Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (с содержанием) (1151797), страница 94
Текст из файла (страница 94)
О После изменения порядка дифференцирования н интегрирования ее можно привести к виду бм-~ р(У )=е в — ф(В,Ух)~ )в мь где г В!(! — /2ю ф(В,у,)- — ! ' е ' "аз. ° ° т. ) В Чтобы установить вид функции ф(В,их), не проводя интегрирования, заметим, что при М 1 В Ь, Ух Ч,р(их)=р(т)), Определяя р(т)) из со. отношения (2), получим ф(Ь, Ч) р(Ч) е = — е чьз!з(т/2ЬЧ). ь 1 — 3 2 (6) Тогда ф(В, и ) — е ~~~~ 1, (у 2ВУ ). Значит, искомое распределение величины Ух ) 0 будет вх1 -(в+ — з~ „м-1 р(и,) = — е ' —, 1, (Угвих), (7) куда после дифференцирования следует подставить В=МЬ=М(дз(2). Заметим, что м ! ( (Угвик) ' (м !(Угви,).
(8) В справедливости (8) убедимся, используя метод математической индукции. Полагая, что (8) правильно определяет (М вЂ” 1)-ю производную, вычислим М-ю производную ,!м и м!з М 1 Фвм — ь(к~~О )- — Р„,!гяуру~ — . ~„„,(Г~~~,!1. !2В1 у'~вин Сна же в силу изеестнвге рекуррентногосовтношениядляфункцни Бесселя М вЂ” 1 1м (х) (м ! (х) — — „!м ! (х) свидится к (8), если там М вЂ” 1 заменить П.
4 621 на М Поскольку выражение (8) справедливо для М = 1, оно справедливо для М = 2, 3,... и т. д Тогда, подставляя (8) в (7), окончательно найдем выражение для плотности вероятности напряжения иг = и на выходе сумма тора при наличии сигнала и помехи: При уровне порога ип ! „условные вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги будут 2 2В порог р 1 Г им-' е О/з би. 2м(М Ц! ) ворог (12) Среди табулированных математических специальных функций имеется так называемая неполная функция Торонто: Т (и, п г)=2г" ~+'е ' /м "е /„(2г/)гу.
(13) Сходство структуры выражения (13) для втой функции и ранее получен. ных выражений (11), (12) становится особенно явным, если произвести замену переменной / = у'1//2. Тогда оказывается, что 0= ! Та (2М 1 М 1 Т/В)' Р= ! — Тн (2М вЂ” 1, М вЂ” 1, О), (! 4) где В = Муз/2, а величинасс = зГиноро /2 подбирается так, чтобы обеспечить заданное значение г условной вероятности ложной тревоги. При б о л ь ш и х 0 можно обойтись без исвользования функций Торонто. В самом деле, в соотношении (9) перейдем к новой переменной у, являющейся разностью между случайной величиной р/и и ее математическим ожиданием й.
для етого положим и = (й+ у)' и найдем ,!и / 6+у тг2В'1 м Реп(У)=Ран(и) — =У2В ~!+ — ) Х бу '1 р' 2В -["+~ + 1 х е /м — ! !у'2В(А+у)). 622 1 ~и з -!В+ з) р(и)=р,.(и)= — ~ ~ ' е ' /и !(У2Ви), (9) 2 2В где В=М(дз/2). В случае, когда действует одна помеха (у=О), обобщенное релеевское распределение (1) переходит в релеевское, а в выражении (9) необходимо раскрыть неопределенность при В=О. Замечая, что при х О зна- 1 /х1м — 1 чение /м ! (х) = ~ — ], получим (М вЂ” П! ~ 2! им-! р,(и)= „, 2 (М вЂ” 1)! е-и/з (и > О). ( РО) Воспользуемся далее аснмптотнческнмн равенствами, справедливыми здесь в силу сделанного выше предположения, 1 1аг ! (х) = е (х.'э 1), Р 2пх (1+ 5) = е(~ (5 (( 1). Соотношение (!5) преобразуется тогда в следующее: а+У вЂ” У' 2В ! Р „(У) ж ехр (М вЂ” —  — — (а+у)«+3 2В(5+у)~, г'2В 2 которое с точностью до величин порядка г/4«приводится к форме нор.
