Справочник по радиолокации (ред. Сколник М. И.) т. 1 - 1976 г. (1151800), страница 39
Текст из файла (страница 39)
(202) (203) (204) то (205) (206) Линейные преобразования т и Ф [76[. Если 0„(г, Ф) является ределенностн го функция О„(т, Ф) = Ои Огггт+ агг Ф, аг,т + аггФ) функцией нгоп- (207) Временной и чагшошный совиг. Сдвиг временной функции по времени н частоте влияет только на фазу функции неопределенности. Еслп Гл. д. Теория радиолонационньт сигналов Ю о(/)=Зг [агг [ / ехр (/2паы х [г — (агз/2)»[/)с Х ) и(у) ехр ( — /2пу [з — (а,г/2агг) уИ дуй». (208) Поворот функции неопределенности з системе координат.
Частным случаем линейного преобразования является поворот координатной системы на угол 5: О„(т, Ф) = 0„(т соз [3 + Ф з(п 5, — т з!п (3 + Ф соз [3). (209) При [3 + (н + !/2) н, и О, ~ !..., соответствующая функция определяется выражением [75[ 1 ЮО р ( — /ялг 1у 5) )" (/ (/) ах Р ( гп/з 18 О) ех Р (/ 2п/г зес [3) й/. (210) р' / сов [3 [ Другой вариант можно получить, если использовать (208)г Ю о(/)=[г [сов 5 [ ) ехр,'/2пх сов ' [/ — (Ып 0)х/2[) ЗС Х ( и (У) е»Р ( — / 2пУ [»+ (1О [3) У/2[) йУ а».
Прн [)= и/2, Ог(т, Ф)=Ои (Ф,— т) 0 и о(г)=(/(/)= ) и(х)екр ( — /2п/х)с/». (2! 1) (2!2) Пря более общем виде вращения — по эллиптическим контурным линиям— получается [49! 0„(т, Ф) = 0„(т соз [3+ (Ф/а) мп 5, — а т мп [3+ Ф соз [3), (2!8) Сумма функций неопределенности [75). Если Ои (т, Ф) н О, (т, Ф) — функцнн неопределенности, то 0„(т, Ф) =0„(т, Ф)+О„(т, Ф) также функция неопределенности прн едннственном условна, что 0„( г, Ф) = сО ('г, Ф), (215) где с — постоянная величина.
Произведение сигналов [75[. Если сигнал го (Г) = и (/) о (/), (2 16) то его функция неопределенности есть свертка в частотной области функции неопределенности сигналов и (/) и о (/): Ош(т, Ф)- !' Ои(т, /) Оз(г, Ф вЂ” /)д/. (217) Аналогично, если (у(/)= и(/) у(/), (218) 144 при !аггаз, — и,за,г[ = ! также является функцией неопределенности. Г оогьет. ствующая функций о (/) определяется выражением ЗХ Свойства 4)ункции неопределенности едальность — скорость» Ои(с. Ф) ) Ои(1, Ф)О»('с — 1, Ф)йд (219) Распространение этого свойства на функции взаимной неопределенности (27, 77) позволяет получить соотношения ш (Г) = и (Г) о (1) н д (1) = / (1) й (1)1 Вмь(т, Ф)= ~ Оиг(тг ДВ»е(т, Ф ()а(1 (221) ьь 8,»г,(т, Ф) ) Оие(ъ,?)0»т(т.
Ф вЂ” ()~Ц. (222) л(номе того, если йг (7) (2 (7) У Я н Н (7) = Р (1) д (1), (223) Оыл(т, Ф)= ) Внт(г, Ф) В е(т — г, ф) йт1 — ьь (224) Вшп(т, ф)= ) Оиг(г, Ф)бы(т — 1, Ф)йг. — О Сумма сигналов. Если ш (1)=и (2)+о(1), (225) (228) Вш(т. Фь=по (т, Ф)+0„(т. Ф)+0„„(т. Ф) Л- й„(т, Ф). (22?) Развитием приведенного выше соотношения является следу!ощее! если н и (!) = ~3„ ип (1), л = ! (228) Вь(т, ф) = ~~~~~ ~л Ви и ('г. г('). ( 2291 т=!и ! ~ 0„(т,) — ф)етл1'+">'й =и(()(2 (Ф).
