравннвать качество измерений величин разной размерности. Зависимость относительной погрешности от числа значащих цифр иллюстрируется табл. Из таблицы видно, что три верные значащие цифры обеспечивают точность результата (относительную погрешность) от 0,05 до 0,5%. В технических н других расчетах, не требуюшлх особо высокой точности, достаточно бывает обеспечить точность результата порядка десятых полей процента. Поэтому в технических расчетах принято выполнять вычисления с тремя значащими цифрами.
Этим, в частности, объясняется широкое применение в таких расчетах логарифмической линейки, обеспечивающей прн вычислениях трн верные значащие цифры. В ряде задач границу абсолютной погрешности находят по данной относительной погрешности и модулю приближенного значения величины: (1.2) Аа=!а!е„. Таблица 1 Относительная погрешность наименьшего числа Отлагательная погрешность наибольшего числа Гранила лб. салют лой ло- греш- ности Нлл- большее число Наи- меньшее число Число 0 5=50% 0,056 = 5,6% Одно- значное 0,5 0,05= 5% 0,005 = 0,5% 10 99 .
0,5 Двузначное 0.005=0,5% 0,5 0,0005 = 0,05% 999 Трех- значное 0,0005 = 0.05% 0,5 0,00005 = 0,005% 9999 1000 Четырех- значное 13 (зтиогшпелыюй погргигиостью Ь пряблаженного значения а числа х называется отношение абсолютной погрешности а этого приближения к числу а, т. е. Ь=а(а. "Так как абсолютная погрешность а обычно бывает неизвестна, то на практике оценивают модуль относительной погрешности некоторым числом е, которое заведомо не меньше этого модуля: !Ь!~е. Число а называется границей отлогитгльиой погрешности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
