Калмыков В.В. Радиотехнические системы передачи информации (1990) (1151851), страница 4
Текст из файла (страница 4)
» 1в) д . д . д„ пр и п-~~с»». сложно, а заМногомерные функции (2.2) и (2.3) определить ело частую н невозможно. В то же время для реше1 ешения многих ппакгических задач, связанных с передачей сообщений, р у не т ебуется ом в качестзпание многомерных законов распределения. Поэт у пе моделей сообщений обычно используются случайные процессы, задаваемые одномерным н двумерным законами распределех ния, а во многих случаях — более простыми характеристиками— моментными функциями. Реальные сообщения, как правило, являются нестационарными.
оотв . С ветственно их моделями должны служить иестационарные случайные процессы. Чаще всего нестационари д пускают квазнстацпонарпую трактовку; пх можно считать практически стациоиарпымн па промежутках времени небольшой длительности. Переход к стационарной модели обусловлен тем, что решение задач с учетом нестационарности сообщений весьма затруднительно и требует сложного математического аппарата. На практике в качестве стационарных моделей сообщений и помех часто используют гауссовский случайный процесс (3, 4].
Гауссовская модель достаточно хорошо описывает речевые и телевизионные сообщения, а также некоторые типы телеметрируемых процессов. Среди моментных функций наибольшее применение получили: математическое овкидапиг случайного процесса (2.4) (1) М(Х(1))= 1 хвг(х; 1)с(х, дисперсия случайного процесса Ш ~) — М((Х(1) — (1)]в)= )' ( — ™ (1)]' "(х' ')"' — »» 19 где и, — некоторый коаффвциент, который берется равным 1,25 ... 2,5. Ограничение спектра сообщения частотой Р,„путем фильтрации приводит к погрешности восстановления, относительный средний квадрат которой 4= Г С(/)// Р(/)б/ ~шад а (2.28) т. е. равен отношению мощности отброшенной части спектра к средней мощности исходного сообщения.
При отсутствии предварительной фильтрации в процессе восстановления сообщения ошибка дискретизации возрастает. Пусть 5а()от) — спектральная плотность сообщения х(1). Тогда спектральная плотность днскретнзированиого сигнала х (1) 131 идеального фильтра нижних частот — фильтр нижних частот, что, естественно, приводит к погрешности восстановления. Теорему Котельникова, можно,распростраасить и на случайные сигналы [6]. Тогда она формулируется следукяцим образом: для случайного процесса с односторонней спектралыюй ~плотностью мощности, удовлетворяющей условию 6 (/) =0 при />Г,ш ряд " х ~а2 Г,К вЂ” ~т > т аа 2пгшад(а а тд) где Х(1Тл) — случайные величины, представляющие собой отсчеты случайного процесса, взятые через интервалы времени Тд= =1/2Гш,„сходятся в среднеквадратическом смысле (см.
(2.22)) к процессу Х(1). Теорема Котельникова дает предельные соотношения для идеализированных условий, среди которых следует отметить ограниченность спектра по частоте н бесконечное время наблюдения. Все реальные сигналы конеЧны во времени и имеют неограниченный по частоте спектр. Использование модели с ограниченным спектром и конечное время наблюдения приводят к погрешности при восстановлении непрерывного сообщения. Тем не менее теорема Котельникова имеет большое практическое аначение.
Дело заключается в том, что спектр сигнала так или иначе ограничивается (например, при передаче непрерывного сообщения спектр ст(/) целесообразно ограничить частотой Р ,ш прн которой О(/) <:/)/(/), где У(/) — спектральная плотность мощности шума на выходе канала). В этих случаях теорема Котельникова позволит сориентироваться в отношении частоты дискретизации. Обычно ее определяют по приближенной формуле 17т/ гл 2)аг шала т.
е. она представляет собой с точностью до несуществешюго множителя 1/Т„сумму бесконечного числа «копий» спектра исходного сообщения (рис. 2 1). Эти копии располагаются на оси частот через равные промежутки 2п/Тто При восстановлении сообщения идеальным фильтром нижних н Л частот с полосой пропускания — — (ао( — возникает т т <ппибка, относительный квадрат которой с учетом (2.29) определяется как ).с ()ш))аош ™, ~» ~ о ~) ( 2аал )]~ 1~1~ и —.отти и боа.ф— + ) )о„бш)! ош )'13 ()ш))алло — оо (2.30) Первое слагаемое в (2.30) характеризует ошибку, обусловленную тем, что составляющие сигнала х„(1) на частотах )оа~:»ас/Тл пе попадают в полосу пропускания фильтра, и совпадает по значению с (2.28). Второе слагаемое в (2.30) характеризует ошибку, обусловленную попаданием в полосу частот фильтра составляющих копий Я„(1(со — 2пп/Тл)1, п=.+-1, ~2, .... Если ограничиться только влиянием копий с п=~1, то нетрудно видеть, что второе слагаемое также совпадает по значению с (2.28).
