Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Как видно, в этом прнближе- рв нпи приращения ЛЕ =Š— Ео и ЛР =Р(Е)— — Р(Ео) связаны линейной зависимостью. Произведена локальная лияеариоайил зависимости Р(Е) (рпс, ! 6.14) . Пусть прн данной постоянной составляющей Ео=сопз1 приращение Е меняется гармонически: ЛЕ = Е соз ый Тогда также ЛР = =- Р соз ю! (в этом приближении процесс бозынерцпопен) п пз (16.65) следует: Ра) — ьаез (~а) Е)а. (16. 66) Играющая роль относительной диэлектрической проннцаезюстп величина ба, постоЯннаЯ пРп выбРанном Ео, пазываетсЯ диффеуен1)иальной. !!одобным же образом производится линеаризация зависимостей Е(Н) и !'(Е); при этом вводятся дифференциальные параметры ра и оа Линеарпзацня отнюдь не всегда допустима, поскольку даже в случае слабых полей основной интерес может представлять отклонение от линейной зависимости.
Продолжая рассматривать изотропный диэлектрик, примем во внимание, что согласно (1.70) Р(Е) = еоЕ+ Р(Е). Исходя из разложения Р(Е) в ряд Тэйлора в окрестности Ео, запишем: где ЬР= Р(Е) — Р(Ео), а слагаемые справа имеют вид: Р' = ео)!зЛЕ и Раз = Еа(Х1ЛЕ+ ЫЛЕ'+ ...) = ЕаКав,ЛЕ, (1ГА66) 34* ч33 Гл, 1«. АнизотРопные, Активные и нелинеиные сРеды 333 З 1«.«. НЕЛИНЕННЫЕ СРЕДЫ причем ь (отметим, что 1+ уь = ел). ь Далее положим ЛЕ=Е соз(юр+<р), или согласно (3.8) ЛЕ= =(Е е'"'+ Елв 1"')/2. Внося зто в (16.68), легко убедиться, что Р" предстает как ряд, члены которого изменяются по закону ехр(~1пюс) (и = О, 1, 2, ...).
Обозначим их Р""(-~ поз1) =- = Р (~ пюг) ехр(1- 1П«о1). Тогда Р„", (0) = ел(у'(о» вЂ” ю)Е Е,„+ уь(ю+ «о — ю — ю)Ь'«Е + ...1, Рт (+ ю) = еь(У«(н» + ю — 1е) ЕтЕт + (16 70) +Х (ю+ю+о1 — ю ю)ЕтЕт + ° ° 1» Р»л(+ 2ю) = еь(У»(ю+ ю) Ь«т+ У'(ю+ ю+ ю — ю) ЕтЕт+ ...1 и т. д., где постоянные коэффициенты )1'(«о...) просто связаны с различными у"„пз (16.68). Вследствие нелинейности закона Р(Е) гармонические колебания Е с частотой ю порождагот (в общем случае) постоянную составляющую и колебания со всевозможными кратными частотами вектора полярпзовакности Р.
Чтобы найти составляющую частоты пв, надо сло;ккть Р„' (1ко) и Р~~~( — пю). Можно было взять ЛЕ в виде наложения нескольких частотных составляющих: ЛЕ = Е ь соз(со»1+1р)+Ь',соз(ю«1+»Р)+... Как видно, при подстановке ЛЕ в (16.68) получится разложение Р", содержащее компоненты Р»л(~йене лн пю, — ' ...). Соотнетству1ощпе комплексные амплитуды 1т (-' йьол~ Пю, -~ ...) можно выраш1ть Знл как в (16.70). Говорят, что поляризованность содержит составляющие различных комоикацпонных частот. Наконец, перейдем к записи уравнений злектродинамики и предстазлеппю нх решений в случае изотропного нелинейного дизлектрпка. Пусть в данном случае Е«=0. Материальные уравнения имеют впд: В = е«Е„Е+ Р", В = р««1«Н, '(16.71) где использованы соотношения (16.67) — (16.69). Уравнения Мак снелла, таким образом, можно записать в виде: ЗР дрнл ан 1огН = еьел — + з + 3, гос Н = — Р,Р з1, (16.72) где 1 = СЕ + )".
