Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (с содержанием) (1151797), страница 96
Текст из файла (страница 96)
ской постоянной, а значит, и величин бал(г! и бав(г) на лучах, идущих в точ. ки А н В. Отклонение направления прихода волны от истинного направления на пель, характеризуемое углом бу, и сдвиг фаз йфлв колебаний в точках А и В связаны соотношением а1п бу= —— с бфлв ю Н полученным из простых геометрических соображений. Учитывая малость угла бу и используя формулу (20), получим г бу= — ) [ба ч (г! — 6ав (г)! пг, Г 2о о Рис. П8.1 К расчету флюктуапионной ошибки опре- деления угловых коораинат откуда г г — 1 1' (621 = —, ) ~ (бал (г ) — бав (г )! (бал (г ) — бав (г )! бг, сгг ° с о Приняв для коэффициентов корреляции зависимость вида 121), имеем — я ( — '') бал(г,)бал(г ) бав(г ) бав(гз) = (ба)'е Учитывая геометрию лучей (рис.
П8.11 и полагая среду статистически изотропной, получим далее, что бал(г) бав(гз) бал(г) бав(г) =(ба)зе После интегрирования приходим к выражению аг 3 — — гц ге го (бу)з = — (6а)з — ч1 — е 2 бз для случая, когда размер антенны много меньше характерного размера ш г~ лз неоднородности а <С г„ значение е ! — и — и среднеквадратичная о 'о ошнбка угла прихода и = 'ьг (бу)г = 1,25 й (ба)з— ч Приложение 9 (к р 5.2, б.4 и 7.б) Элементы теории разрешения пусть принимается колебание с комплексной амплитудой )'(г), которое может содержать два налагающихся случайных сигнала и помеху: Г(1)=АгХг (1)+Аз Хз(С)+АГ(С) где А,, А могут принимать значения 0 и 1.
Полным разрешением можно назвать возможность одновременного вынесения решений А, и Аз о значениях А, и А, с достаточно малой вероятностью ошибок. В ряде случаев представляют интерес более простые заключения о наличии или значении параметра одного из сигналов в присутствии случайного другого сигнала. Твк, если качественные показатели обнаружения (измерения параметров) второго сигнала остаются выше допустимых в присутствии случайного первого сигнала, будем говорить, что второй сигнал р а з р е ш а е т с я в смысле обнаружения (измерения параметров). Если, кроме того, разрешается и первый сигнал в присутствии второго, говорят, что сигналы в з а им н о р аз р е ш а ют с я.
Для разрешения, как и обнаружения (измерения), могут быть найдены оптимальные операции обработки и соответствующие качественные показатели. При разрешении в смысле обнаружения такими качественными показателями являются условные вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги 0 и г". Правило оптимальной обработки и качественные показатели 0 и г проанализируем для случая разрешения когерентных сигналов с независимыми релеевскими амплитудными множителями н равно- вероятными начальными фазами. Считая, что случайный сигнал 1 является дополнительной помекой, правило оптимального обнаружения случайного сигнала 2 найдем нз отношения правдоподобия 1 (1'(1)) = ргп ()'(1)) ао як 1 '( «В р(Е(1) Х,(1, б, В)) рз(б, В)б(), (у(1)) о где Рзгп у((Г)), Р1п()'(Г)) — плотностя вероятности реализации )'(Г) при наличии и отсутствии второго сигнала; Х,(Г, (), В) = ВХз(Г) егй — случайная комплексная амплитуда второго сигнала; ре((), В) — плотность вероятности совместного распределения его случайных параметров.
534 П. и Чтобы воспользоваться ранее полученными результатами, перейдем в (1) от плотностей вероятности к отношениям правдоподобия, вводимым для вспомогательного случая обнаружения флюктуирующего первого сигнала иа фоне одной помехи йг(г) (без мешающего второго сигнала) [ 1'(О)— Рп [ )'(1)) где Рн [Г(Г)) — плотность веРоЯтности Реализапии )'(Г) пРи Условии наличия одной помехи. Тогда Р„[Р(1) — Х,(1, [), В)) 1, [Е(1) — Х,(1, б, В)), Рхп [1 (О) (г [) (О! Здесь (з[)"(Г)/[), В! — отношение правдоподобия еще для одного вспомогательного случая — обнаружения второго сигнала с известными параметрами р, В на фоне помехи (без первого сигнала): [у(1)[бВ)Рп[1(Г)Хз((рВ)) Ри [Г(1)1 Отношение правдоподобия 1г[)'(1)) в соответствии с изложенной теорией обнаружения флюктуирующего сигнала на фоне белого шума и правилом вамены квадрата интеграла двойным интегралом будет 1г [1'(1)! = — ехр да ( 1 Гр Д Р Х, Х, Ф Э,+Уе ~4Уо(Эг+Мо) 33 Ю Отношение правдоподобия для сигнала с известными параметрами 1а [1'(Г) ! [), В) может быть найдено из выражения где следует положить и г у= — 1'(Г) е(м~ г+ — уь(1) е гм г 2 2 1 х = — ВХ(1) е) 1~' +Р~ + — ВХ е (1но г+Р> е г 2 з Если при этом пренебречь слагаемыми с быстрооспиллирующими множите- аями в подынтегральном выражении, получим.
