Кловский Д.Д. Теория электрической связи. Сборник задач и упражнений (1990) (1151854), страница 7
Текст из файла (страница 7)
его можно найти как результат сложения сумм по модулю 2 одноименных разрядов. Геоиетрические представления справедливы и для случайных процессов с ~ой разницей, что их координаты в соответствующих пространствах следует ~читать случайными числами, а сходимость сумм н интегралов понимается в среднем. (2.53) Задачи 2.т'.1. Финитный сигнал длительности Т со спектром, ограниченным полосой г, представляется усеченным рядом Фурье з(1)= 2; )<2а„еозй — 1+~/20аз!пй — г а=! Т 2 — 53 ча аии иавыыаютая ортогональными в усиленном <ои смысле.
Двоичные сигналы (ортогональные в уси- (ооо леныам смысле) являются двумерными (а 2) . I l / ! Оыи изображаются двумя артогональными век/ ) ! ! торами на плаекоств. Наиболее расцространеыными многопозициониыми сигналами являются(огг) — — — (ггг) Ого) ортогональные, биортогаыальные и снмплексные. Биортогональные сигналы — совокупность сиг- / палов, содержащая артогональные сигналы и ! сигналы, противоположные им. Симплексные снгпалы характеризуются одинаковыми расстояния- — — — (ну) ' (010) ми между собой. В н-мерном пространстве они образуют правильный симплекс, числа вершин Рис.
2.2. Представление 3- которого М=л+1. разрядных двоичных снгГеометрическими представлениями можно палов в тРехмеРном про' странстве пользоваться я в том случае, когда сигналы дискретны по уровням. Такие сигналы можно описать л-мерным вектором х= (ль ..,, л,), особенностью которого является то, что все его координаты могут принимать лишь дискретные значеаия, которые обозначают О, 1, 2,...,т — 1 (т — число дискретных состояний элемента сигнала).
На рис. 2.2 в трехмерном пространстве показаны восемь векторов, соответствующих 3-разрядным двоичным комбинациям 000, 001,...,110,!11. Операция сложения элементов дискретного пространства вводится таким образом, чтобы в итоге получились элементы, допустимые в данном пространстве. Для этого вводится операция сложения по модулю т. Например, прн т=2 правила суммирования Вариант ! 12 19 3 8 4 9 2 9 8 6 5 2 2 8 9 3 6 4 ! 5 3 8 8 7 5 1 6 8 а, аз аа аа а, ь, ь, Ьз Ьа Ьз Таблица 27 7 ! 5 7 9 Вариант ! 6 7 6 7 5 9 1О 8 1 10 6 1О 1 2 2 9 1О 4 !О 2 1О 7 5 1О 5 7 10 6 5 12 19 з 9 Вариант 7 6 7 1О 7 а! а, ь ь Ьа 35 причем 1,=гТ.
Найти норму вектора, представляющего сигнал в 21.-мерном пространстве Эвклида. Дать физическое толкование нормы этого вектора. 2.4.2. По условию задачи 2.4.1 найти норму вектора, представляющего сигнал з(1) в 2(.-мерном пространстве Эвклида для вариантов числовых значений, заданных в табл. 2.5. Таблица 25 2.4.3. Два ортогональных сигнала з1(1) и зз(1), имеющих одинаковые полосы частот Т и длительности Т, днскретнзироваиы по Котельникову. Написать выражение для координат суммарного сигнала в пространстве Эвклида. Найти норму суммарного сигнала и выразить се через нормы исходных сигналов в общем случае н в случае равных норм исходных сигналов.
Определить расстояние между сигналами. 2.4.4. Два сигнала, заданных на интервале Т, описываются выражениями з, (1) = к'2а, соз — 1+1'2 Ь, з(п — '1+ р'2 а, соз3— Т 2а — . 221 — . 2а и (1) = ~/2 а, соз — 1+ )72 Ь, з(п 2 — 1+ и' 2 Ьз з(п 3 — 1. т Определить координаты этих сигналов в пятимерном пространстве Эвклида и вычислить скалярное произведение.
Найти расстояние между сигналами зз(1) и зт(1). 2.4.5. Решить задачу 2.4.4 для вариантов числовых значений, заданных в табл. 2.6. Таблица 26 2.4Х В некоторой системе связи для передачи информац и и . пользуются сигналы з, (1) = и соз (ь +ф+21~2) (12 1 — ~~~~~ чисзш) имеющ казать, что данная система сигналов является ортогональной в усиленном смысле. Найти расстояние между сигналами з1(1) и зз(1) в пространстве Гильберта.
