Справочник по радиолокации (ред. Сколник М. И.) т. 1 - 1976 г. (1151800), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Таблкца1 Неииевовевие лреобрвво- вияии или своаствв Чеетотиеи область Нрепеиеев об»всеь Симметричность Сопря пенность Суммы т (аг) )а)-гз(11а) Преобразование масштаба (масштзбирова. ыве) о щ — 1 зпгв' ~У вЂ” Ф) з (1 — т) з(1) ег зпчч (12п()» 5 (1) П» с (())с((» Дифференцированно Лп З (1)/Пгп ( ( йпл)» з (1) (П п(1) ) и (т) б (1 — т) бт Умножение ы свертка (1 (Ф) У (( — Ф) с(Ф 0 (г') У(0 Формула )Уарссваля )з(1))збг= ~ )ЯЦ))з41 ов ~ и (1) О' (1) а1 лв ~ (l (/) Ре (9 ЫУ.
(и) Симметрия. Если х (1) — действительвая функция, прямое преобразова- ние которой выражается функцией Х (1), то Х( — Л=Х Ь (8) Это условие одновременно необходимо и достаточно для того, чтобы функция х (1) была дийствымльыой. Лельюавфуикция [6). Дельта-функция 6 (1) — несобственная функция, имеющая большое значение в теориы преобразований Фурье я, следовательно, в теории смгналов. Ее можно определить через ее осыовыое свойство ~ б(1)((1) бг=)(О), (10) се 107 а (1) з( — 1) 5 (1) з* (1) ап зп (1) 8 (1) 8( — () з( — й б*(-й И ~Л'.1 апов(0 и 1' (а)-' Я(1)а) ~(а() Гл. 8. Теория радиолокационных сигналов где /(!) — любая функция, непрерывная в начале координат.
В частности, прн / И) = 1 = сопз) ( — со ~ !к„оо) получаем ) ~ 6 (/) й! = 1. (!ба) Дельта-функция 6 (/) и число 1 образуют пару преобразований Фурье 6(!) -гзн!!,! Ю е'з"!! й/=6(!). (12) (/ (/) ~ ! и (!) [ ! !т !ц — зи/г)д! можно аппроксимировать путем интегрирования только вблизи точек, гле про изводная фазы равна нулю (т. е, где ф (!) — 2л/! имеет экстремум) или, изыми словами, вблизи точки стационарной фазы !, определяемой в явном виде усло- вием /=(1/2я) ф' (!,), (14) где штрихом обозначено дифференцирование. Разложив фазу ф (/) — 2п/! в ряд Тейлора в окрестности точки !, и удержав члены до второго порядка, согласно [9[, преобразование Фурье функции и (!) можно аппронсимироватаи (/ (/) [г 2л ехр / [ф (!,) — 2я/!,+ зйп [ф" (!~)[ и/4), (15) — ) и(!г) ) Иф" (/.)! где зцп (х) = х/[х[. Аналогично, если (/ (/) = [ И (/) [ е!ч !!), то и(!) = [/2я ' ехр !(Чг(/ ) +2п/г!+зцп [Ч'" (/ )[ и/4), (!6) [ и (/,) ~ '[/~ Ч" (/,) ~ где /, — точка стационарной фазы, определяемая явно выражением != — (1/2я) ! (/в).
(!7) Чтобы приближенное выражение (15) было справедливо, необходимо выполнение двух условий: 1) фаза Ч' (!) должна быть диспергирующей, т. е. нелинейной, причем приближение улучшается по мере увеличения производной [ф" (!г) [; 2) амплитуда [ и (!) [ должна быть медленно изменяющейся функ. цией в окрестности точки !, стационарной фазы. Аналогичные условия должны !08 ПРинцип стационарной фазы. Приближенные преобразования Фурье можно получить при некоторых условиях исходя из принципа стационарной фазы [7 — 11[.
Этот принцип основан на том, что положительные и отрицательные полуволны быстро осцнллирующей подьштегральной функции в существенной степени взаимно компенсируются, вследствие чего большая часть значения интеграла определяется областями в окрестностях точек, где осцилляция прекращается. Поэтому, если функция и (!) = [ и (!) [ е/ф(г!, то ее преобразование Фурье 3.2. Математическое представление сигналов и фильтров соблюдаться для Ч ([) и [ (г ([) [, чтобы приближенное выражение (16) было справедливо. Представление сигналов номплексиыми функциями [!2 — 18).