В случае если источник совершает гармонические колебания с частотой ю, поле содеря;ит все кратные гармоники. Позтому, взяв у" =- 1" соз(«11+ 1р) = (1"еь"1+ 1" е-™)/2, разложим е=е(1), Н = Н(1) иР"л = Р»л(1) в ряды Фурье типа (3 17): Н вЂ” ~~ Н (п«е) е1»н« Вт (ПЮ) «1» »1 (16.73) 1,»л У Рнл (П«О) соль»1 Подставляя (16.73) в (16.72), получаем следующую бесконечную систему уравнений: го«Нт (пьн) = рпю (зрел (пи) Ет(пн») 4 Рт (п«»)1+ 1,'„'(пе»), (16.74) ГОФ Вт (Псе) = — 1П1ОРЬРН (П«е), п=-О, ~1, ~2, где е„(п1н) =- ел — 1о!еьпьо и 1~~ (пю) = 0 для всех п кроме и = +1 причем Э," (1о) = 1'„',/2 и 1;„' ( — ю) = 1',„"/2. Если бы среда была линейной, то все пары уравнений Максвелла в (16.74), соответствуьощие отдельным гармоникам, были неза' нл впспмы.
Но присутствие функций Р (пю) делает их связанными, гак как каждая кз этих гармоник зависит от серии гармоник Е (п«1). Действительно, подобно (16,70) о,"„л ( о) == е„( у» (2ю — ) Еь, (2ю) Е., ( — ) + + у»(3«» — 2со) Е (Зю)Е ( — 2ю) + ... .,: -1- у'(«о+ 1о — 1о)Е' (ю) Е ( — со)+ ...), (16.75) П»» (Зю) .= е, (У» (оэ + со) Е„' (е») + У' (Зо) — 1о) Ет (3«о) Е», ( — ю) + уэ (1о + ю + ~о) Е~~ (ю) Е (,1) л т, д. При оценке отдельных нелинейных эффектов оказывается возмоьккым оставлять лишь несколько уравнений в системе (16.74).
Такие «укороченные» системы используются, например, в нелинейной оптике. В частности, если компонента Р («о) относительно мала, ею можно пренебречь, анализируя первую гармонику векторов поля; тогда соответству1ощая пара уравнений из (16.74) (прк п = 1) З !6А. НЕЛИНКИНЫЕ СРЕДЫ 535 оказывается независимой: (16. 76у (16.82) (16.77) откуда 2 г = — —, ! — ] гйп (2ыг — йг).
зь) с (16.84) Р " — - — г, ', гйп(2е)! — 2Лг), ав лу 22А2 вм'т с (16.85) 22 22 ! 2! А~ 554 гл. !з, хннзотРопныв, актпвнык и нглинкйнык сРвды го! Н,„(а)) = !е)заев (а)) Е (о)) + 1"'(е)) го! Е„, (е)) = — )о)ра!!Н (12). Прн исследовании второй гармоники в определенных условиях можно не учитывать влияния высших. Тогда во второй строке (16.75) остается лишь первь)й член, так что пз (16.74) при в=2 полу- чаем го!Н (2о)) = 12ыеае2(2в)Е (2о))+ + 12о)еат'(е) + о))Е (а))Е (о)), гог Е„(2а)) = — 12о) 21,)2Н„(2а)), где Е (о)) — решение уравнений (16.76). Таким образом, мы получаем приближенный подход для нахождения второй гармоники, порождаемой в нелинейной среде заданным полем первой гармоники. Аналогично рассматривается и возбуждение комбинационных частот. 16.4.3.
О нелинейных явлениях в плазме. Будем рассматривать поле в плазме, которое при ее разрежении (Х'- 0) все более приближается к плоской однородной волне в вакууме вкда А Е =- х А соз (ю! — Лг), Н =- у, — соз (о)! — йг) (16),78) о )у (Л'= йа = а)) ворс, И'= !2222= У)22))ео) Формулы (16.78) будут играть роль начального приближения к ре)пению. В отличие от обсуждения свойств плазмы в $14.2 и и. 16.1.2 учтем теперь влияние лорепцевой силы, обусловленной перемепны)г магнитным полем. Выражая лоренцеву силу Р = д(Е+ !!2[дг!ой Н]), подставляем сюда Е п Н пз (16.78). В отличие от (14А7) имеем )2 —," + Р— ' = ~ хаЕ+ — ~ —, у,Е1[. (16.70) )!2 Ш 22 [ 2 с ! Ш Здесь Е =А соз(е)! — йг) к с = 111)гзсз, мы пе имеем права.
