Скляр Б. Цифровая связь (2003) (1151859), страница 192
Текст из файла (страница 192)
Ошибки, которые происходят в этом интервале, называются ошибками насыщения (ш(пга()оп епог) или перегрузки (очаг!оа(( епог). Когда квантуюшее устройство работает в этой области, говорят, что преобразователь насыщен. Ошибки насыщения больше, 83! зя Р Кяяптпяяяиа ямппиччпн а(к) р(к) к о а -а 2 а! 6) к о Рис. 1З.б. Функции ялотности веронтности длв ошибки квантования, равномерно раснределенной в интервале квантили, Ф а) функция ялотности вероятности для окруеаяющеео преобразователя; б) функция ялотности вероятности для усекающего нреобразователя Это число уровней равномерно распределено в динамической области возможных входных уровней.
Обычно зтот интервал определяется как зЕ„, подобно +1,0 В или +5,0В. Таким образом, для полного интервала 2Е величину шага преобразования получим в следующем виде: 2Е Я=в (13.11) В качестве примера использования равенсша (13.11) шаг квантования (в дальнейшем называемый квантилью) для 10-битового преобразователя, работающего в области +1,ОУ, равен 1,953 мВ. Иногда рабочая область преобразователя изменяется так, что квантиль является "целым" числом. Например, изменение рабочей области преобразователя до +1,024 В приводит к шагу квантования, равному 2,0 мВ.
Полезным параметром равномерного квантуюшего устройства является его выходная дисперсия. Если предположить, что ошибка квантования равномерно распределена в отдельном интервале ширины ц, дисперсия квантуюшего устройства (которая представляет собой шум квантуюшего устройства или мощность ошибки) для ошибки с нулевым средним находится следующим образом: вп я/2 и = г) е р(е)с)е= г) е — с)ет —, г Г г Г 21 й 12' -е)г -е(2 (13.12) 832 чем гранулированные ошибки, и могут оказывать большее нежелательное влияние на точность воспроизведения информации. Ошибка квшпования, соответствующая каждому значению входной амплитуды, представляет слагаемое ошибки или шума, связанное с данной входной амплитудой. Если интервал квантования мал в сравнении с динамической обласп*ю входного сигнала и входной сигнал имеет гладкую функцию плотности вероятности в икгервале квантования, можно предположить, что ошибки квантования равномерно распределены в атом интервале, как изображено на рис.
13.6. Функция плотности вероятности с нулевым средним соответствует округляющему квантующему устройству, в то время как функция плотности вероятности со средним -()/2 соотвектвует усекаюшему квантуюшему устройству. Квантуюшее устройство, или аналого-цифровой преобразователь (апа!оя-го-()!я!(а! сопиепег — А(зС, АПП), определяется числом, размером и расположением своих уровней квантования (или границами шагов и соответствующими размерами шагов). В равномерном квантующем устройстве размеры шагов равны и расположены на одинаковом расстоянии.
Число уровней Л) обычно является степенью 2 в)ща )У= 2", где Ь вЂ” число бит, используемых в процессе преобразования. где р(е) = 1Л) в интервале д — это функция плотности вероятности (ргоЬаЬ!!йу бепз!1у бшс1!оп — рЩ ошибки квантования е. Таким образом, среднеквадратическое значение шума квантования в интервале квантили ширины д равно дч12 или 0,294. Уравнение (13.12) определяет мощность шума квантования в интервале размером в одну квантиль в предположении, что ошибки равновероятны в пределах интервала квантования.
Если включить в рассмотрение работу в интервале насышения квантуюшего устройства или рассмотреть неравномерные устройства квантования, то получим, что интервалы квантования не имеют равной ширины внугри области изменения входной переменной и плотность амплитуды не является равномерной внугри интервала квантования. Можно вычислить эту зависяшую от амплитуды энергию ошибки п~з, усредняя квадраты ошибок по амплитуде переменной, взвешенной вероятностью этой амплитуды.
Это можно выразить следующим образом: п~ ~=Е(()(-я(х)]з) = ~ез(х)р(х)ах, (13Л3) п~~ = 2 ~е (х) р(х)пх = о Е =2 ~е (х)р(х)Их+2 ~е (х)р(х)ах= о Е 2 2 пыл +пзм (13.14,а) (13.14,6) Здесь п„,з — мощность ошибки в линейной области, а пэмз — мошность ошибки в области насыщения. Мошность ошибки пы„может быть далее разделена на подын- 3 тервалы, соответствующие последовательным дискретным входным уровням квантуюшего устройства (т.е.
квантилям), Если предположить, что существует )У таких уровней квантили, интеграл преврашается в следующую сумму: ла-г" пы а=2 ~ ~е~(х)р(х)ах, и=а (13,15) тле х„— уровень квантуюшего устройства, а интервал или шаг между двумя такими уровнями называется интервалом хваитили (оиапгйе!пгегта!). напомним, что )У, как пра- ! 3.2. Квантование амплитчпы где х — входная переменная, я(х) — ее квантованная версия, е(х) = х — )(х) — ошибка, а р(х) — функция плотности вероятности амплитуды х. Интервал интегрирования в формуле (13.13) можно разделить на два основных интервала: один отвечает за ошибки в ступенчатой или линейной области квантуюшего устройства, а второй — за ошибки в области насышения.