Добавление и действительному сигналу к (1) соответствующего мнимого члена )у (1) с тем, чтобы образовать комплексный сигнал з (1) = к (1) + )у (1), часто упрощает анализ радиолокационных сигналов и фильтров. После выполнения анализа в комплексной форме действительный сигнал можно получить, взяв действительную часть от комплексного сигнала Широко используются две формы комплексного представления сигналов: зкспоненциальное (нвадратурное) и преобразование Гнльберта (аналитический сигнал).
Для узкополосных сигналов, обычно применяемых в радиолокации, эти два комплексных представления практически можно считать одинаковыми. Анализ радиолоиационных сигналов и фильтров методом комплексных функций является точным при любой ширине спектра сигнала и полосы фильтра, если используется преобразование Гильберта Хотя представление в форме преобразования Гильберта служит полезным теоретическим инструментом для анализа общих свойств сигналов, оно обычно оказывается громоздким при анализе конкретных видов колебаний. При таком анализе часто удобно испол зова.ь вкспоненциальный комплексный сигнал, .соторый прост в записи, и с ~итатьь что он практичесии совпадает с г игнало е в форме прсо разования Ги яьбер ч.
Эксноненциальное (,.задратурное) представление Действи елы ый сигнал записывают в форме (!). Мнимую часть получают заменой косинуса нь синус уо (1) = а (1) з]п [2п[ьс + ф (1][. (18) Комплексное представление сигнала зо (1) имеет вид з,(!)=х(1)+[уй(1)=а(1) е '" «- « (!9) или з (1)=и(1) е) н)'', Я (20) где Х(1) — Х1 [и(1)с!хи]ь! ! иь(1)Е 1 Н)ь!! Спеитр действительного сигнала Х ()) = т), [и () — ц + и ( — ) — )„)[. Спектр коэффициента при мнимой части УЕ б = ( 1з)) [(1 ([ - [ь) — и* (-У вЂ” [ь][. Спектр номплексного сигнала вй (1) равен 3 ()) = Х([)+)У,([] = и([ — [.].
(22) (23] (24) (25) Следовательно, ЯО ()) получается из Х ([), если в (23) удвоить первое сяагаемое и опустить второе. и(1] =а(1) е'""'=а(1) +)з)1] (21) есть аанвлеиснця жодулирующая,функцця компленсной несущей едр [[2п)а([, а р (1) и у (1) — квадратурные составляющие, определяемые выражениями (2Г и (3) Для узкополосного сигнала и (П является медленно изменяющейся функцией времени по сравнению с ехр [12п)ь1[. Огибающую действительного сигнала получают, беря модуль комплексного сигнала: [ зй (1) [ = [ и (1) [ = а (1).
Экспонеициальная форма записи сигнала имеет простую интерпретацию в частотной области. Действительный сигнал х ГП можно записать в виде Гл. 3. Теория радиолокакиояных сигналов Представление е форме преобразования Гильберта, Комплексный сигнал в форме преобразования Гильберта получают, исключив отрицательные частоты из спектра действительного сигнала и удвоив оставшуюся часть: [2Х ([), [> 0; б„([)=~ Х([), [=01 (26) 0, [<0. Действительной частью комплексного сигнала является исходный сигнал х (!)' Коэффициент мнимой части определается преобразованием Гильберта походного сигнала [5[: (27) г; е Р -- главное значение интеграла Коши прн $ = !. Преобразовавве Фурье от ум (!) Рпвно )»и (О= (Кйн(!)»((!)= [(7!([О»(()).
(2и) ФУикции х (!) и Угг(!) составлают неРУ пРеобуазоваиий ГильбеРти Обратное преобразование 1 Р Ун(ь) х(!)= — — Р ) д$. 120) Комплексный сигнал е (!) х(!) + !у (!) иногда называют аналитическим, поскольку зе! (г) — аналитическая функция г в верхней половине комплексной плоскости. Различие между комплексными представлениями сигнала. Ошибку при аппроксимации представления в форме преобразования Гильберта экспоиенциальным можно определить из спектральных форм двух зтих представлений, даваемых выражениями (25) н (2б). Различие двух спектров заключается в »хвоста» ФУНКЦИИ У Е, т. Е.
