Кловский Д.Д. и др. Теория электрической связи (1999) (1151853), страница 61
Текст из файла (страница 61)
(Для повышения надежности необходимо нли изменить внд модуляции, или улучшать параметры канала Р, и Фо). Проделывая аналогичные выкладки для оптимального некогерентного приема двоичных ОФМ сигналов, можно показать, что минимальная величина Ь' оказывается равной 3/(3, а вероятность ошибки 0,025. В реальных системах связи обычно задаются ограниченными значениями (рз) вероятности ошибки, не требуя выполнения условия Рз -ь О.
Поэтому при 243 В данной главе мы оцениваем ЭВК при неограниченной сложности кодирования, т.е. при я-+~о, тогда как в следующей главе мы будем оценивать его для кодов с конечными длинами блоков. Очевидно, что ЭВК в последнем случае всегда будет меньше, чем при а-+ е. Поэтому здесь мы получим наилучшие возможные результаты. Определим скорость блочного кода х~" ~,х~"1, ..., хм1"1 как отношение логарифма числа разрешенных кодовых комбинаций М к логарифму всевозможного числа комбинаций длины а, образуемых в-ичным ко- дом 1сез М 1ее2 'а Для обеспечения той же самой заданной информационной скорости передачи ~„длительности канальных символов при отсутствии кодирования Т„и при наличии кодирования Т„„будут связаны соотношением Т Поэтому для расчета ЭВК при использовании кода с заданной скоростью (в том числе и 1оя М в асимптотическом случае, когда и = йт ) соотношение (6.60) может быть представле1ояз е" но в следующей форме ч= 10 — Д (6.61) где Ь~ — отношение сигнал-шум в канале связи, обеспечиваюшее требуемую величину р вероятности ошибочного приема символа без кодирования; а,„— отношение сигнал-шум в ка- 2 нале связи, обеспечиваюшее требуемую величину р при использовании данного кода.
з Величина Ь', в этом соотношении может быть найдена как решение уравнения р, = р(Ь',), где р(Ь',) — вероятность ошибки для заданного способа модуляции-демодуляции и модели канала связи, как функции параметра Ь',. Величина А' согласно теореме кодирования Шеннона может быть найдена как решение уравнения. с(ь2 ) 1оа е где С(а~„) — пропускная способность дискретного канала связи, представленная как функция параметра Ь~„. В частном случае 2СК получаем уравнение 1ъ 1+ (ь2 )1 (ь2,) (1 (ь2 ))1 (1 (ь2 )) (6.62) 244 заданной информационной скорости передачи ь„и фиксированном параметре Ф0 всегда можно обеспечить требуемую верность приема при помощи выбора необходимого значения мощности сигнала Р,.
Использование кодирования может позволить снизить необходимое значение мощности сигнала до некоторой величины Р к при сохранении тех же самых значений У0 и ч„. Выраженное в децибеллах отношение этих двух мощностей называется энергетическим выигрышем кодирования (ЭВК) по сравнению с использованием какого-либо метода модуляции-демодуляции без кодирования, т.е.
Р, з) = 101В (6.60) Р,„ ' где Р, — мощность сигнала в системе связи без кодирования; Р, — мощность сигнала в той же системе связи, но с кодированием. Если скорость кода не задана, то мы можем ее оптимизировать, добиваясь максимизации г1 в (6.61) при выполнении условия (6.62). Зто, в свою очередь, реализуется при максимизации по л величины р с(ь',.) Ь~„)г~„ Как было показано раньше, эта величина при оптимальном когерентном приеме достигает максимума, когда ч,-мо, а следовательно при, Л-+ 0 и оказывается равной 0,46сс. При оптимальном некогерентном приеме эта величина максимизируется при Т, = 1,551 —, что соответствует бптимальному значению )г, =1,551/р и "оптимальной" вег ои авар~ „~у,г роятности ошибки символа в канале связи р, = 0,5е ~ = 0,5е "" 0,106.
