Спилкер Дж. Цифровая спутниковая связь (1979) (1151860), страница 67
Текст из файла (страница 67)
системы. Графики характеризуют вероятность того, что время захвата меньше заданной величины Т„, „. Время захвата нормируется по отношению к собственной частоте системы /„. Говорят, что произошел захват фазы, если величина фазовой ошибки не превышает 37,3'. Заметим, что для заданной начальной фазовой ошибки в 90'/, случаев время захвата уменьшается при уменьшении отношения сигнал/шум до величины 20 дБ. Минимальная величина времени захвата приблизительно составляет Т„, „= =10// =2,99/В . Если имеет место дальнейшее уменьшение отношения сигнал/шум на 10 дБ, то параметр Т„, д увеличивается вдвое. Таким образом, искусственное введение незначительных флуктуаций фазы (около 0,1 рад) позволяет улучшить характеристики системы ФАПЧ в режиме захвата.
12.6. НЕЛИНЕИНЫИ АНАЛИЗ СИСТЕМ ФАНЧ Ниже дается нелинейный анализ влияния шума на помехоустойчивость кназикогерептных приемников двухфазных ФМ сигналов, в которых используются системы ФАПЧ. Этот анализ проводится в три этапа: 1) выводятся уравнения Фоккера — Планка' для марковского процесса, являющегося моделью фазовой ошибки системы ФАПЧ; 2) выводится выражение плотности вероятности фазовой ошибки системы; 3) выводятся зависимости вероятностей ошибки при приеме двухфазных и четырехфазных ФМ сигналов от отношения Ез///о при наличии шума на входе системы. Уравнения Слголуховского и Фоккера — Планка '.
Как показано ниже, статистические характеристики фазы сигнала на выходе системы ФАПг! 1-го порядка 1469) аналогичны соответствующим характеристикам марковского процесса 1-го порядка. Следовательно, статистический анализ системы ФАПЧ может быть выполнен на базе результатов, полученных для процесса типа броуновского движения [88, 479).
Рассмотрим марковский процесс' у('1), имеющий начальную координату у(0) =уо и изменяющийся во времени таким образом, что в момент времени 1, он достигает координаты у (рис. 12.13). Ниже процесс у(4) используется как модель фазовой ошибки системы ФАПЧ, являющейся элементом приемников двухфазных и четырехфазных ФМ сигналов. Определим условную плотность вероятности для у (при заданных уо и 1) как р (Д ~ ую 1) ггй А р [ Д (1) [у (О), 1] ггу. (!2.84) ' В отечественной литературе зто уравнение принято называть уравнением Фоккера — Пленке — Колмогорова. (Прими дед.) ' Читатели, желающие непосредственно познакомиться с количественными результатами, приведенными в данном разделе, могут сразу же перейти к анализу уравнения (12.,134), определяющему плотность вероятности феновой ошнбкн системы ФАПЧ 1-го порядка.
' Введение в теорию марковских процессов дается в пннгах [47*, 244']. 332 ~!та условная плотность вероятности определяется как вероятность того, что в момент времени ! координата у(г)ев(у, д+с(у) при условии, что у(0) =до Рис. И.!3. Возможнме траектории марковского процесса от значения уо к значению у при интервале времени стт 0 ~р (у ! г, Л 1) р (г ~ у„(т) с(г. Определим интеграл ! как Ы Д)~(„) ду(у!у„1) „„ д1 (12.
87) (12.88) где ис(у) — произвольная аналитическая функция у, такая, что м'"~!У)-~-0 Прн 1у1-о-ее дЛя ЛЮбОГО П. ФуНКцИя )С1я1(у) ЕСТЬ ПРОИЗ~олива л-го порядка от нс по аргументу у. Используя уравнение 333 Так как у(о) представляет собой одномерный марковский процесс, то у®=у и зависит только от его предыдущего значения у((о)=г, где (=г,+Ай При этом имеем Р(У!г от Уо Гт)=Р(У!и, тат), (12.86) т.
