Федоров Н.Д. Электронные и квантовые приборы СВЧ (2-е издание, 1979) (1152182), страница 13
Текст из файла (страница 13)
е. в точках, отстоящих друг от друга на величину периода L. Из (4.7) следует,что(4.8)Вследствие периодичности функции Еz(4.9)Используя (4.7) и (4.9), можно привести (4.8) к виду(4.10)Таким образом, амплитуда поля в любом поперечном сечении замедляющей системыотличается от амплитуды поля в другом сечении, смещенном на период, лишькомплексной постоянной exp(–jβ0L). Этот вывод называют теоремой Флоке дляпериодических систем.Вернемся к уравнению (4.7). Периодическую функцию E z (x, y, z) можно разложить вряд Фурье по координате z.
При записи в комплексном виде эта функция представляетсярядом60(4.11)где р—целые числа (0, ±1, ±2 ...), а(4.12)— коэффициенты разложения в ряд.Подставляя (4.11) в (4.7), получаем зависимость амплитуды поля от координат(4.13)где(4.14)Чтобы учесть гармоническое изменение поля во времени, необходимо выражения (4.7)и (4.13) дополнить сомножителе exp(jωt). Тогда(4.15)Следовательно, поле в периодической замедляющей системе можно представитьбесконечной суммой бегущих волн с одинаковой частотой ω и различающихсякоэффициентами фазы βp и амплитудами Еzp.
Эти волны появились в результатеразложения функции Ez(x, у, z) в ряд по пространственной координате, поэтому ихназывают пространственными гармониками. Их не следует смешивать с временнымигармониками, которые получаются при разложении в ряд несинусоидальныхпериодических функций времени и имеют кратные частоты. Все пространственныегармоники изменяются во времени с частотой входного сигнала, а появление различныхкоэффициентов фазы – это результат несинусоидальной зависимости поля Ez откоординаты z.Пространственные гармоники существуют только совместно, в сумме представляяреальное поле в замедляющей системе с периодическим изменением профиля или границэлектродов.
Решение в виде одной пространственной гармоники (одной бегущей волны)не может удовлетворить граничным условиям.Параметры пространственных гармоник. Пространственные гармоники всоответствии с (4.14) имеют различные коэффициенты фазы βp. Гармоника р=0называется нулевой пространственной гармоникой, р=+1 – плюс первой, р= –1 – минуспервой и т.
д. Гармоники с номером р>0 называются положительными, а с р<0 –отрицательными. Величина β0 – коэффициент фазы нулевой пространственнойгармоники.Выражение (4.14) можно преобразовать к виду(4.16)где ϕ0=β0L – сдвиг фазы на один период L для нулевой пространственной гармоники, аϕp=ϕ0+2πp – сдвиг фазы для гармоники р.Длина волны гармоники(4.17)61Фазовая скорость пространственной гармоники(4.18)Таким образом, пространственные гармоники, обладают различными фазовымискоростями. Нулевая гармоника (р=0) имеет скорость(4.19)где λв0 – длина волны в замедляющей системе нулевой гармоники. Важно отметить, что впериодических замедляющих системах и нулевая пространственная гармоника имеетфазовую скорость меньшую, чем в системе без периодического изменения профиль, т. е.также оказывается замедленной.Сравним величины фазовых скоростей пространственных гармоник по формуле (4.18).Для определенности предположим, что β0>0, т.
е. фазовая скорость нулевой гармоники vф0направлена по оси z. Если при этом длина волны в замедляющей системе λв0 для нулевойгармоники больше периода L(4.20)то для положительных р(+1, +2 и т. д.) vфp>0, т. е. фазовая скорость направлена такжевдоль оси z, а величина скорости по формуле (4.18) будет уменьшаться с ростом номерагармоники р.
При отрицательных номерах р(—1, —2 и т. д.) vфp<0, т. е. направлениефазовой скорости изменилось на обратное. Абсолютная величина vфp при р<0 такжеуменьшается с ростом номера гармоники. Таким образом, при выполнении условия (4.20)максимальное значение фазовой скорости соответствует нулевой пространственнойгармонике. Часто пространственную гармонику, имеющую наибольшую фазовуюскорость, называют основной. В нашем случае основной оказывается нулеваяпространственная гармоника. В некоторых вариантах конструкции замедляющей системыосновной пространственной гармоникой может оказаться гармоника с номером р= –1.Сравним пространственные гармоники по величине групповой скорости, котораяхарактеризует скорость переноса энергии:(4.21)Используя выражение (4.16), получаем(4.22)т. е. групповая скорость всех пространственных гармоник одинакова и равна групповойскорости нулевой гармоники vг и номер гармоники можно не писать.
Это еще разпоказывает, что пространственные гармоники существуют совместно и понятиегрупповой скорости нельзя отнести только к одной из них.Поскольку величина и направление групповой скорости одинаковы для всех гармоник,удобно считать групповую скорость всегда положительной и сравнивать с ней фазовыескорости гармоник. Фазовую скорость гармоники будем считать положительной, если еенаправление совпадает с направлением групповой скорости (т. е. с направлением отгенератора к нагрузке), и отрицательной – при противоположном направлении.62Волну, в которой направления групповой и фазовой скоростей одинаковы, называютпрямой волной, волну с противоположными направлениями скоростей – обратной волной.Соответственно и пространственные гармоники можно разделить на прямые и обратные.Все гармоники с отрицательными номерами (р<0) – обратные, а с положительными (р>0)– прямые.
