Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2003) (1151848), страница 55

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 55)

Например, если параметры отсчета представляют собой скаляр, измеряется только одна из координат г цели, а в качестве траекторных параметров оцениваются эта координата и скорость ее изменения, то из (6.22) и (6.23) по двум измерениям можно получить: г-~ + го (6А4) г0 — г, оз оз lТ 0 2 и (Т 2п~(Т (6.45) где Т вЂ” период измерений, о' — дисперсия ошибок измерения дальности г. 6.4.2. Стационарный режим калмаиовского фильтра 306 Представляет интерес исследование калмановского фильтра при неограниченном увеличении интервала наблюдений.

Важно знать, существуют лн предельные значения коэффициента усиления фильтра, ковариационных матриц ошибок измерения, экстраполяции, н если существуют, то при каких условиях они не зависят от начального состояния. Предположим, что модели движения объекта н измерений параметров отсчетов инвариантны во времени, т. е. матрицы Р, С, Г, Н от времени не зависят. Предположим также, что возмущающее воздействие и на парамет- б. Основы вторичной обработки радиолокационной информации параметров намного превышает величину самой оценки и значение средней квадратической ошибки со временем неограниченно возрастает. Расходимость фильтра может возникнуть в силу; 1) заметного несоответствия модели состояния динамической системы реальному процессу движения цели и (или) модели измерений — реальной помеховой остановке, а также неправильного выбора параметров стартовой точки; 2) ошибок в процессе численных вычислений (особенно при матричных вычислениях) из-за недостаточной точности представления чисел в ходе практической реализации алгоритма калмановской фильтрации на средствах вычислительной техники; 3) ошибок при выполнении операции селекции в условиях сложной помеховой и целевой обстановки.

Из анализа соотношений, определяющих работу калмановского фильтра, видно, что перечисленные факторы могут привести к возрастанию величины невязки измерений (6.37) до такого значения, при котором она становится несогласованной с коэффициентом усиления фильтра (6.39), в результате чего оценка (6.35) траекторных параметров не корректируется регулярно до нужных значений. Поскольку почти всегда любая модель содержит некоторые аппроксимации и погрешности, а численные расчеты выполняются с конечной точностью, вопрос о приемлемых текущих ошибках оценивания траекторных параметров, означающих отсутствие расходимости фильтра, является одним из важнейших при разработке алгоритмов ВО.

Для характеристики с этих позиций работоспособности калмановского фильтра вводится понятие его состоятельности [63), несколько отличающееся от традиционного. Состоятельной оценкой некоторого постоянного параметра называют оценку, которая сходится к истинному значению рассматриваемого параметра при увеличении числа наблюдений.

Соответственно, алгоритм, производящий такое оценивание, можно назвать состоятельным. Состоятельны.и катиановскии фи|ьтром называют фильтр, в котором первый и второй моменты ошибок получаемых оценок траекторных параметров соответствуют теоретически предсказанным, т. е. средняя ошибка равна нулю (оценка является несмещенной), а второй момент соответствует ковариационной матрице ошибок, вычисляемой фильтром. Для проверки состоятельности калмановского фильтра используется тот факт, что при линейном гауссовском допущении условная плотность Распределения н(Х„~й~~~) траекторных параметров должна подчиняться нормальномУ законУ РаспРеделениЯ с паРаметРами Х и Ч'ь, вычислаемы- ми фильтром в некоторый А=й момент времени: 308 6.4.

Рекуррентная оценка траекторных параметров гв(Х»~й®) = Ф( Х», Х», +» ), (6.48) где Ф~Х», Х», 'У» ~ — условная запись нормального закона распределения величины Х» с математическим ожиданием Х» и ковариационной матрицей Ф». Поэтому одним из способов проверки состоятельности фильтра является проверка справедливости выражения (6.48). Статистические характеристики распределения можно задавать его моментами, причем для гауссовского распределения достаточно двух моментов. Тогда выражение (6.48) эквивалентно условиям м(х,-х,) =м(лх,) =0, м((х„- х,)(х» - х„)'~ = т,, (6.49) (6.50) которым должен удовлетворять фильтр. Условие (6.49) является требованием несмещенности для оценок траекторных параметров (т.е. нулевой средней ошибки оценнвания).

Условие (6.50) — это требование согласованности моментов, т. е. того, что действительная ковариационная матрица (левая часть) равна ковариационной матрице, вычисленной фильтром (правая часть). В качестве статистики, которую можно применить для проверки соотношений (6.49), (6.50), целесообразно использовать нормированный квадрат ошибки оценки траекторных параметров б (Х) =АХ' »12»'ЬХ . (6.51) 309 Если вычисленная фильтром ковариационная матрица Ч'» соответствует оценкам траекторных параметров и действительной коварнационной г матрице, то при гауссовском допущении эта статистика подчиняется у -распределению с Ь степенями свободы (Ь вЂ” размерность вектора траекторных параметров). При попадании этой статистики в заданный доверительный интервал анализируемый калмановский фильтр можно полагать состоятельным.