При оптимальном значении вероятности ошибки пропускная способность 2СК становится примерно равной 0,51, что и совпадает с оптимальной скоростью кода. В этом случае, как было показано ранее, максимальное значение Р/а' оказывается равным 0,33р. Так, если задаться величиной рз = 10 ~, то ЗВК при когерентном приеме и оптимальном выборе скорости кода (Я = О) составит 10,2 дБ, а при оптимальном некогерентном приеме ЗВК при оптимальном выборе скорости будет равен примерно 6,3 дБ, Зная величины потенциальных выигрышей при оптимальном кодировании, мы можем сделать предварительный вывод о том, целесообразно ли пытаться применять регулярное кодирование, т.е. "обменивать" эти децибелы на усложнение оборудования или программного обеспечения, Заметим, что выбор фиксированной скорости кода Я позволяет контролировать расширение полосы частот сигналов по сравнению с некодированной передачей сообщений. 6.3.
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ НЕПРЕРЫВНЫХ КАНАЛОВ СВЯЗИ ПРИ ПЕРЕДАЧЕ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ (6.63) 245 6.3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОГО КАНАЛА СВЯЗИ, КОДИРОВАНИЯ И ДЕКОДИРОВАНИЯ В НЕМ Переходя от дискретного канала связи к непрерывному, мы фактически отказываемся от некоторых ограничений, а точнее говоря — от выбора фиксированных способов модуляции и демодуляции, которые определяют условные вероятности переходов рфх) в дискретном канале связи с помехами.
Поэтому мы вправе ожидать увеличения пропускной способности непрерывного канала по сравнению с любым отображением его дискретным каналом. Однако и при задании непрерывного канала также должны существовать определенные ограничения, которые накладываются на входные и выходные непрерывные сигналы. Определим формально непрерывный канал связи с помехами как пару пространств Зг= (з(Г)) и Уг= (з(1)) соответственно входных з(г), Г~(0, Т), и выходных зЯ, ги(0, У), непрерывных сигналов и заданного на них условного вероятностного распределения Р(х~в), х а Х~, в и Бт. Простым, но достаточно важным для приложения частным случаем непрерывного канала связи является непрерывный канал с аддитивным шумом, для которого пространство выходных сигналов задается следующим образом: з(г) = з(г) + п(г), где н(г) — случайный сигнал (аддитивная помеха), не зависящий от входного сигнала г(г).
Для полного описания такого канала достаточно задать ограничение на допустимое множество входных сигналов Вг и вероятностные распределения Р(п) для аддитивной помехи. Существуют различные способы задания ограничений на входные сигналы. Чаще всего для этого используются такие понятия, как средняя или пиковая мощности сигналов, занимаемая полоса частот, форма спектра сигналов. В данном разделе мы так же, как и в предыдущих разделах этой главы, изучаем дискретные источники сообщений, и потому под кодированием в непрерывном канале будем понимать сопоставление последовательностей, составленных из символов источника сообщений, с непрерывными сигналами длительности Т, принадлежащими пространству Зт, а под декодированием в непрерывном канале — сопоставление любого непрерывного сигнала длительности Т, принадлежащего. пространству Х", последовательностям символов источника.
Будем множество таких выбранных непрерывных сигналов г1(г),..., вм(г) называть Т-кодом, а разбиение Хг на М подмножеств х,', х,', ..., х"„, соответствующее декодированию, — решающей схемой. Очевидно, что задание Т-кода, решающей схемы и канала связи будет полностью определять вероятность ошибочного декодирования р„. В этом случае процедуры кодирования и декодирования называют также модуляцией и демодуляцией (см. гл.
