Кловский Д.Д. Теория электрической связи. Сборник задач и упражнений (1990) (1151854), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Интегральная функция совместного распределения амплитуд флуктуационной помехи в двух сечениях 1, и !2 определяется выражением Ро (и„и; 1„, !2) =(1 — ехр ( — и1/и1 (!))) (1— — р( — и',!и,'(!))), и,~о,и,- о, Покажите, что Ро(оо, им !2) а 51(им !2) ' Рт(и1 оо !1) = =Р1(иь !1). Найдите совместную плотность вероятности помехи в двух сечениях. Покажите, что эти сечения независимы. 2.1.9. Совместная плотность вероятности мгновенных значений шума в двух сечениях !1 и !2=!а+т определяется гауссовским законом: ! ю (л1 па т) Х У (2 л)' оо (О о22 О) 1! — й' (тВ Х ехр !! л! (О л2 (О 2)?(т) л,(1) ла(1) — + 2[! — )(2(т)1 ( от (1) о2 (!) па(оп,(0 где )? (т) — нормированная корреляционная функция сечений; о'1(!), о'2(!) — соответственно дисперсии процесса в первом и втором сечениях. 22 ( .,—., а(а ' )' ~ 2ао [! — )(2(тЦ -[ оо (и [а1) = [г а ° Как модифицируется этот закон, если Я(т) =0 и !?(т) =ч-1? Учесть одно из определений б-функции: ! Г (х — а)а ! б(х — а)=1[ш ехр ~ —— оа о [/2лоа ! 2о" ) ' 2.1.12.
Полагая, что гауссовский процесс является марковским, написать совместную плотность вероятности трех сечений процесса. 2.1.13. Сечение дискретного случайного процесса при многоуровневой модуляции принимает пять значений: х,= — 2; хт — — 1; ха=о; ха — — 1; ха=2 с вероятностями Р(ха) =Р(хо) =0,1; Р(х,) = =Р(х,) =0,2; Р(ха) =0,4. Найти математическое ожидание и дисперсию сечения процесса. 2.1.14. Решить задачу 2.1.13 для распределений вероято1остей, приведенных в табл. 2,3.
2.!.15. Случайный узкополосный процесс определяется на интервале ( — Т)2, Т)2) выражением Х(1) =Х(!)созооо!+У(!)В[пото(, где Х(!), Г(1) — независимые стационарные гауссовские случайные процессы с параметрами т„то, о',, а'„, )(„(т) =Ьо(т) =Я(т); !о — средняя частота спектра; Г<(!о — граничная частота энергетического спектра процессов Х(!) и У(!). Найти математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию процесса Я(~). ).(Оказать, что процесс Я(!) стационарен лишь при т„=т„=о, о' =о' =о'. Х вЂ” р— 2.1.15. В условиях стационарности процесса Х(!) из задачи 2 1 15 найти параметры т„ат„)?,(т) усреднением по времени Таблица 2,3 12 1О Вариант 0,4 0,05 0,4 О,! 0,% 0,05 0,4 0,4 О,! О, 05 О,! О,! 0,5 0,2 О,! О,!3 О,! 0,17 0,3 0,)5 О,! 0,25 0,3 0,3 0,2 0,25 О, 25 О,! О,! 0,3 О,! 0,2 0,4 0,2 0,4 0,2 0,05 0,2 0,% 0,2 О,! О,! О,! О,! 0,6 0,35 0,2 0,25 О,! О,! О,!5 0,05 О, 25 0,25 0,3 О,! О,! 0,2 0,3 0,3 Ра Ра Р,! Р Р, Покажите, что в каждом сечении распределение гауссовское и при т=о случайный процесс независим в двух сечениях.
2.1.10. Напишите совместную плотность двух сечений процесса Х(!)=8(!)+Ж(!) (сигнал+ шум) при условии, что сигнал детерминирован, а шум имеет гауссовское распределение. 2.1,11. Покажите, что для гауссовского процесса (см. задачу 2,1.9) распределение и, при известном л, определяется гауссовским законом: х(г) и доказать, что они совпадают со значениями, полученными усредиением по ансамблю. 2.1.17. Найти корреляционную функцию случайного синхронного т гт лт г телеграфного сигнала, реализации которого имеют случайный от-лг равномерно распределенный лт сдвиг А( относительно начала координат (рис.
