Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (с содержанием) (1151797), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Но именно оптимальный приемник дает наивысшую вероятность Р при заданной вероятности г". Значит,и оптимальный фильтр этого приемника при заданных условиях дает отношение сигнал/помеха, наивысшее по сравнению с другими линейными фильтрами. Ввиду важности ряда полученных соотношений, приведем еще одну форму записи для случая, когда используется комплексная амплитида Р(1) высокочастотного напряжения и (1) = =Йе [П(С) е/'л1с'[. Заменяя Рис.
3.21, Амплитудно-частотные спектры радипимпуль- са 1к(1) 1 и егп огибаюшеа 160)1 где 6()) — спектральная плотность комплексной огибающей сг(г) ~ 4~(1)е-1ап1гйу (21) На рис. 3.21 для сравнения показаны амплитудно-частотный спектр радиоимпульса )дД) ~ и спектр его огибающей (6(у) !. Легко видеть, что для соответствующего этому рисунку случая достаточно большой несущей 1а спектральная плотность — 6(à — ге) ДлЯ /)О, 1 — ОД+Ге) для у с,О. (22) С ) )6(1) 1аЕгтп1 <г — и-гойг=-2$Ус(1) (Ю (23) Выражение (10) можно свести тогда к виду аГ (Г) Яу (1) (Е!тпп а — а — ГЛ +Š— /тп1 а — и-Ге1)= 1 с с 2 = йт,(1) соз2п) (1 — а — 1,). (24) В соотношении (24) (к',(1) — огибающая напряжения на выходе оптимального фильтра; считаем, что В',(1) = Ф.
Это справедливо, 4а1О 119 Учитывая (22), вернемся к соотношению (!0). Разобьем интервал интегрирования в этом соотношении на два, от — подо 0 и от 0 до со, выражая одновременно дД) через бД) согласно (22). Заменяя ) + )е = )' в первом интеграле и ) — )е = )" во втором и учитывая ограниченную протяженность функции 0(1), обозначим если амплитудно-частотный спектр (6(7) ) симметричен", т. е.
) 6( — 7) ! = ( 6(7) 1 В соответствии с формулой Эйлера из (23) получим )Ггс(г)= — 1 (6()))асоз2а)(г — а — () <Ц. (25) 2 ) Ф Соотношение (25) позволяет оценить форму вершины огибающей на выходе фильтра. Для большинства важных случаев можно воспользоваться приближенным разложением соз 2пу(г — а — га)в окрестности максимума соз 2а) (у — а — Га) = 1 — — (2н) (1 — а — (а))а, ! 2 откуда )атс(() = СЭ [1 — — П~ (1 — а — (в)а~, ( 2п)о (7) (а «7 Пг Ф ()й(/)) «! Ю (26) (27) где Приведенные соотношения справедливы, если ( 6())~ убывает с ростом )7 ~ быстрее чем 1(() ), и интегралы сходятся (что не соблюдается, например, для прямоугольного радиоимпульса).
В тех случаях, когда приведенные соотношения справедливы, вершина импульса на выходе оптимального фильтра (рнс. 3.20) имеет в силу (26) параболическую форму н тем уже, чем больше величина П„. Величина П, имеет размерность частоты, она тем больше, чем шире спектр сигнала, и может быть названа поэтому вффекгпивной шириной спектра сигнала.
Как показывают формулы (26), (27), чем больше П„тем острее вершина огибающей сигнала на выходе оппшмального фильтра. Дифференцируя сопряженный с (21) интеграл Ю П (1) = ~ 6 (7) е""" Щ, получим ' Последующие формулы (26) — (28) справедливы и для несимметричного амплитудно-частотного спектра (см., напримео. (24 961], 120 5 3.10 Ю П'(()= ) 12п16())е)т"и4, В что дает возможность трактовать выражение ) 2п(6(7)( в числителе (27) как модуль спектральной плотности У'(().
Тогда по теореме Парсеваля СО ]' (и'(Ори П2 ~ ]и(0ра 00 (28) Величину П, не следует отождествлять с полосой П„на какомто общепринятом уровне (0,7; 0,5; 0,46 и т. д.). Как следует из 34.3, для колокольного радиоимпульса полоса П, = у'пП„, где τ— полоса на уровне 0,46; она соответствует уровню е — "ч' = 0,08.
Для другой формы импульса этот уровень может быть иным. й 3.11. Пример оптимальной фильтрации колокольных радноимпульсов без внутриимпульсной модуляции фазы колебаний и (1) = е — "' соз 2п1ь 1. (1) В результате пребразования Фурье можно найти спектральную плотность этого импульса д(1) =со]Š— ь П вЂ” ~ П+Š— ЬО+ НН] (2) Гя где йь = — Ь' —, Ь = —, т.
