Кловский Д.Д. Теория электрической связи. Сборник задач и упражнений (1990) (1151854), страница 4
Текст из файла (страница 4)
1.3,12, Определите полосу частот, необходимую для передачи сигнала при импульсной модуляции, если считать, что несущая образована последовательностью прямоугольных импульсов длительностью т=1 мкс, а ширина спектра определяется тремя пер(а!пи)т ! выми лепестками функции п(г 1.3.13.
Решите задачу 1.3.!2 для значений т, приведенных в табл. !.11. 1.3.14. Напишите выражение для сигнала АИМ вЂ” БМ. Какая полоса частот требуется для его передачи, если ширину спектра сигнала АИМ брать такую жи казас В з~вцв ЙЙЙЙ' !7 (2. 7) (2.1) В„(Е,, ЕД = Х (Е,) Х (ЕД =- (2. 9) Р (аЕ,. .. а;и) = П Р (аЕь), э=! (2. 2) Р(апи]ап!, ..., ачп-0) =Р(а,и]аяи-!!). (2.8) ти = ) ] ЕЕп (т) ( д .
о (2. 1О) 18 1.3.1б. Напишите выражение для сигнала ФИМ вЂ” БМ. Имеется ли различие в ширине спектра сигналов АИМ вЂ” БМ и ФИМ вЂ” БМР 1.3.1б. Найдите коэффициенты частотной избыточности для систем ОМ, БМ, ФМ, ЧМ (при заданном индексе модуляции ]) и Р„,„,), АИМ и ФМ (при заданной длительности импульсов несущей), ОМ вЂ” ЧМ и ЧМ вЂ” ЧМ. Г л а в а 2, СООБЩЕНИЯ, СИГНАЛЫ, ПОМЕХИ 2.1.
СООБЩЕНИЯ, СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ КАК СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЪ| Как сообщения, так и сигналы во многих случаях отображаются дискретными (по уровням) процессами с дискретным временем (случайные последовательности). Их называют дискретными случайными процессами с элементами А(Еи1, которые могут принямать Е( различных значений а!, аь ...,ах. Вероятность реализации отрезка (цепочки) дискретного случайного процесса с л элементами можно записать Р(а«, а з, ..., а, ) =Р(ан) Р(а!з(а„)Р(аз]а,!, апз) ., Р(а,„]а!, аь .. ...,а,! о), где Р(а„]аго ам, ап! !,) — условная вероятность появления элемента а, в момент Е при условии, что в предыдущие моменты Е «...,Е! осуществлнлась реализация отрезка (цепочка) апи аы, ..., ац о; А(Еи) =а!в — реализация символа в момент Еи1 ! — значение элемента; й — момент времени (нонер символа в цепочке).
Если отдельные символы цепочки появляются независимо (последователь. ность Бернулли), где Р(апи) — безусловная вероятность появления символа аы. Важным видом случайной последовательности зависимых элементов является цепь Маркова. Для простой цепи Маркова условная вероятность появления некоторого элемента апь целиком определена, если известен предыдущий элемент а Еи-н, т. е. Непрерывный случайный сигнал (процесс) Х(Е) с дискретным временем Еь полностью определен в л точках (сечениях), если известна л-мерная интегральная функция распределения: Рп(хь хз,...,х; Еь Ез,,Еп)=Р(Х(Е!) "х!,,Х(Еп)~хп). (24) где Р( ) обозначает совместную вероятность событий, записанных в скобках, Х(Еи) представляет собой случайную величину и называется сечением случай. ного процесса в момент Еи.
Частные производные функции распределения по всем хи определяют а- мерную плотность вероятности и'и (Х! хэ ..и Хи' ! и . ° ° и) ;Е,Е, ,Е диРи(хт, х„..., хи; Ет Еэ - Еи) дх! дх, дхи (2. 5) Марковская случайная последовательность обладает тем свойством, что прн известном значении Х(!и†!) =хи ! вероятность значения Х(Еи) (Еи)(и-!) не зависит от значений процесса в любые более ранние моменты времени: Р(хю Еи]х!, хз, ...,хи-!! Е!, Ез, ..., Ь вЂ” ~) =Р(хп, б]хп — «Ь !) (2.6) Непрерывный и случайный процесс задак полностью, если для любого л и любых моментов Е„Еь, Е в области его определения (О, Т] можно найти функцию распределения.
Математическое ожидание случайного процесса Х(Е) по ансамблю (нлн его среднее значение) определяется так: М(Х(Е)) = Х (Е) = или(Е) = ~хга! (х, Е) дх, где щ,(х, Е) — одномерная плотность вероятности для сечения. Математическое и ожидание квадрата центрированного сигнала Х(Е)=Х(Е) — Х(Е) (дисперсия): М(ХЯ(Е)) =Х'(Е) = 0(Х(Е)) = а~ (Е) = ) (х — Х(ЕЛ'ю,(х, Е) дх, (2.8) и Корреляционная функция случайного сигнала пп ) (х, — Х (Е,)] (х, — Х (Ез)] ю, (х„х,; Е,, Е,) дх! дх„ где ыз(х!, хз., Еи Ез) — двумерная плотность вероятности для сечений Х(Е) в моменты Е, и Ез.
Иногда корреляционную функцию определяют без центрирования, тогда корреляционную функцию, определенную с центрированием, называют функцией ковариации. Случайный процесс, у которого математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, а корреляционная функция зависит от разности Ез †,=т, во не от самих значений Е, н Еь называется стационарным (в широком смысле).