2.4.7. Найт и расстоякие в пространстве Гильберта между сигналами з,(1) =асов(йз91+ф), зз(1) =Ьсоз(1911+ф+зт/2) для вариантов числовых значений, приведенных в табл. 2.7. 4 Ф~у!рье ь , задан рядом (1) = и, соз —" 1+ а, соз 2 — '1+ а, соз 3 + Ь, з(п 2 —" -ь Ь, ззп 3 2" 1 т т вычисленная по этим норма сзргнала, по этим ~~рдинатам, .равна норме , „ !ильберта, е 2.4.9. Показать, чт о а системе связи с широкополосными сигналами, имеющими длительность Т=20 мс н занимающим!и полосу частот Р=10 кГц, можно создать: а) о!ртогональную систему, содержащую 400,реализаций; б) биортогональную систему — 800 реализаций; ций.
в) ортогональную в усиленном смысле систем — 200 у — реализа- 2.4.10. Оп е слить р д ть,скаляриое произведение сириалоз! и, (1) = =а, соз Оз!1 и зз(1) =азсоз 9121, заданных на интервале Т, прн условии Оз!+ О!2 >> цт! — Отз =!бзз. Найти нормы сигналов 3!(1) и зз(1). 2.4.11. Решить за ач заданных в табл. 2.8. д у 2.4.10 для вариантов числовых значе ий, еви , 2.4 12. Показать, что а р сстоялие между тремя произвольными сигналами з1 (1), зз(1) и зз (1), имеюзцими длителвность Т удовлетворяют условию 11(зь зз) ~(11!(зз зз) +!2(з1, зз) ° 2' Тз блица 28 |о Вариант 10 4 8 3 9 3 3 21 2 !9 3 55 3,31 2,17 3,49 80 100 Ю 7 9 6,58 6,6! 20 1 10 8,24 8,37 70 8 2 6 10 5 3 6,23 1,78 1,83 6,!5 1,79 1,75 90 40 80 9 5 5,85 5,95 50 !О 5 4,94 4,87 40 а,, ыВ аз, ыВ юз !О-н, с-х ю,.10 — з, с — | Т, ыс 2.4.13.
На вход приемника поступают сигналы (з,(/)), заданные ыа интервале (О, Т) в виде 3, (!) = й соз |р и| (1) + й ып |р и; (1), |' = 1, М, где й —,произвольный коэффициент передачи; |р — фазовый сдвиг в |канале. Какими должны быть сигналы на передаче (и,(/)), чтобы снпналы (з|(1)) были ортогональиымн? 2.4./4. По базисным функциям су,(!) = \~2Е/Тсозюг! и <рг(!) = = — Ч~ 2Е/Тз(паз/ составить выражения сигналов биортогонального ансамбля при М=4. Изобразить полученные сигналы в виде точек на плоскости. Найти расстояния между сигналами. 2.4.15.
Заданы сигналы амплитудно-фазовой модуляции (АФМ- сигналы): 3 (!) =)72Е/Т сезон! з (!) =)72 Е/Т соз (ю !+2л/3) аз (!) )72 Е/Т соз (юю ! + 4 |т/3) зз (!) 0 Ряс 2 3 Дну| срный звсзчбль сяч плсксвых спгязлов 36 Изо|бразить ансамбль АФМ.сигналов в виде точек на плоскости и определить расстояния между сигналами. 2.4./6. На рис. 2.3 изображен двумерный ансамбль симплексных сигналов (М=п+1=3). Найти расстояния между сигналами аввамбля, полагая, что энергии всех сигнале~в одинаковы и равны Е. 2.4.17. По каналу связи передаются четыре 2-разрядные двоичные комбинации, причем символу 0 соответствует первичный сигнаал й, а символу 1 — сигнал — й. Положим, что когда поэлечсит- ный приемник не может с большой надежновг стью (из-за помех в канале) принять решение в пользу элементарного символа 1 нли О, он регистрирует знак «?» (стирание), кото+ рый фиксируется нулевым уровнем.
Изобра- зить пространство первичных сигналов на в, передаче и приеме. 2.4./8. Даны три 8-разрядные двоичные кодовые комбинации: Ь| —- 010!1001; Ьг— - 01000110; Ьз=10110010. Показать, что расстояния Ьз = 0010; Ьз=0011; Ьз =0101; Ьз= 0111; Ьз =1001; Ь|= 0001; Ьз=0100; Ьз= 1000; Ьз = 1011; Ьз =1110; Ьз=1100; Ьз = 1010. 2.5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА. ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА В технике связи очень часто возникает необходимость представить детерминированные и случзйяые функции яепрсрывного аргумента (пяпряыер, в сцепя яля частоты) совокупностью ях значений в дискретных точках (сечсняях).