Заметим, что статистика 82(Х) чувствительна как к невыполнению условия (6.49), так и (6.50). Тест на основе статистики бг(Х) можно использовать при проверке состоятельности фильтра по результатам статистических испытаний. Пусть после моделирования с помощью метода Монте-Карло получена выборка М независимых случайных величин 82(Х),, 2 =1,2, ..., М. Среднее значение б -статистики имеет внл 2 6. Основы вморичной обрабомки радиолокационной информации (6.55) Тогда величина МЗ~(Х) будет иметь у'-распределение с г =МЬ степенями свободы. Гипотеза о состоятельности фильтра принимается, если Мб (Х)а[с,,сз], (6.56) где границы двухстороннего доверительного интервала определяются кван- тилями соответствующего у -распределения для допустимой вероятности ошибки ол с! Х с2 Х 1 (6.57) Например, для доверительной вероятности Р„„= 0,95, где Р„, = 1- а, Ь=2, М=50 имеем с, =74,2 и сз — — 130.

Условие (6.56) может не выполняться в силу различных причин, например из-за наличия смещения оценок (невыполнения условия (6.49)). Дополнительную проверку на наличие смещения можно провести, используя среднюю ошибку оценки траекторных параметров, нормированную к соответствующему значению среднеквадратической ошибки. При выполнении условий (6,49), (6.50) распределение нормированной средней ошибки должно подчиняться нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Тестируя полученную после статистического моделирования последовательность ошибок оценок траекторных параметров, легко принять решение о наличии или отсутствии смещения. Всеми указанными выше свойствами обладает невязка (см.

п. 6.4.1) лх =х„— н х. Квадрат нормированной невязки определяется выражением (6.58) б (х) =лх' б,'лх», (6.59) 310 где Бм — экстраполированная ковариационная матрица параметров отсчета. Для гипотез, при которых фильтр является состоятельным, квадрат нормированной невязки имеет у'-распределение с а степенями свободы, где а — размерность вектора параметров отсчета.

После М независимых испы- 6.4. Рекуррентная оценка траекторных параметров таний величина Мб~(Х) тестируется аналогичным образом, исходя из у -распределения с Ма степенями свободы. г Заметим, что тестирование с использованием нормированного квадрата ошибки оценки траекторных параметров можно проводить только по результатам статистического моделирования, а тестирование с использованием нормированного квадрата невязки можно проводить и в реальном времени в процессе работы фильтра.

6.4.4. (а-13)-фильтры В случае равноточных (К» = К) равнодискретных ((г» -г»,) =Т для любых 1) измерений параметров отсчета при неискаженном движении объекта Я = О) уравнения калмановской фильтрации существенно упрощаются. При измерении в момент А на этапе первичной обработки одной обобщенной координаты я» (я» — скаляр) в случае, если оцениваются дальность Х,о» и скорость Хеь» цели, соответствующие оценки траекторных параметров после преобразования и упрощения соотношений (6.35) — (6.41) могут быть записаны в следующем виде: Х А, » + а» (я» — А„о «) к ь»+ (х» 1~ оя) Р» (6.60) где 2(21о — 1) 6 Ц/о+1) к(/с ~-1) (6.61) 311 Соотношения типа (6.60), (6.61) получили название (а-~3)-фильтров в силу коэффициентов а» и ~3» (коэффициентов усиления), учитывающих влияние невязки измерений Ье» =е» вЂ” Х о» при коррекции экстраполированных параметров траектории Х» и Х, ».

Для оценки скорости движения цели и ускорения применяют (а-13-у)-фильтры. Их структура аналогична структуре (а-~3)-фильтров. Область применимости соотношений (6.60), (6.61) достаточно ограниченна вследствие того, что коэффициенты а» и 13» в данном случае с увеличением lс стремятся к нулю. При фильтрации результаты последних измерений учитывакггся вой с меньшим весом и, наконец, фильтр перестает реагировать на изменения входного сигнала. Фильтр становится несостоятельным и расходится.

б. Основы вторичной обработки радиолокационной информации По указанным причинам фильтр, для которого оценки описываются соотношениями (6.60) и (6.61), используется без каких-либо дополннгельных условий в радиолокационной практике только в ограниченных случаях, когда Ф не велико. Однако простота реализации (а-[3)-фильтра и небольшие требования к вычислительным мощностям обусловили большой интерес к фильтрам с подобной структурой.

Характеристики

Список файлов книги