Финк М. Теория передачи дискретных сообщений (1970) (1151862), страница 76
Текст из файла (страница 76)
памяти канала, 471 :Прн известной функции корреляции квадратурных составляющих р„(1) н р,(1) можно вывести оптимальное правило решения для общих замираний с пронавольной скоростью [1О). Пусть принимаемый сигнал имеет вид в'(1) =р,,(1) во Я+р;(1) а„(т)+и(!), 0<8(Т. (729) Ограничимся случаем релесвских замирашгй, т. е. будем пРеДполагать, что Ро(1) и Р,(1) — независимые слУчай- ные процессы с нулевым средним и одинаковым коэф- фициентом корреляции )т (1„1,) = ~' ( ' ~' ( ' =' '1 ' ' ' ( ' ° (7.30) и И) Р' (О Функция правдоподобия для сигнала а, (1), при известных Ро(М) и 1!.(1)„Ранна и! (а!1'зт, Ро (1), Р., (1)) = !т' ехр ~ — —, ~ з' ' (1) т(1+ о + — „. ~ Р'(О '(1) ° (1)т0+ —,, ~ Рг(Г) я'(1) „Я (1— о о г т — †, ~ и (1) в, (1) о!1 — †., ( Р (1) в„ (1) !((в о о ! ) Рс (1) Ро (1) ~т (1) ~т (1) о(! о (7.31 где Л' — константа, не зависящая от т.
Представим реализации случайных процессов ро(т) и 1!.(1) на интервале (Π— ". Т) каноническим разложением(7) и (1) ='')',и-9оЯ. Р'(1) =~~„Р. 'Р (1) (732) где Р, и 1о,„— независимые случайные величины, а !Р„(7) — собственные функции, являющиеся решениями 47з интегрального уравнения Фредгольма ~)7(1„1,)Р(1,) ((.=ЗР(1,) (0<1,<Т) (7.33) о и пронумерованные в порядке невозрастания собствен- ных чисел Х .
Тогда ш (з'/з„, Р„Р,)=и (в',!в„1!,„, Р. „, !Р„)=Л! ехр~ — +'г(1)оИ+ о са т + — ~ 1гг!! ~ 2 (1) е„(т) !Ро Ж + и=! о -! — Ям ) *'!о*.<!!! !!!!!— и=! -- —,! ~ Д~~ Р. 9о И)) з, (1) (1— о о=! — — ~~ (Р,„!Р„(1)) г„(1) тй— !!= ! — —,. ~~~~~~~~Р"Р ~9 (1)'Рр(1)" (1) з.(1)!(ф !!=!р=! о Заметим, что функции «Р„(1) имеют размерность сего Нг, собственные числа 7!„— сея, а 1м„— сев — !т'.
Полагая, что спектры сигналов не перекрываются со спектром флюктуаций р(1)„а следовательно, и со спектром координатных функций (что в радиоканалах практически всегда выполняется), можно принять м г г со ~~У !! г() 1 1 т г() 7 ~(~ (1))г У7 о=! од'о! (7.33а) и аналогичные упрощения сделать в остальных интегралах. 473 Учитывая ортонормированность функций <р„(1), найдем т пг (г'1 г„, <г,„, Р,„, р„) = Ю ехр 1 — —, ~ г' ' (1) <11+ + —,. ~ Р ф'(1) г. (1) т (1) <11+ л=! о оо Т со + гг ~~~~Ром ) () г() Ро() 2 г 1~~~(Рг +Р~) г~' о л=! (7.34) т где Р,= —,! г (1) <11 — мощностьприходящегосигналаг,(1).
яо Г 2 о В дальнейшем будем полагать, что используется система с активной паузой, т. е. Р„=Р,. Применим обобщенный критерий максимального правдоподобия. Для этого найдем значения р,„и <г,, максимизирующие функцию правдоподобия (7.34). Эти значения <<,„„и р,„„являются решениями уравнений: д г )инг(г1г Рсяг Ргог тя)=О д — 1псо(гфгг Р,„„, Р„, <р„)=О. (7.35) Подставляя в (7.35) условную вероятность (7.34), найдем а т а Ро р ~г (1) г (1)~7(1)<11 р о а т 2 Р, = р— г'(1) гг(1) рм(1) с(1 = р — Уг„г (7.36) Правило решения, основанное на обобщенном критерии максимального правдоподобия, заключается в регистрации символа уь если пг(г < г<г Рой ! Рея<* гро) ) <о (г <гг Рси г Ргм тг <ри) при тф1, или ~(Х', +У', )>~(Х'„+У'„), (7.33) л=! п=! для всех тф1 На основании полученного правила можно построить решающую схему, изображенную на рис.