(230) Эквивалентное (рааносильное! условие имеет внд Ви(т — ! Ф) егп(г+т! йф=и(1)и'(т) (23! ) 145 Формула (229) справедлива также для )( (т, Ф) применительно к 2 „(т, Ф). Аналогичные формулы справедливы для сумм частотных спектров. Необходимое и достаточное условие существования функции неопределенности (28, 75) В„(т, Ф) заключается в том, чтобы следующий интеграл можно было разложить на множители — факторнзовать — как показано ниже: Гл. 3.
Теория радиолокационных гигпплоа Аннлогичные условия справедливы аля функций взаимной неопрелеленностпг (232) Оиэ(т ° Ф)е ~т ( ()) ~ (Ф) Оно (т —.~, Ф) ег" н+"' Я) = и (!) о* (т) (233) Другую форму рассматриваемого условия (28] ма>кис выразить через коэффициенты разложения сн, определяемые формулой (87), н через коэффициенты и', „.„, определяемые (90). Функция 0„(т, Ф) — функция неопределенности ~олько н тои случае, если дщп = сшса' для всех т, л.
Другую, альтернативную, форму необходимого и достаточного условия )78] для случая, когда разложение, конечно, можно получить, если ввести в рассмотрение матрицу () с элементами адын. Тогда 8„(т, Ф) — функция неопределенности только в том случае, если ))— эрмитона матрица единичного ранга. Аналогичные условия установлены для функции неопределенности сш нала с большой базой (35), Единственность фуякцин неопределенности. Равенство 0» (т, Ф) = 0„(т, Ф) справедливо амелько н том случае, если о (!) = си (!), где ] с] = ) ]28] Для функции взаимной неопределенности равенство Окг, (т, Ф) = 0„,(т, гг) справедливо только в том случае, если й (!) = си (!) и й (!) = со (!), гле ) с] = ) ] 79) Аналогичная тсоремэ единственности сушествуетдля функций иеопргзеленнсстз сигналов с большой базой (35] Г)нумерные преобразования.
Двумерное преобразование Ф)рье о! ф)нк1ни Р (т, Ф) выражается формулой 0(г,))= ]] г(т, Ф)егз" !т! шй Ига. !2Ш) Для функций неопределенности установлено иесиолько свойств авумерных преобразований (78]: ]]' О (т Ф) 0„(т Ф) с!за <т) — шп г(тг(Ф= О„а (г, !)О л (с, !). (235) При ! = 0 и ) = О получаем (28) Ц О,(.Ф)0,.„(т, Ф)8 Ф=й„л(а,о)0* (О,О). (236) Х В более обшем виде )80) В ]] Ои (т — Ь. Ф+Л) 8*„(т + 8, Ф вЂ” Л)е' зп оз — ш!) г)тдФ Р =Они(! — 8, ) + Л) 8;л (г+8, ) — Л). (237) Частным случаем уравнения (237) является уравнение ]80] Я О» (т фб, Ф-)-Л) Р„(т — Ь, Ф вЂ” Л) !(тдФ=Оз (Ь, Л). (238) Ю З.б. Свойства функции ива«шее)еленнпсти сдальность — скоростьь При о (1) и ( — «» получаем [20) ь Я Онь (т Ф) е«тп (т! — сь«» йтйф = Ой (1 1).
(239) Двумерное преобразование функции Оь„()'2 т, [«2Ф» имеет внд [73[ н ~~ 0„,([Г2т, [с«2Ф)е«тк('1 ФнйтйФ=О«м()«21 [«с2«). ю(1)=и( — 1). СЮ 240) цря о (1) = и («) выражение (240) абра«дается в следуюшее [40[« ьь Я Ои ([«2т, '[/2Ф) е«тп !т« Ф'» йтйФ= Оно ('Ь'21, [«2«), сс(1)=и( — 1). — ьь (24 !) ~~ [ Х„(т, Ф) (*й йФ= [ Х„(О, О) [ь. Аналогичное условие соблюдается для функции взаимной неопределенности Я ( Хит ( г, Ф»»* «««Ф = Хь (О, О) Хь (О, О). (242) Обобшення приведенных выме формул приводят к выражениям [О![с а) для целых н ) ! ! [Хи (г Ф) ! йтйФ < — [Хи (О, 0) )~~; (243) ~~ (Х.,(т,Ф)(з" й Ф~ — [Х.(О,О)„,(О,Оц.