5). Так же как и в случае дискретного канала, задача кодирования и декодирования состоит: во-первых, в согласовании различных алфавитов источника и канала; во-вторых, в обеспечении максимально возможной скорости передачи сообщений источника при одновременном достижении сколь угодно высокой верности приема, понимаемой как вероятность ошибочного декодирования р,„. Ниже мы покажем, как рассчитать пропускную способность непрерывного канала и сформулировать теорему кодирования, из которой будет следовать, что максимальная скорость передачи сообщений источника Я„может быть сколь угодно приближена к этой пропускной способности. 6.3.2.
КОЛИЧЕСТВО ИНФОРМАЦИИ, ПЕРЕДАВАЕМОЙ ПО НЕПРЕРЫВНОМУ КАНАЛУ СВЯЗИ, РАСЧЕТ ЕГО ПРОПУСКНой СПОСОБНОСТИ Взаимная информация пары отсчетов для аддитивпой гауссовской помехи. Рассмотрим сначала канал связи с сигналами, имеющими дискретное время и непрерывную амплитуду на входе и выходе. Предположим, что каждый такой "импульс" передается независимо от всех других, т.е. в канале отсутствует память и задана условная плотность вероятности и(г~г), где г е .с, в я у, а у й о"— пространства допустимых значений .амплитуд соответственно выходных и входных сигналов. Пусть известна также плотность вероятности и(в), г е Ю, входных амплитуд.
Тогда такой непрерывный канал можно преобразовать к дискретному, производя квантование множеств Ю и г с интервалами Лг и Аг соответственно. В этом случае входное распределение вероятностей будет иметь вид Р(г,) = Р(г; < 5' < л;+ Лг) = ю(г;)Аг, 1 = О, 1, ..., (6.64) а условные вероятности переходов входных символов в выходные Р(ц/ь!) = Р(г < г, < г + Ьг~в;) = ю(ф;)Аг. (6.65) 246 и2 е 2*' — 1 и(п)ч'2ло (6.77) 1са. м (п)с/2ло причем равенство имеет место, если только п~ ().=, е ''. 42ло Подставляя (6.77) в (6.76), получаем +в +э 2б ~ п(п) ~ — пп- ~м(пМ 1са Е= п(пЦ 2ло1 й(М- А~~6 еР) +7 1 +Ю ~е "ь-~м п]ще-о, Э откИ2а и следует (6.75).
Ранее уже отмечалось, что на пространство допустимых входных сигналов должны быть наложены некоторые ограничения. Рассмотрим наиболее важный частный случай, когда ограничена средняя мощность (дисперсия) сигнала Р,. Тогда для каналов без памяти с дискретным временем это ограничение требует использования только таких входных плотностей вероятностей и(я), для кото-.
рых выполнено условие ) и (в)(в- Я) сЬ < Р (6.78) где о" = ) ви(в)сЬ. Будем называть пропускной способностью С такого канала максимальное значение количества информации Е(Я,Х) по всем плотностям вероятности и(я), удовлетворяющим (6.78), т.е. С= шах (1(Я,Х)), (6.79) юа) лп' где И~ — множество плотностей вероятности, удовлетворяющих (6.78). Рассчитаем пропускную способность для канала с дискретным временем и с аддитивным БГШ мощности Р„,. Используя (6.73) и (6.74), получаем С= шах (Ь(г) — 1о8 1~2леР ~. (6.80) Для данного канала дисперсия выхода равна сумме дисперсий входа и аддитивного шума, т.е.
З(4 = Х)(4 + Щп) = Р, + Р,„ Поэтому согласно доказанному выше свойству получаем, что дифференциальная энтропия выхода Ь(Х) будет максимальна для гауссовского распределения Х, а следовательно, и для гауссовского распределения Б и она равна правой части (6.75), если Р,„заменить на о', = Р, +Р . Подставляя это значение в (6,80), находим, что 249 Выражение (6.81) дает значение пропускной способности канала, имеющее при двоичном логарифме размерность бит/отсчет (импульс). Если скорость выдачи отсчетов (импульсов) в секунду равна ~„то пропускная способность в единицу времени будет определяться соотношением С' = ~~,С = — '1о8~1+ — ') .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