Лля стационарного случайного процесса !В„(т)]пцоэ =В (О). Нормированная корреляционная функпня (коэффициент корреляции) стапионарного про. цесса ЕЕ,(т) =В„(т)/о' . Интервал корреляции стационарного случайного процеса часто определяют по методу эквивалентного прямоугольника формулой (2.20) Вы(Е„Е,) В~(Е,, Е,)...Вгл(Е„!.) Ваа((а, Еа) Ваа(Е„(з)...Взп'(Еа, Е.) Вариант Ео Е! АЕ(х, Е) =А~(х), Аз(х, Е) =Аа(х), (2 16) 0,05 0,25 0,05 0,2 0,1 0,2 0,1 0,05 0,4 0,3 0,12 0,06 0,03 0,01 0,04 0,04 0,05 0,05 0,125 0,125 0,175 0,125 0,15 0,2 Р, Ра Ра Ра Ра Ра Р Рн 0,2 0,1 0,1 0,1 О,З 0,1 0,05 0,05 0,1 0,1 0,15 0,15 0,2 0,2 0,05 0,05 0,5 0,25 0,125 0,0625 0,0313 0,02 0,005 0,0062 0,15 0,15 0,1 0,1 0,15 0,1 0,15 0,1 0,03 0,26 О, 09 0,05 0,16 0,1 0,09 0,22 0,1 0,05 0,04 0,01 0,2 0,03 0,07 05 0,15 0,1 0,15 0,2 0,05 0,15 0,15 0,05 0,1 0,2 0,05 0,1 0,2 0,05 О, 25 0,05 0,17 0,2 0,15 0,15 0,1 0,13 0,0? 0,03 стационарная плотность (2.17) †[Аз (х)в (х)] = 2А,(х) в (х) + сопз!.
дх (2.!8) тельно в(х), например в(аа) =в( — аа) =0 (2.19) 20 Для стационарных эргодическох процессов с вероятностью, близкой к 1, ма. тематическое ожидание по ансамблю равно среднему значению во времени одной реализации процесса: — 1 Г! ° лех = Х (!) пн х (Е) = 1пп — ! х (!) дЕ; та т — т(2 — — та он= Х'(Е) ло хз(Е) = Игп — ! [х(!) — х(!)]ад!; 7 Т В„(т) = Х (!) Х (Е + т ) са х (Е) х (! + т) = 1 гЕ2 = 1пп — )' [х Р) — х (!)] [х (! + т) — х (!)) д! . (2.13) та T Для непрерывного (скалярного) марковского процесса диффузионного типа двумерная плотность вероятности перехода вз(х, Е[хн, Ен) =вт(Х(!) [Ха((а)), Е)Ен и одномерная безусловная плотность вероятности в,(х, Е) удовлетворяют одному н тому же уравнению в частных производных Колмогорова — Фоккера — Планка: дв,(х, ![ха, Е,) д[А, (х, !) ва (х, Е!х„, Ен)] д'[Ан(х Е) в (х, Е!ха, Ен)] + 2 ' ',' ва (х ! 1 ха, Ео) = 6 (х ха) (2.
14) Коэффициенты сноса А<(х, е) и диффузии Аа(х, !) определяются как условные математические ожидания: 1 А, (х, Е) = Игп [Х(!+ Л!) — Х(!)[х(!)], ое оЛЕ 1 (2. 15) Аз (х, Е) = )нп — ( [Х (! + Л Е) — Х 00]а ! х ОИ . щ-о ЛЕ для стационарного марковского процесса коэффициенты сноса и диффузии не зависят от времени: в (х) = Ищ в (х, !) и может быть найдена согласно (214) из уравнения Общее рещение (218) содержит две произвольные постоянные, которые определяются из условия нормировки [ в(х)дхп»1 и граничного условия огносл- Случайный процесс Х(!) называется гауссовским, если его любая (прн произ- вольно выбранных сечениях) и-мерная плотность вероятности определяется фора!улой вл (хг, хз,..., хл' Еа Ез " Еп) = 1 п л ехр ~ — — ~, '~„'оео (хе — гл!) (хд — гпо) )Е (2н)п Е) ~ 2 где о,а — элементы ма~рицы, обратной матрице корреляции Впа (Е», Е!) В.* (Еп !.)...
Впп Рл, Еп)  — определитель матрицы В; щп=х(Е,). Задачи 2.!.1. Дискретный двоичный источник выдает последователь- ности из трех символов А(Е!), А(12), А((з) Возможные реализа- ции источника имеют вероятности Рг = Р (Оз Оз Оз) = О 11 Рз = Р (Ог 02 1з) = 0 ! 51 Р,=Р(0,0,0з)=0,2; Рв=Р(0,121з)=0,05; Р,=Р(1,0,0з)=005; Р,=Р(1,0,1з)=0,2; Р,=Р(1,1,0,) =0,15; Р,=Р(1, 1, 1,) =0,1, Найти: вероятности появления 2-символьных реализаций Р(ао ат,) и Р(аг,аю); безусловные вероятности Р(а,4), Р(аЕ,), Р(агз); условные вероятности переходов Р(ааз[аоагз), Р(аоаы( ! а!а), Р (а'з ~]аго), Р (паз (аЕЕ) . 2.!.2. Решить задачу 2.1.1. для значений вероятностей 3-сим- вольных реализаций, приведенных в табл.
2.1. Таблица 2.1 2.1.3. Дискретный двоичный источник описывается простой цепью Маркова с матрицей переходных вероятностей ! Р (!! Ц Р (
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