мального закона с нулевым математическим ожнданнем: — у /э Рсп (У) = —,= е '!7 2п Для этого достаточно приравнять нулю ноэффяцнент прн у: М = — 8+ У' 2В=0, У«'2В откуда М вЂ” 7 ! 5=1/2В+==~'И!4+ — ~, У' 2В (17) Тогда величина Р может быть рассчитана как для сигнала с полностью нз- вестнымя параметрамя: Реп (У) Г(У порог где подынтегральное выражение определяется в соответствии с (16), а (18) 1 Упорог=г ()порог У М (Ч+ ) (19) Приложение 5 ('к 9 4.3) Расчет послеопытной среднеквадратичной ошибки с учетом эффекта ложных тревог Расчет проведем для случая нзмерення временн запаздывания сигнала со случайной начальной фазой прн фиксированной реалнзацнн почехн.
В соотнетствнн с [(!2), (14), $4.2) посл«опытную ошибку оценим по формуле П. 5 523 Пользуясь (18) я (19), можно определять 0 прн известном значении (7««орос, Для определения (упоре« по заданному значению Р используются таблйцй Е А Слуцкого («Табляцы для аычксленяя неполной Г-функцнн н функцня вероятности )(«». Изд. АН СССР, !950) н Дж.
Пэчаряса (см приложение к книге «Современная радяолокацняэ, Изд-во «Советское радио», 1969) Расчет по формулам (!8) — (19) дает хороший результат уже в случае М = 1, который был тщательно рассмотрен в (34). (а — а' )з р (м) /а ~ ) е э (а>/м, огх о/а а'— Тз па=ай +(1 — р) —. 12 /У~~ г/~ (2) Выражение (2) имеет физический смысл взвешенной дисперсии. В нем Т'/!2 н 1/П,чэ представляют собой дисперсии ошнбнн, когда послеопытное распределение вероятностей равномерное нлн нормальное,что соответствует толь.
ко шумовой дорожке нлн только пику. Величины р н (1 — р) характеризуют соответствующие вероятности отсчетов с большими клн малыми ошибками. /2л(п)'! Чтобы найти этн величавы, следует сравнить значения ~/э [ — [г(сс в пре. г/э делах шумовой дорожки н пнка. Учитывая, что в пределах шумовой дорожки укладывается много элементов разрешения, заменим искомый ннтеграл произведением интервала интегрирования Т н математического ожидания (среднего значения) /о (рп) =) /о (ям) Р (н) зп. о Здесь и=22/д/э — нормированная величина, подчиняющаяся закону Релея, зл р(и)=не "/т, а /,(о)= — ~ е"'о'а 33. переходя от полярных координат 2п,) о и,В к прямоугольным $=и сов 3, з)=и з!и й, получим чв1 чз /ч(ди) — [ щ ~ е пг)=ее 2п,) (3) В пределах пика, учитывая опущенный в [(4), 5 4.3Я шумовой член, получим 524 П.
3 Доопытную плотность вероятности Р(а) примем равномерной в пределах интервала 1ге[ < Т/2, значительно превышающего интервал разрешения, н равной нулю за пределами этого интервала. Энергию сигнала считаем не зависящей отсе, т. е. Э(п) = Э, Тогда интегрирование ведем в пределах шТ/2, а сомножителя р(п) нехр[ 9(а)/й/э) выносим за знак интеграла н сокращаем. Зависимость /е(22(а)/й/в),определяющая значения интегралов н в числителе, н в знаменателе, прн д )) 1 имеет резко выраженный пнк н подавленную шумовую дорожку (см. рнс. 4.9). С уменьшением о шумовая дорожка сказывается сильнее н сильнее (см.
