Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 162
Текст из файла (страница 162)
(А.17) ПРИЛОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЬ ОШИБКИ ДЛЯ МНОГОКАНАЛЬНЫХ ДВОИЧНЫХ СИГНАЛОВ У2=~~! (А~Х»~ +В~У»~~ +СХ»У»" +С'Х„Г») (В 1) В многоканальных системах связи, которые используют двоичные сигналы для передачи информации по каналу с АБГШ, величины для решения у детектора можно выразить как частный случай общей квадратичной формы через комплексные гауссовские случайные переменные, А, В и С являются константами; Х, и У» — пара коррелированных гауссовских случайных величин.
Для рассматриваемых каналов В пар (Х„, У»)- статистически взаимно независимы и одинаково распределены. Вероятность ошибки определяется вероятностью того, что П < О. Эта вероятность вычисляется ниже. Вычисления начинаются с характеристической функции, обозначаемое»р (уо), общей квадратичной формы. Вероятность того, что 2) < О, обозначаемое здесь как вероятность ошибки Р,, равна Р, =Р(О <0)=) р(О)б»Р, (В,2) где р(»)) — ФПВ для 2) связанна с бр е (рз) преобразованием Фурье, то есть Р(о)= — ) Р.() ) Следовательно, о Рь =~ ьй) — ~ буоЬ'о)е ьЯбдо. (В.З) Переменим порядок интегрирования и сначала выполним интегрирование по») .
В результате получаем -" л (г) (В.4) 2пь' - +б о где малое положительное число 6 введено для того, что сдвинуть путь интегрировании от точки сннгулярностн о = О . Оио должно быть положительным для того, чтобы было возможным менять порядок интегрирования.
Поскольку 0 является суммой статистически независимых случайных переменных характеристическая функция 2) определяется произведением В характеристических функций, причем каждая функцня соответствует индивидуальным случайным переменным ь(», где („= А~х,!'+ ВЦ'+ сх,у„' + с*х„'у,. Характеристическая функция Ы» равна 2 обо! обо! ии у~и!» (В.5) ( +l !Х 1 2) ( 1 !Х 2 2) где параметры о„о,, и„и и„зависят от средних Х, н У» и вторых (центральных) моментов р, р.„, и , 2 р „комплексных гауссовских величин Х, и У» через следующее определение ~С~ — АВ > 0); — ьг о 2 — а =2!С~ — ~ВЦХ / б /Г/ б -Х ! б, — ХУ б' ) ббб) 4~р )ь -~)ь ~ )ь(С~ -АВ) „=,б/х / в/! 1 ~бьГ +с'.б б: б.
-фь((б, -.!я!,-! Ц Теперь, как результат независимости случайных величин бб», характеристическая функция 22 равна Л 2 ~боЫ=ДЧу,Ь), Ч еЬ)=, е р~ ~ 1 (о+)о!)'( -уо!)' ~ (о+уо Х -уо,) ~' (В.7) где и, =~и!», а, = ~ь а,„. »=! ь=! Результат (В.7) подставляется для б(б„()о) в (В.4) н мы получаем Рь = ех 2 у 3-- ( +/,)'( -),)' Ч ( +),Х вЂ”,) (В.8) (В. 9) Этот интеграл вычисляется следующим образом. 764 4 Первый шаг сводится к выражению экспоненциальной функции в виде УА2 )А1 ехр -А +— 1 О+ УО/ О - УО, причем, можно легко проверить, что константы А„А, и Аг определяются так; о о ОО А, =и/о/ог( А, = — 2-2-(/х/о/+(22) А, = — ~"-(а!Ог-аг) (В. 10) О!+ 2 О!+О2 На втором шаге выполняется конформиое преобразование из о-шюскости в р-плоскость посредством преобразования переменной о о-у'о Р= ого+ уо! В р -плоскости интеграл (В.9) приводится к выражению (В.11) ')) У(р)УР, (ВА2) (1+ о, (о, )2 где (/+(,/,Д1/~)"" (~$ ( Д рг(р(,)11 р+рг р (-.) ~,",,", р] а Г- круговой контур радиуса меньше единицы включает начало координат.
Третий шаг сводится к вычислению интеграла (р( /,) 2,(,/ )11 Для того, что облегчнп последующие выкладки, вводятся константы а > О и Ь > О Аг(ог(О!2 х 2 Аког/оД 2 1 2 1 2 2 Выразим также функцию (1+(ог 1'о/)р) как биномиальный ряд. В результате получаем (В.13) (В.14) (В.15) ' 1 /(р)/р-у( )(~) ' ),р . р +(1'р(рр (В.16) Контурный интеграл в (В.16) является одним из представлений функции Бесселя.
Его можно разрешить. используя соотюшение ур(иЬ) = где 2„(х)-модифицированная функции Бесселя п-го порядка первого рода. представление О-функции Маркума в ряд функций Бесселя имеет вид а(.1)= р(-)( ' 1'1+Б(-') /.(1). гО 1 Рассмотрим сначала случай 0 ь /сьев-2 в (В.16). В этом случае результирующий контурный интеграл можно записать в форме Этот контурный интеграл связан с обобщенной функцией Маркума, определяемой так; 0„,(а,Ь)=] х(х/а)"' 'ехр~-~;(х'+а')]1 ((ах)а)х, т>1, или г 0.,(р,р)р рг(р'р~')(= — 1 „е*р Р—./,Б'р~/р. 2.1 ' Р (1-р) г (В.19) Поскольку о„о,, и! и аг определяютсл (В.6) и (В.8) непосредственно через моменты пар Х„и 1'! наша задача завершена. Ф 1 (' 1 Гг,г' !а! — Г „ехр г — +Яр йр=Я(а,Ь)ехрЦа'+Ь')г)г+ ~~1 ~ — ~ 1„(аЬ). (В,17) Далее, рассмотрим слагаемое Ь = Š— 1.