7.7. Она состоит из тл ветвей, соответствующих сигналам г„(1). В каждой ветви результат умножения приходящего сигнала на г„(1) поступает на бесконечное число перемножите- где (7.37) 47о Х = ( г'(1) г„(1) р„(1) <11, о У = ~ г' (1) г„(1) <р„(1) <11. Рнс. 7.7. Решающая схема лля канала с быстрымя лиц<яма аамнраннямя. лей, где умножается на функции ср„(1). Полученные произведения интегрируются, в результате чего образуются Х~ и У~ . Последующие операцви ясны из (7.38). Такая схема, конечно, нереализуема вследствие бесконечного числа слагаемых"' в (7.38). Можно однако показать, что величины Х, и У„с увеличением и быстро сходятся к нулю в среднем квадратичном, и поэтому схема с использованием конечного числа собственных функций оказывается близкой к оптимальной.
Забегая несколько вперед, укажем, что если использовать только йг функции р„(г) с наибольшими"собственнымн т числами, где )у — величина порядка — (зависящая от тя й'), то при дальнейшем увеличении )т'вероятность ошибки уменьшается незначительно. Схему рис. 7.7 можно преобразовать, заменив перемножение сигнала на регулярные функции пропусканием его через соответствующий фильтр.
На рис. 7.8 показаны некоторые варианты схем одной из еп ветвей, в кото- 2 2 рой образуется величина Х„+У„, с помощью фильтров, согласованных с гр (г) (рис. 7.8,а), или с г„(г) (рис. 7.8,б). Если, как мы предполагали, спектры функций ~р„(г) занимают полосу частот ниже спектров г,(1), то можно показать, что сигналом, сопряженным с произведением г„(г)гр (г), является г,(1)гр„(г). Это позволяет представить решающую схему в виде рис.
7.8,в, не содержащем перемножителей, в котором фильтры согласованы с г„(г)~р (1). Возможны и многие другие варианты, в частности схема с синхронным гетеродинированием н фильтрацией по промежуточной частоте. Все эти схемы в общем случае очень сложны. Однако в двух частных случаях, когда 7<та и когда ТЪ тн, они существенно упрощаются. В первом случае, когда замирания сравнительно медленные, упрощение очевидно, поскольку можно ограничиться учетом одной собственной функции грг(1). Легко видеть, что при этом решающая схема рис. 7.8,в получается такая же, как и при медленных замираниях * Преобразовав правило решения (7.38), можно получить схему, ве имеющую бесконечного числа ветвей, ио содержащую бишьтры с переменными парвметрамн [б, 1О). 47б хема енения а> хеме биения хема днения Рис.
7.8. Некоторые варианты ветви решающей схемы пля канала с быстрыми общнмп замираниями. ?????,Р. [ т й, +11. (7.41) то= то 2 2!Ао гдеЬ = — ' я Р,т а ха Нормируя к — Р„находим 2роо т а.+! О л, т Ио+! 0 2 Т ~о+! 2 !!Х!... 0 .ИО...О 001... 0 . ООО .. . 1 479 (или при отсутствии замираний), с той только разницей, что фильтры согласуются не с а,(1), а с произведением (!) р (1) т При — - О, как и следовало ожидать, р,(!) - 1. га Во втором случае, при ортогональных сигналах с неперекрывающимися спектрами, путем преобразований правила решения при некоторых допущениях можно представить решающую схему в виде, показанном на Рис.
7.9. Упрощенная решающая схема пля сигналов с нш!ерекрмвающимнся спентрамн при Т»тм рис. ?.9 (см. примечание 6). Здесь полосовые фильтры Ф! — Ф„, имеют полосу пропускания порядка ширины спектра флуктуаций коэффициента передачи. Онп осуществля!от когерентное накопление принимаемого сигнала за время порядка тю после чего производится некогерентное квадратичное накопление (сложение) на интеграторе. Легко впдствь что эта схема совпадает со схемой интегрирования после детектора, рассмотренной в гл. 4. В то же время в ней воплощается изложенная выше идея Дж, Костаса (8!. Для того чтобы оценить влияние скорости замираний на вероятность ошибки, рассмотрим простейший случай двоичной системы с активной паузой. При этом будем полагать, что сигналы ортогональны в усиленном смысле, причем ортогопальпость сохраняется и после прохождении через канал с быстрыми замираниями.
Такое предположение обосновано, например, для системы ЧТ с болыпнм разносом частот, а также для сигналов, рассмотренных в работе Дж. Костаса (81, если длительность подэлемента существенно меньше тм 47а Правило решения (7.38) для двоичной системы имеет вил « ='), (Х'-' + У'-' Х'-' — У, -") >О. Р.З9) о=! При передаче сип!ала а,(!) *'!! ь *!.!!*~!!н-г,.!.!!*,!н- !! (г4я а=! а=! Найдем элементы корреляционной матрицы случайных величин, входящих в квадратичную формулу (7.39), учитывая (7.33а): т а Ро+ ~п (1) аг(1) оо (7) с(!1 о Х!оУ!р — — ХгпХ,р — — УгпУап — --О по всем п и р, о А= о (7.42) (КА — к1~=0, т 2"ъ саста — 1 (7.46) 2тк е а ю„та+! (7.43) (7.47) (7А4) )~п~ ~» ~» е) $0 1О-5 С км — ! (7А4а) а матрица квадратичной формы Здесь 1 †единичн матрица порядка У. Найдем корни уравнения 7 ~о+1 — 1 (Л1< и~2Л').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