1 ~")' 4|г(ч~р,в~--р (- — [ г(у-вхгу ")(гг>— 2г)о ~ ОО вх юа е)а — [ г<ог <~>а~). В результате выражение (1) приводится к виду: з а«в анв 1= — ~г(В Ве пе ~' е б[) о о П. 9 535 яли аналогично [(17), $3.8) 2 г,„, д)з ~е эз зив+~э е Эзэкв+ д)о (2) Здесь Езв — результат оптимальной обработки сигнала 1 е„,= — / ( у(пм яя/, 2 Ф (3) Эзаяв эквивалентная энергия полезного сигнала, которая эффективно используется в присутствии мешающего, 1 Г 1 Г Э „= — ~ Х (О)(ь (1)г(1 = — ~ )((ПХ (1)г((, 2,) 2,~ (4) )7(() — функция, описывающая правило оптимальной обработки, (Ю Х.(1) )7(О=Х (() — — ~~ Х (з)Х, (з) и .
Эь+ Ме 2,) Функция Я(() в общем случае не совпадает с Хз((). Равенство Я(()= =Хз(Г) имеет место только в том слУчае, если сигналы Х,(г) и Х,(() О ортогональны, т. е. когда интеграл ) Х (з)Х~ (з) аз обращается в нуль. В Отношение модуля. этого интеграла к квадратному корню из произведения интегралов от квадратов модулей Х, ((), Х,(Ц называется ко эффи цне итон кор р ел яцн и этих сигналов ! Ю ) Х (з) Х~ (з) пз (6) р— (Хд (з) ~з г(з ) ~ Хз (з) 1з г(з Ю Эз энв Эт — =1— рз Э Э+И (7) Чем меньше р, тем больше эта часть, т.
е. тем лучше разрешаются сигналы. При одинаковых 2Эз экв йзкв й(е (8) 536 Если Х,(() и Хз(() отличаются только временным запаздыванвем и допплеровской частотой, определение (6) приводит к соотношениям 6 6.3. Проводя анализ качественных показателей обнаружения прн обработке согласно соотношению (3), нетрудно проверить, что качество обнаружения определяется энергией Эз „,т.е. эффективно используется ч а с т ь в с е й э н е р г й й Эз, определяемая величиной отношения 2 1 2 вкз— 2 (9) 2 Дополнительное интегрирование по х на апертуре / практически может быть осуществлено с помощью ми о гоэле ментной антенны яли жеантенны с одним выходом, имеющей эквивалентную диаграмму направленности. Минимум последн е й при оптнмальном обнаружении источника колебаний 2 д о л ж е н быть направлен на источник колебаний / (44,69,90, 96, 102, 152, !82, !87, 190).
Приложение /О (к 9 6.И) Функция Эйлера Функция Эйлера ф(л) равна количеству пели х чисел, включая единицу, меньших числа л, взаимно прас т ы х с л, и определяется выражением вр(л)=л (1 — — ) (1 — — ) ... (1 — — ), где а, (! = 1, 2, ..., з) — простые множители, на которые разлагается число л, т. е. л=а'ав... а,', ! ! ! 2 где 1! — показатели степени прн простых множителях. Например, 63=3зху. Тогда !р(63)=63(1 — в/э) (1 — в/в)=36, т. е. в совокупности от 1 до 63 содер- жится Зб чисел (включая единипу) взаимно простых с числом 63! 1, 2, 4, 5, 8, 1О, 11, 13, 1б, 17, 19, 20, 22, 23, 25, 26, 29, 31, 32, 34, 37, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47, 50, 52, 53, 55, 58, 59, 61, 62.
Значения вр(л) для л = 2м — 1 при т < 10 даны в таблице: П. 1О можно обеспечить одинаковые вероятности 0 и Р как при отсутствия, так я прн наличии сигнала х,(!, 5, В). Подобные же соображения могут быть развиты и для п р о с т р а нст вен но го р а з р е ш е н и я, которое осуществляется, например, при приеме сигналов на некоторой линейной апертуре — 1/2< х < 1/2. В зависимости от расположения излучателей в пространстве, на отрезке / соз.