При этом бает.е=2бал, (2.31) и, следовательно, предварительная фильтрация сообщения с целью ограничения его спектра является целесообразной. Заметим, что обеспечить условие 6(/) =0 при /)Тшак путем фильтрации физически невозможно. Сообщение на выходе любого реализуемого фильтра будет содержать составляющие на глстотах / >Г „. Поэтому ошибка (2.28) является минимально возможной.
В общем случае восстановление (интерполяция) непрерывного сообщения х(1) по его отсчетам выполняется в соответствии с (2.26). При этом в качестве базисных функций широко исполь- (2.29) 8„,(1 )=+ Х Зф( — —,")1. аа Е« о' Т. 7 -Ю Рвс. 2.Ь Спектральная плотность Лискретиаироваиното сигнала ЗО Рпс.
2.3. Пример размещения сущестяеякык выборок пря линейной яягерпогг з+з мг риз ' (за 1 ляцяп Выражение (2.36) позволяет находить число координат Аг, при котором обеспечивается заданная погрешность дискретного представления. Разложение случайного процесса с непрерывной корреляционной функцией в ряд (2.26), в котором базисные функции являются собственными функциями уравнения (2.35), называется разлозсениелз Карунена — Лоэва.
Хотя это разложение обеспечивает минимальное число координат Ж при заданной погрешности дискретного представления случайного процесса з', однако его при менение иа практике ограничено. Это обусловлено следующими причинами: корреляционная функция случайного процесса не всегда оказывается известной, процедура отыскания решения уравнения (2.35) в общем случае неизвестна, техническая реализация устройств разложения сигнала за исключением случая, когда функции йч(1) гармонические, сложная. Поэтому на практике в качестве базисных часто используют ортогональные функции, при 4 которых погрешность представления близка к минимальной при сравнительно простой аппаратуре. К ним относятся тригонометрические функции, полиномы Чебышева и Лежандра, функции Уолша ядр.
(3 Дискретное разностное представление ~9). В данном случае в качестве весовых функций фг(1) используют линейные комбина)::." ' ции дельта-функций: с зуз (1) = Х ( — 1)ЯСс 6 (1 — (з + АТп), Б = 1, 2, ..., (2.37) я-з 1, где С ь — число сочетаний из 1. по й. При этом, как следует из л (2.25), координатами являются конечные разности 1-го порядка ь Аьх(1с) = Х ( — 1) аС "ьх (1; — АТ ) . з~з В частности, при 1.=1 фз(1) =6(1 — (з) — Ь(1 — 1г ~), па=Ах(1~) =х(1;) — х(1г ~).
Адаптивная дискретизация непрерывных сообщений. В данном случае координатами являются мгновенные значения иегрех рывного сигнала в некоторых точках опроса, перавноотстоящпх друг от друга (рис. 2.3). На интервалах, где функция меняется в ббльших пределах„ отсчеты берутся чаще, а на интервалах медленного изменения — реже. Для представления сообщения стара- ются использовать как можно меныпее число отсчетов, но достаточное для восстановления сообщения с заданной погрешностью.
Отсчеты, позволяющие восстановить непрерывное сообщение на гриемной стороне с заданной точностью, называются обычно сугцественньиаи. Известны различные способы адаптивной дискретизации, отличающиеся алгоритмом формирования существенных отсчетов и видом служебной информации (61. Простейший алгоритм формирования существенных отсчетов заключается в следующем. Пусть последний существенный отсчет был в момент 1ь Для формирования следующей выборки сравнивают текущее значение функции х(1) с х(1;). Момент 1;+ь при котором ~х(1з+у) — х(1г)(=е, соответствует очередной существенной выборке. При адаптивной дискретизации отсчеты передаются в случайные моменты. Поэтому для восстановления непрерывного сообщения по отсчетам приемная сторона должна знать, к каким тактовым моментам относятся принятые отсчеты. В связи с этим на приемную сторону приходится передавать дополнительную служебную информацию.
Такой информацией могут быть значения тактовых моментов, соответствующих существенным выборкам. При сравнении различных способов представления это обстоятельство необходимо учитывать. Адаптивные способы дискретизации широко применяют при отсутствии априорной информации о корреляционной функции или спектральной плотности мощности непрерывных сообщений.
2.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИИ В ЦИФРОВУЮ ФОРМУ Непрерывные сообзцсиня можно передавать по дискретным системам связи. Для этого их преобразуют в цифровую форму (в последовательность символов некоторого алфавита, например двоичного) с помощью операций дискретизации по времени, квантования по уровню н кодирования *. Операция дискретизации во времени была описана в 9 2.3. Операция квантования по уровню заключается в замене непрерывного множества значений, которые может принимать сообщение х(1), дискретным множеством заранее определенных значений хнз „1=1, ..., 1.„, называемых уровнями квантования. Такое преобразование выполняет нелинейное устройство с характеристикой, изображенной иа рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