е. условная плотность вероятности при фиксированных выборочных значениях процесса для всех предшествующих моментов времени равна условной плотности при фиксации только одной предыдущей выборки г. Тогда, опуская для упрощения записи переменную т', для совместной плотности вероятности при фиксированном уз можем записать Р(У, г!Уо)=Р(д!г., Уо) Р(г !Уо) =-Р(У1г) Р(г)уо). (!2.86) Интегрируя (12.86) по всем возможным значениям переменной г, определяемой в соответствии с рис. 12.13, получим уравнение Смолуховского, или уравнение Колмогорова — Чэпмена О р(у!Уо)= с)р(у~г)р(г!У,)~(г=— — о Смолуховского и применяя разложение в ряд Тейлора, перепишем (12.88) в виде 1=1пп — ~( )с(у) !!у )р(г!уо, !) р(у'г, Л !)о(г— о!.
о г»! — ~Я (г) р (г / у„() с(г~ = 1нп — ~~р (г! у,, () х 1 о! о»»! Х ~ ~ ('1 ~е" р(е~г, Л1)о(е~, (12.89) 1 = ~~ ~ ~дА„ ( г) р ((г г~ у„ т) )с'"' (г) !Ь = » 0 О = Р— ио ~ — ~~ — ~Ыи. о=! †»» о=! При соответствуюшем выборе функции )т(г) и ее производных для )г)- оо имеем (12.91) )т~" ' (г)А„(г)'р(г(уо, 1) ! =ив ! =О. (12.92) »» О Вычитая (12.91) из (12.88) и выполняя пократное интегрирование го частям, получим ~ — ~=0=~й(у) (у~ !дР(У!Уа !) д! » — (А (у) р(у!!уо, тН~. о=! Так как )с(у) — произвольная функция, то величина, заключенная в фигурные скобки, должна быть равна нулю. Тогда частная производная условной плотности вероятности будет » = Р— [Ал (у) р (у ~ уо Г)] (12 94) д!»!»»») о! дул о=! 334 (12.93) где у — г»»в и Р(у)= .
— !т (г). е1 о! »»=о Определим условные моменты в как А„(г) и 1пп — (е" р(е~г, Лг)!(е, п > 1. (12,90) о!-о Л!,3 Ф Тогда (12.89) после интегрирования по частям можно переписать -в виде где р(У[Уа 0) =б(У вЂ” Уо); б(«) — дельта-функция Дирака. Приве; денное дифференциальное уравнение в частных производных есть уравнение Фоккера — Планка. Можно показать, что для случайного процесса, описываемого дифференциальным уравнением 1-го порядка, сомножитель А (у) при п)2 является .пренебрежимо малым.
Поэтому в уравнении будут фигурировать только два плени разложения в ряд Тейлора: дР(У. 0 д ! дв д! = — — [Ах(У) р(У, !)!+ — — [Аа(у) р(У, !)). (12.95) дУ 2 дув Шумовые «арактеристики системы ФАПЧ. В общем случае воздействие шумов на систему ФАПЧ приводит к ряду нелинейных аффектов, вследствие чего дифференциальное уравнение, описывающее статистическую динамику системы, оказывается нелинейным.
Влияние шумов может быть проанализировано с помощью полученного выше уравнения Фоккера — Планка. Рассмотрим систему ФАПЧ, представленную на рис. 12.14, и предположим, что упИ го 2 го -гго .-го Рис. !2.гб. Спектральная плотность мощности белого шума л((), ограниченного по ширине спектра Рис. !2.И. Структурная схема системы ФАПЧ. Вхолнаа сигнал у(п У2А а)п (еа(+ +Е~(Г)(чп(П. Сигнал на выходе Гун а (() У як.'-. (оь)+е.(()1.