дается определенное р а с п р е деле н не п ол я, На зто поле накладывается поле шумов теплового излучения со спектральной плотностью й/в, которое часто можно считать изотропным. Информация о наличии излучателя 2 в присутствии флюктуирующего излучателя / (и наоборот) может быть полученапутемзнализа напряженности поля как функ- и и и д в у х п е р е м е н н ы х г(/, х). Как показывают расчеты, аналогичные приведенным выше, этот анализ сводится к взятию интеграла: ф(л)=л — (л +л — л, )=л ~ 1 — — ) 111 — — /1. Приложение П (к р 8.4) К расчету характеристик обнаружения случайного сигнала прн корреляционной обработке Проанализируем выражения [(5) — (7), 4 8.4).
В ссылках на й 8.4 используем запись (5*), (7') и т, д. В случае отсутствия сигнала входные напряжения у, г (!) определяются выражениями (4*), а г=г„=О. В силу независимости помех различных каналов имеем: у,(!) у,(!) = О. По втой же причине у,(!) у,(з) у, П)у,(з) = =(1-<-т ) (1+ 7 ) лг (!) лг(з) л, (!) лз(з) . Используя (2*), иаходям тт г„=Р! Рз ( ) рз(! — з)б!бз. <1) во При этом в квадратной области интегрирования О <(!, з) < Т пик звтокорреляционной функции р(! — з) приходится на прямую ! = з. Поскольку за пределами пика, имеющего ширину порядка 1/П (( Т, эта функция очень быстро спадает до близких к нулю значений, то пределы интегрирования по одной нэ переменных, например по !, можно растянуть на бесконечные.
Вводя за. лену переменной ! = з + т, получим гт = Р Р )г )г рз(т)г<тбз=Р, Рг7 ) рз(т) Пт. о— <2) В случае наличия сигнала в соотношениях(б),(7) следует заменить функции у,,з(!) их значениями по формуле (1'),При этом в силу независимости соответствующих случайных процессов подынтегральное выражение формулы (8*) будет у,(!) уг(!) = л,(!) лз(!) + ха(!) л,<!) + +х,(!) лз(!) + х,(!) х,(!) =х,(!) х,(!) . Используя (Зь), преобразуем его к виду у, <!) у, (!) = (/ у' Р) уз (!) р (О) = 1у/ Рг ут Рг тз з К ! з +, +. Тогда нэ выражения (8*) получим гон= УЭ,Эа. (3) П.
!! Фврмулу (1) поясним для случая, когда л а," а". Тогда количество меньших или равных л чисел, делящихся беэ остатка на а, и а, соответственно будет л, = л/а, н л =л/а,. В состав как л,, так и л, чисел, войдут числа, одновременно делящиеся на а, и а, в количестве л,,з = л/а,а„в частности само число л.
Поэтому количество чисел (включая единицу) меньших л и взаимно простых с л, т. е. не делящихся ни на а1. ни на а,, будет равно У!,2 где Э1 2 Р, 2 Т ' †значен энергнн полезных сигналов в кана! + 71, 2 лах, выделяемой за время Т на сопротивлении ! ам. Аналогично, сохраняя лишь отличные от нуля слагаемые я используя (Зь), подыытегральное выражение формулы (7') приводим к виду рг(1) р~ (3) рз (П Ыэ (5) = л, (1) л, (з) я, (1) л, (з) + л, П) л, (з) «, (1) «, (з) + + хг (1) 21(з) лз (1) лз (5) + 21 (1) хз (1) хг (3) хз (3) =Р,Р, !+71+72 р (1 — з) + х1(1) хэ (1) х1 (з) хз(з) . (4) ((+71) (!+72) Здесь произведение х,(1)х,(1)х,(з)х,(з) ые может быть непосредственно разбито на произведения незавнснмых величин. Поэтому для вычнсленяя его мэтематнческого ожидания требуется специальное рассмотрение.
В силу оговоренной выше компевсзцвы взаимных временных н фазовых сдвигов сягхэ (1) хз(з) валов справедлива пропорция — =- —,откуда хз(1)х1(з)=хэ(з)х,(Г). Исках, (1) хт(з) мое математнческое ожидание произведения х,(1)хз(1)х,(з)х,(з) приводится тогда к виду х1(1)хз(з) нлн в других обозначениях к 21хз. здесь мгновен. 2 2 2 2 ные значения случайных функций 22(1) и хэ(4 рассматриваются как случайные величины х, я х„Представим прн этом случайную величину хз как линейную комбянацыю случайной величины х, я незавнсимого с ней случайного приращения хе =ах, +и, считая, что математические ожидания всех этих величин равны нулю. По принятому условию независимости корреляционный момент йх1 = Х1 Х, (х,— ах,) х, = О, откуда а= — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
