Скляр Б. Цифровая связь (2003) (1151859), страница 195
Текст из файла (страница 195)
При неизвестной функции плотности вероятности характеристика компрессора неравномерного устройства квантования должна быть выбрана так, чтобы результирующий шум не зависел от конкретной плотности. Хотя это и представляется идеальным, постижение такой независимости может оказаться невозможным. Однако мы хотим компромисса и будем пытаться установить возможную независимость среди большого числа входных дисперсий и плотностей.
Пример квантующего устройства, которое показывает отношение БХК, независимое от функции плотности вероятности входного сигнала, можно представить с помощью рис. 2.18. На этом рисунке можно наблюдать значительное отличие в отношениях ХБК для входных сигналов с различными амплитудами, квантованных с помощью равномерного квантуюшего устройства. Для сравнения можно видеть, что неравномерное устройство квантования допускает только большие ошибки для больших сигналов.
Преимушество такого подхода понятно интуитивно, Если БХК должно быть независимо от распределения амплитуды, шум квантования должен быть пропорционален входному уровню. В формуле (13.25) представлена дисперсия шума квантуюшего устройства для произвольной функции плотности вероятности и произвольной характеристики компрессора.
Дисперсия сигнала для любой функции плотности вероятности равна следующему: (13.27) Для определенной функции плотности вероятности может быть найдена характери- стика компрессора С(х), которая минимизирует а . Оптимальный закон сжатия для данной функции плотности вероятности выражается следующим образом 181: При отсутствии насыщения Бо(К квантующего устройства имеет следующий вид: к ~х р(х)ИХ (13.28) 2 к „ (д~Л2) <(р(х)/С~(х))5(х Чтобы БЫК не зависело от конкретной плотности, необходимо, чтобы числитель был масштабированной версией знаменателя.
Это требование равносильно следующему: г [С(х)] = ( — ) (13.29) с К С(х) = —. х (13.30) Отсюда с помощью интегрирования находим следующее: С(х) = < — к(2 о (13.31) или (13.32) С(х) = 1п х + солзь (13.33) Вид сжатия, предложенный логарифмической функцией, изображен на рис. 13.14, а. Сложность, связанная с этой функцией, состоит в том, что она не отображает отрицательные входные сигналы.
Отрицательные сигналы учитываются путем добавления отраженной версии логарифма на отрицательную полуось. Зта модификация изображается на рис. 13.14 и влечет за собой следующее: — = 1п< — 15яв(х), у (Ц'( у „х (13.34) где +1 для х>0 5ЯПХ = — 1 для к<0 Этот результат является интуитивно привлекательным. Яогари((сяический компрессор допускает лостояллое БЫК на выходе, поскольку с использованием логарифмической шкалы одинаковые расстояния (или ошибки) являются в действительности одинаковыми отношениями, а это и требуется для того, чтобы БЫК оставалось фиксированным в области входного сигнала.
Константа в равенстве (13.32) нужна для согласования граничных условий по х и у . Учитывая эти граничные условия, получим логарифмический преобразователь следующего вида: а) м([х)) б) в) Рис. 13. 14. Логарифмическое слсатие: а) прототип лога- рифмической функции для закона слсавия) 6) прототип функции )п[х[ зап х дея закона слсавия; в) функция 1п[х[ зап х с плавя им переходом мелсду сегментами !и[1+)г([х[)х з)] у = С(х) = у 58пх. 1п(1+ р) (13.35) Приблизительное поведение этого компрессора в областях, соответствующих малым и большим значениям аргумента, является следующим: для )г — «1 [х[ Халк для )г — »1 [[ )г([х[(х „) 1п()г) )п[)з([ Ух „)3 1п()г) (13.3б) у=С(х) = Параметр )) в компандере, использующем )с-закон, обычно устанавливался равным 100 для 7-битового преобразователя. Позже он изменился до 255 для 8-битового преобразователя.
В настоящее время стандартным североамериканским конвертером является 8-битовый АЦП с р = 255. 847 Еще одна возникающая в этой ситуации сложность состоит в том, что сжатие, описанное равенством (13.34), не является непрерывным в начале координат; в действительности оно не имеет смысла в начале координат. Необходимо выполнить плавное соединение между логарифмической функцией и линейным отрезком, проходящим через начало координат. Существует две стандартные функции сжатия, выполняющие это соединение, — р-закон компандера и А-закон компандера.
Комнандер, исиользути(ий)л-закон. Компандер, использующий )з-закон, введенный компанией Ве!1 Буыещ для использования в Северной Америке, имеет следующий вид: !и[1+ )г([х[/х „)) !п (1+ )г) (13.37) Затем производная равна следующему: у = С(х) = у 1 р(1/х „) "!и(1+!г) 1+)г([х[/х „) (13,38) Для значений входной переменной, для которых )г(х/х ) является большим в сравнении с единицей, производная переходит в след!тощее выражение: у = С(х) 1 Уаа» х 1п()г) (13,39) Подставляя 1/ С(х) в формулу (13.28), получаем следующее: гг2 1 ггт (Оз/12)[1п()г)/у )т (13.40) (13.41) Отношение 2У»/а приблизительно равно числу уровней квантования (2») для Ь- битового сжимающего устройства квантования. Для 8-битового преобразователя с р = 255 имеем следующее: Г 2 ЗХК = 3~ = 3(46,166) = 38,1дБ .