как в $14.2, переходить к методу комплексных амплитуд, исключая временную зависимость, поскольку уравнение нелинейно. Действительно, переходя к координатной форме прп 2) =О, на- ходим Нелинейность заключена в произведениях компонент скорости Р. = = 2(г)221 и Р,= 2(хИ1 на Е. Так как и« с (иначе нельзя использовать законы классической механики), то соответствующие члены в (16.80) весьма невелики и в первом — линейном — приближении могут бь)ть оторошепы.
Тогда (16.80) становится (при переходе к комплексной форме записи) просто частной формой (14.35). При этом у .- О, г — О, х — — — —, А соз (ю! — Рг) (16.81) мь)2 и следовательно 22 Лу 2т2 Р = Р' = — х„',, Асов(ыг — йг) -- — —,Е !22) Ркаг (о = е); это же следует пз (14.38). Далее можно было бы, как и в и. 14.2.1, пайтй диэлектрическую проницаемость плазмы (теперь мы бы пазвалп ее е,) п от начального приближения (16.78) перейтп и первому прйблпженпю, заменив ео на есе2. Но паша задача состоит в том, чтобы получить следующее приолпжовпо, найдя нелинейную поправку.
С этой целью подставим (16.81) в третье из уравненяй (16.80). Учитывая также (16.78), полу )ае и — [ — ) — в)п (2а)! — 2йг) =. —,, д: —.- е, (16.83) 1Н' Таким обра,шм, вследствие нелинейности плазмы, обусловленной действием лоропцовой силы, возникает продольное колебательное движение частиц с удвооппой частотой.
Соответствующая составлятощая вектора полярпзованпостп находится умпожеппем г (16.84) па г!)ед)': Изйдепп;)я компонента вектора полярпзоваппостп ортогопзльна папряженпостк электрического поля. Поэтому для перехода к представлению тяпа (16.70) понадобилось бы некоторое обобщение: восприимчивость имеет тензорный характер — нелинейность влечет за сооой анпзотропию. Существует еще целый ряд факторов, обусловливающих нелинейность плазмы.
В частности, зпаченне з зависит от средней энергии электронов. Если, напр)нгер, мощность радиоволны, распространяющейся в ионосфере, настолько велика, что скорости электронов, находящихся под ее воздействием, не малы в сравнении со средней тепловой скоростью, то, можно сказать, что волна вызывает разогрев ионосферной плазмы, которым нельзя пренебречь. Комплексная диэлектрическая проницаемость плазмь), зависящая от з), оказывается функцией амплитуды поля. При прочих равных условиях эта нелинейность должна возрастать с умепыпе- УИРА!КНННИЯ (16.88) з = 1+4яй"Ле, г!ц 0 з ез (еб зга0 е„(2сз) ' е 536 гл.
1з. АнизотРопные, Активные и нелинеиные среды нием частоты (согласно (14.38) ч = — (еЕ /тю), но на СДВ и ДВ: поле липп, незначительно проникает в ионосферу, и отмеченный тип нелинейности проявляется, главным образом, в диапазоне СВ. Если мощная волна несет некоторый сигнал, то соответственно этому сигналу оказывается промодулироваино(г частота столкновений т. Это может повлиять на распространяющуюся здесь же слабую волну таким образом, что она воспримет указанную модуляцию.
Такая кросс-модуляция называется люксембург-горьковским эффектом. Возможно и самовоздействие мощной волны", волна, так сказать, изменяет свойства среды на своей трассе, а среда, в свою очередь, влияет на структуру волны (иитерпретация несколько упрощенная), В результате самовоздействия может, в частности, порождаться вторая гармоника несущей. 16.4.4, О нелинейной оптике, Уже отмечалось (см. п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