2.1), принимаюхронного телеграфного сигнала Шего В дискретные моменты времени, кратные 7, значения +/г с вероятностью 0,8 независимо от того, какое значение он имел на предыдущем участке. Определить интервал корреляции этого процесса. 2.1.18. Стационарный случайный сигнал имеет корреляционную функцию В(т)=В(0)ехр( — (1(т)), 8=!0-2 с-'. Найти интервал корреляции т„методом эквивалентного прямоугольника, а также определив его как аргумент т, при котором В(т) =0,1В(О).
2.1.19. Решить задачу 2.1.18 для числовых значений величин, заданных в табл. 2.4. Таблица 24 Вариант 12 2 1О 0,02 0,01 0,02 0,08 0,08 0,1 0,05 0,07 р, с-г 0,0! В ('г)/В (0) 0,01 0,08 О,!5 0,06 0,06 0,05 О,! 0,08 0,02 О,! 0,2 0,02 0,04 0,01 0,01 2.1.20. Неопределенный интеграл В'(() =) Л((1)Ж от стационарного процесса Лг(1) с равномерным энергетическим спектром (Вп(11, 12) = — б(12 — 11)) и нулевым математическим ожиданием л' 2 (Л/(1) =0) называется процессом Винера, Докажите, что этот процесс нестационарен и имеет математическое ожидание йт(() =О, корреляционную функцию Вн((ь 12) =Лгеш(и[41, 12)/2 и дисперсию о'и (11 ) = Л'о(1/2. 2.1,21.
Пользуясь тем, что корреляционная функция производной дифференцируемого (в среднеквадратическом) случайного даВ 01, (а) процесса Х(1) равна В (1,1) = " ', найти корреляционную д(г дга функцию производной винеровского йроцесса. 2.1.22. Стационарный случайный процесс имеет корреляционную функцию В(т) =В(0)ехр( — рата), р=10-2 с ', Найти интервал корреляции т, методом эквивалентного прямоугольника, определив его как аргумент т, при котором В(т) =0,1 В(0). 2.1.23. Решить задачу 2.1.22 для числовых значений, заданных в табл. 2.4. 24 2.1.24. Найти усредненную по времени корреляционную функо о цию АМ-сигнала илм(1) = ((/~+йлмХ(1))соа(во(+гро), если Х(1)— стационарный случайный процесс с корреляционной функцией В„(1).
2.1.23. Найти усредненную по времени корреляционную функо о о цию ОМ-сигнала иом(1) =Х(1)созво(+Х(()а!пво(, где Х(!) — соо о пряжение по Гильберту от Х(1); Х(() — стационарный случайный процесс с корреляционной функцией В (т). 2.1.26. Найти усредненную по времени корреляционную функ- О о цию ФМ-снгнала иом(() =(/„соз(во(+йфмХ(()), где Х(1) — стационарный гауссовский случайный процесс с корреляционной функцией В„(т) = В, (0) 1?„(т).
2,1.27. Показать, что для синхронного телеграфного сигнала (рис. 2.1) математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция, найденные усреднением по времени, совпадают с характеристиками, полученными в 2.1.17. 2.1.28. Показать, что нестационарная гауссовская плотность вероятности случайного процесса х(() с математическим ожиданием т„(1) =хее-о' и дисперсией олл(1) =о'(1 — е-'"'), а)0 удовлетворяет уравнению Колмогорова — Фоккера — Планка (2.14) при коэффициентах сноса А1(1) = — ат„(1) и диффузии А,(1) = = 20'/а. 2.1.29.
В условиях предыдущей задачи, пользуясь уравнением (2.18), показать, что стационарная плотность вероятности 1 Ка и1(х) = = — ехр ( — — ! ')/2поа (, 2оа 1 2.1.30. Покажите, что гауссовская плотность вероятности перехода и1(па, 1/л1, 1 — т) из задачи 2.1.9, в стационарном случае (о', = о'2 =02) удовлетворяющая граничному условию ы (л,, О/п1, О) о б(пл — и,), удовлетворяет уравнению Фоккера — Планка (2.14) с коэффициентом сноса А, (() = — ат„(1) и диффузии А 2 (1) =202/а только при выполнении условия /?' (т) = )? (т) /?' (О+), /? (О) = 1, (2.21) где /?'(Ол-) — значение производной /?(т) при приближении к нулю справа. Может ли существовать решение (может ли сущестговать непрерывный стационарный марковский гауссовский процесс) в случае, когда нормированная корреляционная функция /г'(т) непрерывна в точке т=О? 2.1.31.