рнс. 4.!О). Отношение площади ) /э(22(гз)/Д/э)г(а на рис. 4.9, 4.10 для шумовой дорожки к аналогичной суммарной площадн шу. мовой дорожки н лика назовем коэффнпиентом ненадежн о с т н и з м е р е н н я н обозначим р, Используя [(5), 2 4.3[ н аппрокснмируя пик гауссовой кривой, выражение (1) сведем к 22(а) Г 1 з =д'~! — — П (а — а чт) 1+чч, оо (4) где ч — нормальная случайная величина с дисперсией единица и математи- ческим ожиданием нуль Поскольку пик соответствует одному элементу раз- решения, усреднение по ч не ил~ест места.
Используя [(5), 5 4.3) и пренебре- гая при этом изменениел~ знаменателя, получим дзот (22(а) ) д*+рч 1 ~ — з' (а — а,нч) шнк) = — еч +ч". 1 езП, (5) В соответствии с (3) и (5) находим Теч Гз Н= Теччз.( (!аз Пз) еч'+чч (6) Используя (6), проанализируем (2). Как следует из (2), в случае ТП, » 1 уже очень малые значения Н) О резко увеличивают отношение о /а~о, здесь о =11П 4 соответствует Н=О.
Интересуясь поэтому только малыми Н, а з з получим =!+ „Т П,е, о' 1 оо !2 Н ТП чае ччэ е зч (8) В частности, для фиксированной реализации помехи возле пика, соответствую- щей значению ч = О, найдем оз (ТП,)э °, — =1+ — да е оз 12 (О) Приложение б ('к р 5.11) Качественные показатели обнаружения при независимых флюктуациях элементов сигнала Проанализируем качественные показатели обнаружения при независимых флюктуациях элементов сигнала, например применительно к приему н а р а з н е с е н н ы х ч а с то т а х, иогда в соответствии с приложением 2 при достаточном разносе частот Ью значение рнер(йы) О. и.
а 525 Отношение оз/оо Резко наРастает по меРе пРиближениЯ д к некотоРомУ поРоговому значению. При ч < О нарастание будет еще более резким, чем в рассмотренном случае ч= О. Однако слишком большие по абсолютному значению отрицательные ч следует исключить из рассмотрения, так как сигнал при этом не обнаруживается. Рис.
4.11, который качественно характеризует пороговый эффект, рассчитан для наиболее вероятного значения ч = О, Лля сигнала с независимыми флюктуациями о п т и м а л ь н ы м видом последетекторной обработки является к в а д р а т и ч н о е с у м м и р ов а н и е. При этом плотность вероятности квадрата каждой из амплитуд независимо флюктуируюших сигналов распределена по экспоненпиальному 1 - я/зчз закону р(т)) = — з е о (з)>0) как при отсутствии, так и при наличии 2чзо сигнала Однако если при отсутствии сигнала дисперсия ч может быть при- 2 пята за единипу (как в К1), приложение 4) прн э = 0), то при его наличии в соответствии с [(8), 9 3.18) она увеличивается в (1 + йз/2)=(1+Э/г/) раз, Тогда величина условной вероятности ложной тревоги Р может быть вычислена из соотношения [(12), приложение 4).
Величину условной вероят. ности правильного обнаружения Р можно будет найти из аналогичного соотношения, отличающегося заменой (/ в подынтегральном выражении на (//чо, 2 где чо = 1 + Э/г/э. Заменяя (//чо з= З, получим ()= йы ' е й/зг(й 2м (М П1,) 2$, или, после интегрирования по частяы, м жч 1 1) е — 1,~~ ~г — ! — о !=! (2) где (3) 2 (1 + Э/Д/о) Вероятность Р ложной тревоги можно найти из тех же выражений (2), (3), полагая в них Э = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