ковфф ш. сит передачи фильтра петли слелсеннн К|р(а) (12.97) шум на входе системы и('г) является гауссовским, ограниченным по полосе, и характеризуется спектральной плотностью мощности 6, (7) (рис. 12.15). Шум л('!) может быть представлен в виде независимых друг от друга синусной и косинусной составляющих: и(!) = 7 2 и,„(!) з(пе)о!+)г 2п„(!) Созе)е (, (12.96) где и, ('(! и и„('() — гауссовские случайные процессы с одинаковыми спектральными плотностями мощности, равными 6 (О. ОпРеделим ут('!) как результат перемножения колебания на входе системы ФАПЧ ((',г) и колебания на выходе ГУБ д®. Если предположить, что система ФАПЧ является избирательной: пистемой )( обеспечивает прохождение на ее выход колебаний с несущими частотами, не превышающими шо, то в этом случае для сигнала на выходе умвожителя Ь('() справедливо соотношение й (!) = АК, яп е (!) + К, и, (!), 335 где к(/)= )' 2Кзсоз[222/+0(/)]. Фазовая ошибка равна е(/) -" 02(/) — 02(/).
(12.98) Эта плотность вероятности может быть выражена через совместную плотность вероятности синусной и косинусной составляющих: р(п„, пь, 9,) =р(п„, и~~О ) р(0,) =р(п,,а,(и„иь) п„а,(и„пь)) х х ! (" ' "") !Р(0,), д(л„, ль) (12.102) где якобиан преобразования ! ",' "!= д(л,„, л„) ) — З(П02 СОЗ02 д (лл ль) ! соз 0 3!п О Окончательно имеем — ( л2 +л2 ) 12л2 р(п., пь, 0.)= — е '" "' р(О,)= — ( л2+л2)/2л2 е ' р(0,) =-р(п„пь) р(О,). (12.103) Следовательно, и, и пь являются гауссовскими случайными величинами, независимыми от 02.
Уравнение для частотной ошибки е(1). Пусть 02/К2 — сигнал на выходе фильтра системы, имеющего коэффициент передачи К,Р(з), а 02 — оценка случайной величины Оь В соответствии с введенными ранее обозначениями з — оператор дифференцирова- 336 Шумовая компонента определяется как п, (/) = — илл (/) яп О, (/) + и„ Я соз О, (/) = (12.99) Плотность вероятности фазовой ошибки. Распределение вероятности для и, н иь.
Определим шумовую компоненту п =п,„созО,+п„з(пО,=/2(п,, и„, 0,)=пье(п„„, и„). (12.100) Для того чтобы выразить совместную плотность вероятности р('п„ пь, 02) через плотность вероятности р(п,„, и, 02), предположим, во-первых, что параметр О, независим от п,„и и„. Это допущение справедливо, когда шум на входе системы является белым, а система ФАПЧ представляет собой малоинерционное звено и не является источником существенных задержек сигналов. Таким образом, имеем р(п,„, и„, О,) =р(и,„, и„) р(02) Ввиду того что п,„и и,„есть гауссовские независимые случайные величины, для совместной плотности вероятности справедливо соотношение — ( л2 +л2 )/2Ф р(п.л, и„, О,)=, е '" " р(О,). (12.101) (У ая в)' ния с(/з!!.
При этом дифференциальное уравнение для фазы синхронизируемого генератора имеет вид зон (О = —.з =Кто(з) [АКзз!пе(1)+Капе(1)], (12.104) где в — фазовая ошибка. Введем эквивалентный коэффициент усиления К а К1КзКз, тогда приведенное дифференциальное уравнение упрощается: О, = и О, = КР (з) [А з!п и + и,]. (12.105) Следует заметить, что в приведенных выражениях отсутствует параметр 1, что обусловлено необходимостью упрощения формы за'писи. Так как фазовая ошибка в а 01 — Оз и в=01 — Озо можем записать дифференциальное уравнение для фазовой ошибки: в=Ох — КР(з) [Аз!па+а,].
(12.106) Это уравнение определяет зависимость производной фазовой ошибки от производной фазы О, принимаемого колебания, величины фазовой ошибки а и шума и,. Нелинейная модель системы ФАПЧ, статистическая динамика которой описывается дифференциальным уравнением (12.106), представлена на рис. 12.16. Рас- аа нам Рис. !2.1б. Нелинейная модель синхронизируемого по фазе генератора при воздействии шумов: З вЂ” оценка аначеннн фазы сматривая конкретный пример, положим Р(з)=1 и 0~=0. При этом для фазовой ошибки справедливо нелинейное дифференциальное уравнение 1-го порядка: в = — К[А з!п в+ лн].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
