Кловский Д.Д. и др. Теория электрической связи (1999) (1151853), страница 62
Текст из файла (страница 62)
(6.82) г ~ Р.) Полученное выражение позволяет легко перейти к пропускной способности непрерывного канала с непрерывным временем, у которого входные сигналы имеют ограниченную полосу частот Г и ограниченную среднюю мощность Р„. Кроме того, будем предполагать, что помехой в нем является квазибелый шум со спектральной плотностью Фо в полосе частот Г, т.е. гауссовский шум с рав- номерным спектром и средней мошностью Р,„= МоГ.
Поскольку полезные сигналы ограничены полосой частот Г, то на выходе такого канала связи мож- но поставить идеальный фильтр, пропускаюШий только частоты в этой полосе, не потеряв при этом никакой информации. По теореме отсчетов (Котельникова) сигналы на входе и выходе такого канала будут полностью оп- ределяться отсчетными значениями в точках г» = ко, где Л = 1/2Г Следова- тельно, вся информация, передаваемая по такому каналу, будет содержаться в этих отсчетных значениях. Поскольку энергетический спектр помехи на выходе равномерен в полосе частот Г, то отсчеты помехи оказываются статистически независимыми и задача сводится к расчету пропускной способности непре- рывного канала без памяти с дискретным временем.
Используя полученное для 1 этого соотношение (6,82) при ч„= — = 2Г, находим С' = Г 1оф 1+ — ') = Г!о8~ 1+ М,Г/" (6.83) Соотношение (6.83) известно как формула Шеннона для пропускной спо- собности непрерывного гауссовского канала с ограниченной полосой частот и ограниченной средней мощностью сигнала. Проведем анализ формулы Шеннона (6.83). Если Г= сопзг, а Р,/Р возрас- тает, то, как видно из этого соотношения, С' будет также возрастать, но ее рост оказывается весьма медленным, так как он подчиняется логарифмическому за- кону. Поэтому если, например, при полосе частот 100 Гц и отношении Р/Р =10' =30дБ пропускная способность С'= 1000 бит/с, а ее нужно увели- чить примерно в два раза при сохранении прежней полосы частот 100 Гц, то этого можно достигнуть, лишь увеличив отношение сигнал/шум до 10~ = 60 дБ.
Рассмотрим теперь зависимость пропускной способности канала С' от по- лосы частот Г при фиксированных значениях Р, и Фв. График зависимости РЖ, нормированной пропускной способности СЮ~/Р, от — ' показан на рис. 6.5. с С(Г), как следует из (6.83) — это монотонно возрастающая функция, которая при Г-+ со асимптотически приближается к величине 250 1,О 0,5 0 ° 1 2 3 4 рхо Р, Рис.6.5. Зависимость нормированной пропускной способности непрерывного канала с БГШ от полосы пропусканая С„'= ЫшС'(Р) =1опге БшР 1п 1+ Я г Р- ~ )У' Р,) = — '1оягет — ' 1,44 бит/с.
~о ~~~о которая может быть названа пропускной способностью непрерывного канала связи с неограниченной полосой частот при аддитивной помехе в виде БГШ. Таким образом, хотя с ростом полосы пропускания возможности непрерывного канала по передаче информации увеличиваются, однако в полосе пропускания не заключены неограниченные возможности увеличения С'. (Уже при выборе полосы Р =ЗР,(Ц реализуется примерно 86 % от С„', (см. рис.
6.5).) Хотя определение понятия пропускной способности для непрерывного канала связи и позволяет судить о его возможностях по передаче информации, но для того, чтобы определить эти возможности в более конкретных терминах верности и скорости передачи, необходимо сформулировать теоремы кодирования Шеннона для непрерывного канала связи. Однако перед этим определим еще одно понятие. а-энтропия непрерывного источника, Иногда в ТЭС вводится мера информативности (непредсказуемости) непрерывного источника зеЯ, называемая и-энтропией. Эпснлонэнтропия Н(Б~ определяется как минимальное количество информации, содергосаи1ейся в 2(Г) = Э(г) + Б(Г) относительно сигнала о(Г), нри катарам У(Г) и о(Г) эквивалентны. Эквивалентность принимается как близость в среднеквадратическом смысле: г (Я(г) — Я(г)) = Б' < ог — допустимое значение среднего квадрата шума наблюдения.