Такое представление называют дискретизацией функций по зргуысяту. Очень часто дискретизацию осуществляют яз основе теоремы В. А, Котельпяновз, согласно которой функция з(1), спектральная плотность которой отличия от я ля только в полос нуля только в полосе частот ( — г, Р), полностью определяется свояыя зпзчсяяяыя, отсчитанными в дискретных точках через интервал (2.54) б/= 1/(2Р) язчсяяя функции з(|) в любой точке | выражаются формулой ып 2лР (| — УиМ) 2лГ (| — ййг) (2.55) где з(яд|) — отсчеты непрерывной функции з(|) в дяскретяые моменты г=йдб Строго говоря, фуякцяя с ограниченным спектром яе ограничена во в еыеяи (яеюяяятпз| в, и о ф ) в, наоборот, фяяитяая функция времени имеет неограниченный спектр.
Практический способ огрзпяченяя функции по спе спектру сводится к прс- по Хэммингу между заданными чгомбниациями удовлетворяют условию с( (Ь„Ь,) «(с( (Ь„Ь,) + с( (Ьз, Ьз) 2.4,/9. Решить задачу 2.4.18 для следующих вариантов 4-разрядных двоичных комбинаций: 1) Ьз 0000 Ьг — 1111 2) Ь| = 0001 Ьг = 1110 3) Ь|=00!О Ьг=1101 4) Ь|=0011 Ьг=1100 5) Ь| — — 0100 Ьг=1001 8) Ь| =0101 Ьг=1010 7) Ь|=0110 Ьг=1001 8) Ь| = 0111 Ьг = 1000 9) Ь|=1000 Ьг=0111 10) Ъ| — 1001 Ьг — 0110 11) Ь,=1010 Ь,=О!01 12) Ь|=1011 Ьг=0100 пусканию сигнала через фильтр нижних частот (или паласовой фильтр) Относительнзя погрешность такого усечення спектра 1оо м'ч ~ в — в~ г~яг нм о в случае детерминированной функции з(1) и (2. 56) (2.
57) Рнс 2 4 К пояснению воспроизведения процесса Х(1) путем формнровзния ступенчатой функции л б =- У р, [о (1) 81 о для случайного процесса, Полагая, что одновременно огрзничеи спектр сигнала полосой Г и его дли. тельность интервалом , мо о Т, жн воспользоватъся усеченным рядом Котельиикавв для приближенного представления сигнала: (258) В=Т(!х(+1=2гТ+1 — число отсчетов, приближенно В выражении ( ) = —, но описывающих фннитный сигнал з(1), или база сигнала.
ри считать, что (2 59) В=йгт, Ряды (255) и (258) могут быть исполшовзны и для представления случайных процессов В этом случае коэффициенты указанных рядов являются случайны сл чайными величинами. Если допустить, что воспроизведение процессв ( ) нз прием ется формированием ступенчатой функции У(1) (рис 2 4) с шагом Ьт (2.60) У Р) = )Г (11 — бг) 1 «( 1+ то, полагая, что речь идет о стзционзрном случайном процессе, интервал оп- д , можно найти средниЛ ределения которого превосходит шзг воспроизведения дг, можно (2. 61) Осуществляя простые вычисления, х() г(ю получаем относительную погрешность воспроизведения б,=еЦВ,(О)=2[! — Я,(бгЯ, (262) где Гс„(бг) — значение нормированной корреляционной функции процесса прл аргументе Ьг. Из (262) можно получить выражение для допустимой величины шага воспроизведения Ьг, исходя из заданной погрешности воспроизведения бгп Ьг=д '*(1 — О,ббз), (2.63) где зс-'„ — функция, обратная нормированной норреляционной функции процесса.
Задачи Таблица 29 Варвснт 1О 12 р, с-х бг, % 1О 8 2.5Х Найти базу сигнала, представляющего собой последовательность из а=15 элементарных прямоугольных двоичных импульсов длительностью т,=20 мс. 25.5. Решить задачу 2.5.4 для вариантов числовых значений, заданных в та~бл. 2.10. Таблица 210 Вариант 1О 11 12 в~и 71 5 28 8 80 !О 87 2 52 7 25 7 52 4 94 7 49 3 л т„, мс 2.5.5. Случайный процесс с корреляционной функцией В(т) = =В(0)езор( — а!т() дискретизнрован с шагом М. Найти погрешность представления талого прюцесса рядом Котельникова в зависимости от параметров а и Лй 2.5.1.
Определить относительную погрешность Ь„при представ- ЛЕНИИ СИГНаЛа З(() е а Е7ОР( — ()111) (КОЛОКОЛЬНЫЙ ИМПУЛЬС) РЯДОМ Котельникова, полагая, что полюса сигнала ограничивается в результате пропускания через идеальный фильтр нижних частот с полосой Р. Найти интервал дискретизации М, полагая, что 5= =20 с ' 67=10%.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