[ !п(255)[ (13.42) Для сравнения на рис. 13,!5 представлено отношение ЗХК АЦП, использующего р-шкон. Здесь ЗХК изображено для входных синусоид различной амплитуды. Там же июбражен уровень 38,! дБ, вычисленный в формуле 13.42, и ЗХК для линейного квапуюшего устройства с той же областью входных амплитуд. Как н предсказывалось, квазпуюшее устройство, использующее рзакон, поддерживает постоянное ЗХК для значительного диапюона входных уровней. Зубчатость кривой производительности (гранулярносгь квантующего ус~ройства) вызвана логарифмической функцией сжатия.
Реальные преобразователи, помимо этого, показывают доцолннтельную зубчатость вследствие кусочно-линейной аппроксимации непрерывной кривой р-закона. На рис. !Зйб представлено дискретное преобраювание Фурье пары ююдных синусоид относительных амплитуд 1,0 (О дБ) и 0,0! (-40 дБ). Входной сигнал квантуется с помощью !О-битовом преобразоввгеля, использующего !г-закон 0» 500), н на рис.
13.16, ~в уровни сигнала ослабляются на 1,20 и 40 дБ относительно полномасштабного ахала. Отметим, что уровни шума квантования для полномасшшбного сипила на рис. 1346, а выше, чем у равномерного АЦП (-72 дБ против -83 дБ, как видно из рис. 13.7). Для ослабленных сигналов отмечаем улучшенное отношение БХК догарифмнчески сжимающего АЦП по сравнению с равномерным АЦП. Вилно, что поскольку уровни входного сигнала уменьшились, шум квантования также снизился, и при ослаблении в 40 дБ уровень шума упал до -! 08 дБ. Таким образом, логарнфмически сжимающие АЦП не имеют проблемы "видения" входного сигнала низкого уровня даже прн ослаблении на 40 дБ, Глава 1 3 Копиоовянии источники Пример 13.6.
Среднее ВХК для компрессора, использующего )г-закон Среднее ЗХК для компрессора, использующего ц-закон, можно оценить, подставляя выражение для в-закона в формулу (13.28). Для положительных значений входной переменной х закон сжатия имеет следующий вид: как на ряс. ) 3.)6, е, в то время как тот жс сягпат теряется среди шума равномерного преобразователя, как показано на ряс. 13.7, е, БМ й для 8-битового линейного АЦП [р = 255) 40 л 30 М о 20 10 ОΠ— О -60 -60 -40 -30 -20 -10 0 Уровень входного сигнала [дБ) Рис. 13.15. Предскоэанное и измеренное оглноюение ЯЛИ г)гл АЦП, использующего р-закон 1О-битовоа квантование о добавлением псевдослучайного шума [И 600), поглощение0 дБ -100 -120 0 0,06 0,1 0,16 0,2 0,26 0,3 0,36 0,4 0,45 0,6 Нормированная частота е) Рис.
13.1б. Снекглр мощносгли сигналов АЦП, использующею Эг-закон ало 10-битовое квантование с добавлением псевдослучайного шума (р = 500), попющение 20 дБ — -20 а о Е е -80 е 6 о. Е -80 -100 -120 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 О,З 0,85 0,4 0,45 0,5 Нормированнаячастота б) 10-битовое квантование с добавлением псевдослумйного шума (р = 500), поглощение -40 дБ и е к-бО Е Е -80 ш о х -!00 -120 0 0,05 О,! 0,15 0,2 0,25 О,З 0.35 0,4 0,45 0,5 Нормированная частота в) Рис. 13.15.
Снеюнр мощности сигнала а АЦП, иснользующего уз-закон (окончание) 850 Реальная характеристика компрессора, используюшего )а-закон, описана формулой (13.35). Как показано на рис. 13.17, 16 сегментов линейных хорд аппроксимируют функциональное выражение на 256 возможных выходных уровнях. Восемь из этих сегментов расположены в первом квадранте, восемь — в третьем квадранте и сегмент "Он имеет один и тот же наклон в обоих квздрантах. Вдоль каждого сегмента хорды квантование является равномерным по четырем битам преобразования низшего порядка. Таким образом, 8-битовый сжимающий формат преобразования имеет слсдуюший вид: к нод Рис. 13.17. Семибитовое снсатое квантование длн 1б-сеенентной аппроксимации 14-закона ЬзЬзЬ!Ьо ненененне е сегменте ЬоЬзЬ4 сегмент Ь7 бнт знака Он представляет собой кусочную аппроксимацию хордами до плавной функции и ступенчатую аппроксимацию каждой хорды, учитываюшую дополнительную зубчатость в кривой 8)з(К, которая представлена на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