Итак, по определению Н,(Я) = +(Ю)-Л(5~2)]=а(Я)- а Ь(Я~2), где минимум берется по всем условным распределениям го(а~в), для которых Б' я в', '>. Так как Я(1) =2(1) — Б(г), то условная дифференциальная энтропия Ь(512) при заданном сигнале г(Г) полностью определяется шумом воспроизведения Б(г). Если шум воспроизведения имеет фиксированную дисперсию ог, = Б'(г), то дифференциальная энтропия й(Б) максимальна, как было показано выше, при гауссовском распределении и равна й(Б) = 1оя1~2кО~,' .
'1 В дальнейшем предполагается, что средняя мощность (дисперсия) сигнала ог существенно превышает дисперсию шума воспроизведения от,. 251 Если источник о(г) является гауссовским, то при заданной дисперсии о~ его дифференциальная энтропия л(ь) = 1ояз/2мСс~~ . Таким образом, в рассматриваемом случае 2 Н (Я) = 1оя~/2Жы, — 1оя 1~2ясе' = 0,51оа — '. о Величина — '= — ' характеризует минимальное отношение сигнал-шум, при котором сиге~ р нал оф и процесс 2(г) еше эквивалентны ("похожи"). Обозначим это отношение рь, тогда Н (Я) = 0,51оярь . Можно ввести понятие и-производительность непрерывного источника Н'(а)= г„Н (а), где ~„— число отсчетов в единицу времени.
Для а-производительности непрерывного гаус- совского источника непрерывного времени без памяти Н (Б) = г )яр~, где Р; — полоса частот сигнала, в пределах которой СПМ процесса о(г) считается равномер- ной. 6.3.3. ТЕОРЕМА КОДИРОВАНИЯ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОГО КАНАЛА СВЯЗИ Пусть имеется некоторый непрерывный канал связи, для которого в й 6.3.1 определены понятия Т-кода и решающей схемы. Тогда можно сформулировать следующую теорему кодирования для непрерывного канала, которая является аналогом теоремы кодирования для дискретного канала с помехами.
Теорема о кодировании в непрерывном канале с помехами..Если непрерывный канал имеет пропускную способность С' и заданы любые числа б > О и Н' < С', то всегда найдется такое То, что при всяком Т> То существует Т-код, состоящий из М = 2гН сигналов, и решающая схема, которые обеспечивают выполнение неравенств р(~г(з (г)1 > 1 я, 1 2 Л.г х' з (г)+п(г) (6.85) Если Н' > С', то неравенство (6.85) не выполняется, как бы ни было велико значение Т0. (Доказательство данной теоремы можно найти в 1161).
Интерпретация данной теоремы мало отличается от интерпретации соответствующей теоремы для дискретного канала. Действительно, если мы имеем некоторый двоичный источник информации, то блоки длины п данного источника можно согласовать с Т-кодом без задержек во времени при выполнении следующих очевидыых условий 2" = 2гн, пТ„= Т, (6.86) где ҄— длительность символов источника. Преобразуя (6.86), получаем необходимые и достаточные условия убывания ошибки к нулю при кодировании в непрерывном канале связи: чн = Н' < С'. (6.87) Видно, что это условие отличается от условия (6.52), полученного для кодирования в дискретном канале, только тем, что пропускная способность дискретного канала заменяется на пропускную способность непрерывного канала.
Поскольку, как уже отмечалось ранее, непрерывный канал всегда обладает большей пропускной способностью, чем любой отображающий его дискретный канал, то кодирование в непрерывном канале обеспечивает всегда большую информационную скорость передачи, чем в дискретном. Это свойство 252 вполне очевидно, так как кодирование и декодирование в непрерывном канале являются более общими процедурами, чем в дискретном. Далее можно снова обратиться к достаточному условию (6.4) для убывания вероятности ошибки к нулю при использовании ортогональных сигналов, которое бьио получено ранее. Этому случаю соответствует непрерывный канал связи с бесконечной полосой пропускания, для которого пропускная способность определяется выражением (6.84).
Поэтому необходимое и достаточное условие обеспечения высокой надежности передачи в таком канале в действительности будет иметь вид У < 1>44Рс/Уо. (6.88) Сравнение (6.4) и (6.86) показывает, что простой вывод достаточного условия (6.4) дает в 2 раза меньшую скорость, чем действительно достижимая скорость передачи. Для непрерывного канала остается справедливой также и основная теорема Шеннона, если в ней понимать под С' пропускную способность непрерывного канала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