Докажите, что единственным решением уравнения (2.21) является функция /? (т) =ехр( — а)т!), а= — /?'(Ог), т. е, что стационарный гауссовский процесс с экспоненциальной корреляционной функцией является непрерывным марковским процессом. 25 2.2. СПЕКТРЫ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССОВ Рк = аз = 16(/) б/= ) бе(1) б/. » о (2. 22) Спектральная а процесса Х(() плотность мощности центрированного стационарного случайного является преобразованием Фурье от корреляционной функции: »» бк(/) = ) В„(т)е 'з"(»( (2.23) Отсюда Ва(т) = ) бк(/) е' "( 61.
(2. 24) Пара преобразований Фурье связывает также усредненную по времени корреляционную функцию иестационариого процесса (7»(т) и его усредненный энергетический спектр 6„(1). Ширину энергетического спектра часто определяют по методу. эквивалентного прямоугольника: »» )'6» (/) б/ Р о В (О) (2. 25) з= 6» макс бо мако Произведение интервала норрелицин т„ и ширины энергетического спектра случайного процесса удовлетворяет соотношению т»Р» ~! .
(2.26) Спектральная плотность мощности 6(1) (энергетический спектр) случайного процесса определяет распределение средней мощности процесса по частоте. Односторонняи спектральная плотность мощности, заданная при /)О, 6»(1)= =26(/). Средняя мощность процесса (дисперсия) разнесенные на интервал т, кратный величине 1/2Р, не коррелированы. Найти Р, и интервал корреляции т . 2.2.4. Найти энергетический спектр стационарного марковского гауссовского шума с экспоненциальной корреляционной функцией В(т)=В(О)е З'" . Найти ширину энергетического спектра Р, и оценить величину т„Р,.
2.2.5. Найти энергетический спектр для стационарного случайного процесса с гауссовской корреляционной функцией (задача 2.1.22) н его ширину Р». Оценить величину т,Р,. 2.2.б. Показать, что энергетический спектр случайного стационарного процесса У(1) с корреляционной функцией Вэ(т) = = В„(т) соз юот определяется на положительных частотах при /п»Р» (Р,— ширина спектра процесса с корреляционной функцией В„(т) ) соотношением Он (/)е = Ок (/ — /е). где Ои(/) — энергетический спектр процесса Х(1). 2.2.7. Найти усредненный энергетический спектр АМ-сигнала (задача 2.1.24).
2.2.8. Найти усредненный энергетический спектр ОМ-сигнала (задача 2.1.25). 2.2.9. Найти усредненный энергетический спектр ФМ-сигнала (зздача 2.1.26). УпРостить это выРажение пРн /тзфмВ,(0)»1, 2.2.10. Гармоническая несущая промодулирована по амплитуде двоичным случайным синхронным телеграфным сигналом (задача 2.1.17). Найти усредненную во времени корреляционную функцию и энергетический спектр АМ-сигнала. 2.2.11. Случайный синхронный телеграфный сигнал модулирусг по частоте гармоническую несущую.
Найти усредненную корреляционную функцию и энергетический спектр, пользуясь пред. ставлением сигнала двоичной ЧМ как суммы двух АМ-сигналов (первый АМ-снгнал имеет паузы при передаче символа О, а второй — !). Задачи 2.2.1. Найти энергетический спектр случайного синхронного телеграфного сигнала (см. задачу 2.1.17). Определить ширину энергетического спектра Р, и убедиться, что ткР,-1.
2.2.2. Случайный стационарный процесс имеет равномерный энергетический спектр О(/)» №/2 (белый шум). Показать, что корреляционная функция этого процесса есть б-функция, а его дисперсия и'= В (0) = оо. Учесть соотношение )' ехр (/2п/т) ф= »» =б(т). 2.2.3. Найти корреляционную функцию шума, имеющего равномерную спектральную плотность, равную /тп/2 в полосе ( — Р, +Р) и нулю вне этой полосы. Показать, что сечения процесса, 26 2.3. ОГИБАЮЩАЯ, МГНОВЕННАЯ ФАЗА И ЧАСТОТА УЗКОПОЛОСНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА Узкополосный случайный проне с * 2(Г) или любую его реализацию можно представить в виде г(О =»(е) соз»)(т) (2 27) .'де »)(У)е ы»У-кф(() — мгновеннан фаза; зз»=2п/» — частота в полосе усредненного, определенного на положительных частотах энергетического спектра процесса; т(т) н Ч»(() — огибающая и мгновенная начальная фаза, которые являются медленно меняющимися по сравнению с совы»( функциями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