! (244» Функция О„с ()' 2 1, ьс 2)) и (24!) является деистеительиой; зта функция есть не что иное, как функция распределения Вагнера в статистической теории квантовой механики, если и (1) считать решением амплитудной части волнового уравнения Шредингера и одной переменной. Характеристическая функция [70[. На прямой линни, проходвиьей через начало координат, функция неопределенности обладает свойствами характеристической функции, т. е. О (а соз О, — а юп О) как функция а при любом фнксиованном О есть преобразование Фурье неотрицательной функции единицы пло.
ади Свойства функции ( у (т, Ф) )ь, Отметим, что »О (т, Ф)(т = ) Х (т, Ф) (ь. Объем под поверхностью )Х (т, Ф) »ь. Фундаментальное свойство функции автонеопределенности и том (см. (64К, что объем пов поверхностью [Х„(т, Ф) )ь— величяна постоянная, не зааисягцая от формы сигнала (З[с Гл. 3. Теория радиолокационных сигнолое — ы+В з+т* где а, 0д.
82, уз и уз — произвольные комплексные постоянные, причем Кесз> О. б) Для всех р ) 1 ] Ди„(т, Ф) [г» дтдФ < 1[Р[ '(!+ [Р[-г)™»1 [7„(О, 0) Ул (О, 0)]», (246) где [р] — наибольшее целое, не превышающее р. Было также показано [82[, что действительная и мнимая части функции Хи, (т, Ф) Виаеят В ОбЪЕМ ОдИНаКОВЫЕ ВКЛадЫ, ЕСЛИ И (Г) Ч О (Г) — аНаЛИтИЧЕСКИЕ сигналы. Свойство оетопргоброзоаоиия для функции ] )( (т, Ф) ]з, Квадрат модуля функции неопределенности является своим собственным двумерным преобразованием Фурье [75]: Я [ (. Ф) ]з 12л (з) — ФП,( дФ [, ( [) ]з (247) Соотношение (247) — необходимое, но недостаточное условие того, чтобы любая функция ])((т, Ф) [з была квадратом модуля функции неопределенности. Другой формой записи свойства автопреабразования [83] явлнется и [Хи (г, Ф) ]з ею~и~дт= ~ [)(и (т, р) ]зе)~и~здт.
(248) Произведения ] Ои (т, Ф) [' на производные фазы функции неопределенности также обладают свойством звтопреобразования [26]. Подобно принятому в уров. ненни (179) определим фазу функции 0„(т, Ф) через Ф„(т, Ф). Тогда дз [9 ( Ф) [з дФи (т Ф) езди 1з) шц дтдФ [9 (Г [) [з дФи (Г )) д( (249) \ й дФ Ц „т, и е т ~~ [0„(,Ф)] "(' ) е"'(" — Ф')дтдФ=[Е„(1,))[з д[ (250) ДнуМЕрНОЕ ПрЕОбраЗОВаНИЕ ФурЬЕ фуНКцИИ [Хи, (т, Ф) [' ИМЕЕТ Внд [79] зз Я [)(и (т, Ф) ]ге)зи1з) ~з) дтдФ= 2„(1, г) )(з (Г, [).
(251) — зю Другой формой записи (251) является з [)(из П Ф) [з е~ и дт'= з) )(и (т )з) )(з ('г, )з) е) д'с. (252) 148 Знак равенства имеет место при л = 1; при и ) 1 равенство соблюдается только тогда, когда и (Г) и о (Г) имеют вид и (г) е — аз*+ рз з+т. (245) Зйй Свойство функции неопределенности сдольносгь — скорость» Положс»гнельный интеграл. Можно поквзать (75), чта интеграл Я~! Хи (тг — тт, Фз — ФД )чу(ты Фз)у» (тэ, Фз) йтт йтзйФь йФз м О (253) дпя любой функция у (т, Ф) прн условии, что )Х„(т, Ф) !' обладает свойством автопреобразовання, выражаемым соотношеннем (247) Не обязательно, чтобы функцня Х„(т, Ф) была функцией неопределенности, но формула (253) справеддмва для любой функции неопределенности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