Нулевая гармоника (р=0) может быть прямой (vф0>0) и обратной (vф0<0).Используя (4.18) и (4.21), установим связь групповой и фазовой скоростей:(4.23)В замедляющей системе, как в любой линии передачи, фазовая и групповая скоростизависят от частоты. Эти зависимости называются дисперсионными характеристикамисистемы, или дисперсией. Дисперсию называют нормальной, если абсолютное значениефазовой скорости уменьшается с ростом частоты, т. е.(4.24)При(4.25)дисперсия фазовой скорости аномальная. Дисперсия отрицательных пространственныхгармоник (р<0), или обратных, всегда аномальная, а положительных (р>0), или прямых,может быть аномальной и нормальной.
Характер дисперсии нулевой гармоники (р=0)зависит от того, прямая она или обратная. Если нулевая гармоника прямая, то дисперсияможет быть любой и определяется конкретным типом замедляющей системы. Еслинулевая гармоника обратная, то независимо от типа замедляющей системы дисперсияаномальная.Необходимо отметить, что если известна зависимость фазовой скорости нулевойгармоники от частоты vф0(ω), то можно определить зависимость от частоты фазовойскорости любой пространственной гармоники по формуле (4.18), которую удобнее дляэтой цели преобразовать к виду(4.26)Замедляющие системы – это линии передачи с периодически повторяющимисянеоднородностями.
Обычно их представляют в виде эквивалентных схем ссосредоточенными параметрами – емкостями и индуктивностями. Такая схема обладаетсвойствами фильтров. Каждый период замедляющей системы на эквивалентной схемепредставляется звеном фильтра с реактивными сопротивлениями X1, и Х2 (рис. 4.5).
Взависимости от конструкции замедляющей системы звено фильтра может быть фильтромнизших частот (X1 – индуктивность, Х2 – емкость),фильтром высших частот (X1 – емкость, Х2 –индуктивность) или полосовым фильтром, если X1или Х2 – реактивные сопротивления резонансногоконтура. Полосу пропускания эквивалентной схемыопределяют из теории фильтров частотами ω0 и ωπ,на которых сдвиг фазы ϕ0 на одно звено равен нулюи 180°.Рис. 4.5Параметры эквивалентной схемы выбраны так,чтобы сдвиг фазы на одно звено ϕ0 равнялся изменению фазы нулевой пространственной63гармоники на одном периоде замедляющей системы, т.
е. ϕ0=β0L. Другими словами,представление замедляющей системы эквивалентной схемой справедливо только длянулевой пространственной гармоники. По эквивалентной схеме можно выяснитьдисперсию нулевой гармоники, а затем, используя формулу (4.26), также и дисперсиюдругих пространственных гармоник.Зависимость фазовой скорости гармоник от частоты можно проследить с помощьюдисперсионных характеристик, одна из разновидностей которых показана на рис.
4.6. Пооси абсцисс отложен фазовый сдвиг на один период замедляющей системы ϕp=βpL,определяемый формулой (4.16), а по оси ординат – частота ω. Сплошные кривыеотносятся к гармоникам р=0, ±1, ±2. Нулевая гармоника (р=0) соответствует изменениюугла ϕp=ϕ0=β0L от 0 до π. Эти пределы в соответствии с теорией фильтров определяютполосу пропускания, заключенную между ω0 и ωπ,. Сдвиг фазы для гармоники р=+1 поопределению (4.16) на 2π больше, чем при р=0, поэтому кривая для р=+1 существует впределах от 2π до Зπ. Соответственно смещаются на 2π вправо кривые при каждомувеличении на единицу номера р. Переход от р=0 к р= –1 эквивалентен смещению кривойв область значений фазы от –π до –2π и т.
п. Полоса пропускания для всехпространственных гармоник одинакова и равна полосе пропускания эквивалентной схемыи замедляющей системы.Фазовая скорость гармоники с учетом (4.18) пропорциональна тангенсу угла наклонаψ прямой, проведенной через начало координат и точку дисперсионной характеристикиприРис. 4.6выбранной частоте ω. Групповая скорость гармоники по формуле (4.21) пропорциональнапроизводной в данной точке. Очевидно, что на границах полосы пропускания групповаяскорость гармоник равна нулю (экстремальные точки кривых).Групповая скорость всех пространственных гармоник при данной частоте ω одинаковаи положительна.
Для варианта замедляющей системы, дисперсионная характеристикакоторой приведена на рис. 4.6, наибольшая фазовая скорость у нулевой гармоники. Сувеличением положительного номера р фазовая скорость уменьшается, фазовые скоростиотрицательных гармоник отрицательны (противоположны направлению групповойскорости) и также уменьшаются с ростом номера. В рассматриваемом случае гармоникир=0, +1, +2 – прямые, а р=–1, –2 – обратные. Используя дисперсионные характеристики,можно выяснить зависимость фазовой скорости любой пространственной гармоники отчастоты.64§ 4.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