тай ЧаСтв (! ()), ГДЕ ГС., †/ч. РаэааетЬ Е (!) = Зп(Г)— — зн(!) выражается функцией [! 7[: е(!)=2!)т $ (г([) е»з 1!+11!»([, (30) В случае широкополосных сигналов (определяемых здесь как сигналы, у которых значительная доля энергии, содержащейся в (! ()), заключена в области частот ! < [ч), используя комплексные сигналы, необходимо соблюдать осторожность. Анализ, использующий иомплексную модулврующую функцию, всегда точен, если она определяется выражением ин(!) = аы (!) ехр [ — !2п!»!), а не формулой (21), где предполагаетсв, что комплекснаи модуляция и (() =- = ап (!) ехр [ — !2л!ег[.
Однако получаемое в Результате выражение для итг (!), по влдимому, будет очень громоздким, что указывает иа трудности анализа очень широкополосных сигналов. Обычный радиолокациоаный сигнал является узнополосным; это означает, что действительный сигнал х (!) содержит частоты только в узких полосах, прилегающих к частоте !».
В этом случае спектр (7 ([) имеет очень малое значение ниже частоты — [ь, и экспоиеициальиое приближение к комплексному сигналу в форме преобразования Гильберта является весьма хорошим. 110 8.2. Математическое представление сигналов и фильтров Другие формы представления сигналов. Часто удобно представлять сигналы в виде взвешенной или невзвешенной суммы: < (1) =,Л~~~~ си «я (С) и (31) где со — весовые коэффициенты, а («я (1)) — система (множество) функций, аоторые являются невэвепшиными, если все коэффициенты с„равны, В простом случае сигнал з(1) можно разбить на несколько неперекрывающихся частей. Система (гя (1)) может также образовывать систему ортонормированиых функций (19).
Линейные фильтры, Действительные филыпры. Линейный фильтр с постоянными во времени параметрами можно описать частотной характеристикой (передаточной функцией) К (г). Сигнал на выходе фильтра имеет спектр (321 'т' ()) = К (г') Х ()), где Х (с) — спектр сигнала на входе фильтра. Взяв обратное преобразование Фурье от обеих частей уравнения (32), получим представление во временной об. паств — интеграл у(1)= $ д(т)) «(с — т))й»1= $ «(<Вд(! — <Вй»), (33) где й (1) — импульсная перскоднея функция фильтра«> с если «(1) — дель.а-функц ь(1), у(1) = й(г).
Комплексное представление линейны«фильтров. Комплексные фильтры с по<тониными во времени параметрамп будут описаны на основе представления сигнала в форме преобразования Гильберта. Подстановка в (32) спектров входного сигнала з(1), выходного сигнала г (1) и комплексной импульсной переходной функции Ь (1), полученных нз (26), дает (34) 2Щ=Ч Н())3()).
Взяв обратное преобразование Фурье от обеих частей (34), получим е(1)=») ~ й(т))з(1 — »))й») =<) ~ е(П)ЛΠ— трйт). (35) (361 й (В = йз«(҄— 1), где з (1) — сигнал, с которым фильтр согласован; Ть — задержка, необходимая для того, чтобы сделать фильтр фнзическн реализуемым (т. е. не выдающим отклика па своем выходе прежде, чем будет подан сигнал на его вход), а й— пРоизвольная постоянная, учитывающая усиление фильтра. Сигнал, с которым ильтр согласован, создает максимальное выходное напряжение в момент Т,, Ри теоретических исследованиях, связанных с согласованным фильтром, за- *1 В технической литературе применяются также такие термины; «импульсная характеристика фильтра», <импульспая реакция фильтра», «импульсный отклик фильтрам — Ред. 111 Согласованный фильшр — ~т льный ильт ля аы ленив сигнала ' кд ддднхдцицга болота саудсш)д„сдумд,„дрц иццрпком,мдйгробйдйпнй йр»ртердев ~ .......„.....,Й, ....,...;.......
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