Результирующий контурный интеграл может быть выражен через Д-функцию так: (г —, г[ ' +гь'р)гр=о[,ьь ![![' ° !'[]. (В.18) 2л1'зг р(1-р) Р[ р Наконеп, рассмотрим случай Е ь Ь ь 2Е -1. Имеем 2фзг1-р ~ р ~ 2л1' г [ р ь-ь ~ — ~ 1„(аЬ)=Яа,Ь)ахрра'+Ь'1111- ) 1„(аЬ) и!ь л=О Собирая слагаемые, указанные в первой части (В.16), и используя результаты, даваемые (ВЛ7)-(В.19), получаем после некопгрых преобразований следующее выражение для контурного интеграла ггь"1 — [ л![гр+ ) [.
р[г[,'+!')г[,,ь[-ю,(![[+!,[.ьц' "'"" Г' '6%-')'-[-'Л-'Г "1 Уравнение (В,20) в соединении с (В.12) дает результат для вероятности ошибки. Следует дальнейшее упрощение, если использовать следующее тождество, которое можно легко доказать о о ! !1[ 1 1 г Л е р — г-г — +2гг о о -гг о -гг о ) = р(1- -га +Ь )11. ~( гг1ггг!!гг)~ о!+о!) Таким образом, следует, что Р =Я(а,Ь)-1,(аЬ)ехР~- 'г '1а +Ьг )+ (В,21) .г.г,( ь['2'[' 'ЯЯ'[' ) -[-')'[~) ~ [! !! Р = Я(а,Ь)-~1,(аЬ)ехр(- г (а'+Ь'11 (Е = 1). г! ! Это и есть искомое выражение для вероятности ошибки.
Теперь несложно связать параметры а и Ь с моментами пары (Х„У, ) . Подставив выражения для А, и А, из (В.10) в (В.15), получаем 3/г г/г гЪ[ -Д г (о, +о,) (о, +о,) 766 ВЕРОЯТНОСТИ ОШИБКИ ДЛЯ АДАПТИВНОГО ПРИЕМА М-ФАЗНЫХ СИГНАЛОВ В этом приложении мы определим вероятности ошибки для двух- и четырехфазовых сигналов при передачи по неизменному во времени каналу с аддиивным белым гауссовским шумом при Т,-кратном разнесении и для М-фазовых сигналов по каналу с релеевскими замираниями и адаптивным белым гауссовским шумом с Т.-кратным разнесением.
Оба канала искажают передаваемые сигналы путем введения адаптивного белого гауссовского шума и слу ийного мультипликативного ослабления и фазового сдвига в сигнале. Обработка сигнала в приймнике состоит из нахождения взаимной корреляции сигнала в смеси с шумом, принимаемого в каждой ветви разнесения, с опорным сигналом, получаемым или от предыдущего принятого информационного сигнала, или от пилат-сигнала, и суммирования выходов всех У. каналов разнесения для формирования величины для решения. С.1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ СИСТЕМЫ СВЯЗИ С М-ФАЗОВЫМ СИГНАЛОМ В общем случае М-фазовой модуляции передаваемый сигнал имеет вид'.
ь„(г) = Ке[кы (г)е~'~" ], где яы(г)=й(г)ехр /™(п-1), п=1,2,...,М, О~г~Т, а Т вЂ” длительность сигнального интервала. Рассмотрим случай, когда на протяжении сигнального интервала передается один из М сигналов по каналам. Предположим, гго в каждом из каналов передаваемый сигнал искажается введением мультипликативного ослабления и фазового сдвига, представленных комплексным множителем я, и адаптивным шумом я„(г) . Так, если передаваемый сигнал «ь, (г), то принимаемый сигнал в й -и канале т„(г) = йгяь Я+ тЯ~, О < г ь Т, й = 1,2,...,Т..
1С2) Шум (г,(Г)) считается реализацией стационарного белого гауссовского случайного процесса с нулевым средним и автокорреляционной функцией ф, (т) = %об(т), где У, — спектральная плотность мощности шума .. В демодуляторе г,„(1) пропускается через фильтр, импульсная характеристика которого согласована с сигналом д(г) . Выход этого фильтра в момент стробироваиия г = Т обозначаем так: Х» =2Вцьелр у' — (п-1) +Л~~, 2п (СЗ) где Ж-энергия переданного сигнала, а Ф,— отсчет шума на выходе в /с-го фильтра.
Для того, чтобы демодулятор мог решить, какая из М фаз передана по каналу на сигнальном интервале О ~ г < Т, следует попытаться убрать фазовый сдвиг, введенный в каждом канале. На практике зто осуществляется путем умножения выхода фильтра Х, на комплексно сопряженную величину опенки я канального ослабления и фазового сдвига. Результатом являетса взвешенный и сдвинутый по фазе выходной отсчет фильтра в 1г-и канале, который затем суммируется со взвешенным н сдвинутым по фазе выходными отсчетами остальных й -1 канальных фильтров. 1 Повсюду используется комплексное представление вещественных сигналов.
Комцлексное сопряжение отмечена звездочкой. 767 1С.5) л! Как указывалось, демодулятор образует произведение между я! и Хь и суммирует его с аналогичными произведениями остальных Л -1 каналов. В результате получаются случайные величины е = ~ Х„ф!" = ~ Х, У," = е„+ 1е!, 1С.6) й=! !=! где, по определению, У, =я„, г„=Во(з), г, = 1ш(г). Фаза г являетсявеличинойдлярещения. Она равна !=~
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