Определим амплитуду насыщения квантуюшего устройства как Е . Предположим также, что передаточная функция квантуюшего устройства есть четно-симметричной и такой же является функция плотности вероятности для входного сигнала Мошность ошибки п~~, определенная равенством (13.13), является полной мошностью ошибки, которая может быть разделена следуюшим образом: вило, является степенью 2. Таким образом, существует ЛЧ2- 1 положительных уровней, Л112 — 1 отрицательных уровней и нулевой уровень — всего Х-1 уровень и Лг- 2 интер- вала.
Теперь, сели аппроксимировать плотность на каждом интервале квантили констан- тами 1)„= (х„„1 — х„), выражение (13.15) упростится до следующего вида: л=л 1„12 -Л оы =2 ч) Р(х„) = -Ч,,„ (13.16) М! 2-1 =2 ~ — "р(хл>Чл л=е 13.2.2.
Равномерное квантование Если устройство квантования имеет равномерно расположенные квантнли, равные я, и все интервалы равновероятны, выражение (13.16) упрощается далее. Х12-1 Л12-1 2 12 ~ '7" "'" '7" 12 ~ ') (Лг-г)) 12 л=е л=е (13.17) Если квантуюшее устройство работает не в области насыщения (мощности шума квантования), тогда о =о„,, и зти величины часто используются как взаимозаменяемыс. От- 2 2 метим, что мощность шума сама по себе не будет полно описывать поведение шума устройства квантования.
Более полной мерой качества является отношение второго центрального момента (дисперсии) шума квантования к входному сигналу. Если предположить, что входной сигнал имеет нулевое среднее, дисперсия сигнала равна о„= ~х р(х)Их. (13.18) Дальнейшее изучение среднего шума квантуюшего устройства требует конкретизации функции плотности и устройства. Пример 13.4. Равномерное кваятуюшее устройепю Определим дисперсию устройства квантования и отношение мощности шума к мощности сигнала (по)ОЕ-го-зала) речет ШВΠ— )ЧВХ) лля раВНОМерНО раепргделенного в полной динамичеекой Области сигнала, созданного устройством квантования с 2' расположенными на одинаковых расстояниях уровнями хваитили.
В этом случае шума насыщения не существует и должна быть вычислена только величина линейного шума. Каждый интервал квантили ранен Глава 13. Кодирование источника где е(х) в равенстве (13.15) было заменено х из (13.16), поскольку е(х) — линейная функция от х, имеющая единичный наклон и проходящая через нуль в центре каждого интервала. Кроме того, пределы интегрирования в равенстве (13.15) были заменены в соответствии с изменениями х внутри интервала квантили. Поскольку область изменения была обозначена через 17„, нижний и верхний пределы могут быть обозначены как х= — 17„/2 и х= +д„/2. Равенство (13.16) описывает мощность ошибки в линейной области в виде суммы мощности ошибки д„Л2 в каждом интервале квантили, взвешенной вероятностью р(х„)1)„этой энергии ошибки. д = (2Е )2~.
(13.19) Здесь 2Е, — эго входной янтервал между положлтельной н отрнцательной граннцамн лн- нейной области квантования. Решеаие Подставляя выраженяе (13.19) в формулу (13.12) ялн (13.17), получим следующую мощность шума квантования (в лннейной области): а = — (2Е 2 )" = — (2Е ) 2 2 -ь з -зь ч 12 "х 12 (13.20) Мощность входного сигнала находится путем янтегряровання выражения (13.! 3) для равно- мерной плотности вероятности в интервале длины 2Е, с центром в точке О, так что р(х) = 1/(2Е,), н лнсперсия снгнала находится следующим образом: ьŠ— ххах= — (2Е „) . 2Е „12 (13.21) Рассматривая отношение мощности шума к мощности сигнала ОЧБК), получим следующее: з МБК= — =2 оч -зь з о" (13.22) Теперь, переводя 14БК а децибелы, получлм следующее: ХБК ь = 10 1Б(ХБК) = 10 1Б(2™) = (13.23,а) (1323,6) = -20ЫБ(2) = -6,02ЫдБ). Выражение (13.23, б) свидетельствует о том„что за каждмй бит, который используется в процессе преобразоаання, мы платим -6,02 лБ отношения шума к сигналу.
Действнтельно, ХБК для любого равномерного квантующего устройства, не работающего в области насыще- нна, имеет следующий влд: МБК ь = -6,026 + С. (13.24) Здесь член С зависит от функции плотности вероятности сигнала (рговаЬ1111у делгйу йшс- Оол — рсН); он положителен лля функций плотнастл, являющихся узкими по отношению к уровню насыщения преобразователя. 13.2.2.1. Сигнал и шуы квантования в частотной области 13.2. Квантование амплитуды 835 До настоящего момента щум квантования обсуждался с точки зрения его влияния на выборку временного ряда, представляющую дискретный сигнал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