е. для колокольного радиоимпульса амплитудно-частотный спектр как в области ) ) 0 (первое слагаемое), так и в области ( (О (второе слагаемое) также является колокольным, а фаза-частотный спектр — нулевым (в случае задержки импульса на т — линейным с угловым йдэффициентом, зависящим от т). ЬВ м~, ыоь Гз Оптимальный фильтр можно подбирать либо по частотной, либо по импульсной «арантеристике, взаимосвязанным между собой. Для простых сигналов без внутриимпульсной модуляции фазы широко используемые фильтры в виде паласовых каскадов УПЧ близки к оптимальным.
Обратимся поэтому вначале к анализу возможности оптимальной фильтрации для четырех моделей сигналов без внутри- импульсной модуляции фазы: 1) одиночный колокольный радиоимпульс; 2) когерентная пачка таких импульсов, т. е. ограниченная последовательность радиоимпульсов, жестко связанных по фазе; 3) одиночный прямоугольный радиоимпульс; 4) когерентная пачка прямоугольных радиоимпульсов. Первые две из этих моделей рассматриваются в данном, две остальные — в следующем параграфе.
Одиночный колокольный радиоимпульс описывается выражением вида )а я) ((го Сгу ! 'р (яггапт Я! л л„ п„(Я ту г, . у о уа ~ хт .Га а) ф ф Рис. 3.22. Амплитудно. частотные: спектр ! д()) ! колокольного радиоимпульса (а), характеристика ! Кент(!) ~ оптимального фильтра (б) и спектр выходного радиоимпульса (в) для ! > О 1 Вводя уровни отсчета длительности т„импульса — и полосы Пн ! амплитудно-частотного спектра „вЂ”,, приходим к уравнениям откуда а= — )п !(, 4 2 ти Ь= — ')п !.
Пт и КД)=К(~,+т — ) = 1 Е-/агсгк т 2 ) 1+)т Гг!+та Тогда для л-каскадного усилителя К ф Ка(~ ! т ~) ~ 1 е — /пагс!ят Поскольку полоса многокаскадного усилителя существенно уже полосы одного каскада, полагаем на интересующем нас участке резонансной характеристики ч (( ! и заменяем 1 =!— (.е — те=е- *, а агс(д» = т, откуда 122 Ь 3.11 1 ! В частности, если уровни отсчета — = —, = е ' =0,46, то т„П„= !. Ы г(' Чтобы построить о гтимальный фильтр для колокольного радио- импульса, нужно использовать линейную систему с колокольной амплитудно-частотной и линейной фазо-частотной характеристиками.
Такие характеристики имеет многокаскадный резонансный усилитель с настроенными на общую резонансную частоту ~в колебательными контурами. Введя полосу контура П и относительную расстройку используем известное выражение нормированной )ус передаточной функции одного каскада «(( — б)й «(( — и> К„Д) =е (пл(' ( е Таким образом, при перемножении резонансных характеристик одиночных контуров приходим практически к колокольной амплитудно-чаетотной характеристике с полосой, обратно пропорциональной корню квадратному из числа каскадов, и к линейной фазоеой характеристике, определяющей задержку в усилителе, тем большую, чем уже его полоса и больше число каскадов п.
При соответствующем подборе результирующей полосы такой резонансный усилитель является оптимальным фильтром для любого заданного колокольного радиоимпульса. Импульсная характеристика о(1) этого усилителя, будучи преобразованием Фурье от частотной, также является колокольной (по крайней мере при п -» оо), что обеспечивает ее «зеркальность» по отношению к сигналу. По мере увеличения и эта характеристика сдвигается вправо по временной оси в соответствии с условием реализуемости: о(() = О при 1 ( О. На рис.
3.22 показаны: амплитудно-частотный спектр )у(Д ( = = е "1((»1( 1 колокольного радиоимпульса для ~) О, амплитудно-частотная характеристика (К,„,(() ( =е "1((-(»)(п»1' оптимального фильтра и амплитудно-частотный спектр (К,„,фйД)~=е (" ) =е ("»((э) (( импульса на выходе этого фильтра ( — = е 4 (. Существенно, что полоса частот сигнала при оптимальной фильтрации сужается в у'2 раз, за счет чего в у'2 раз увеличивается длительность выходного радиоимпульса по сравнению с входным.
Когерентная пачка колокольных радиоимпульеое иллюстрируется на рис. 3.23, а, где показана последовательность однотипных импульсов и(1 — йТ), й = О, 1, 2, ..., сдвинутых по отношению к соседним на одинаковый временной интервал Т, называемый периодом посылки. На рис. 3.23, б иллюстрируется возможность формирования соответствующей оптимальной импульсной характеристики линейного фильтра. Последний образован в результате последовательного соединения двух звеньев с частотными характеристиками КЯ) и К«(/).
Первое звено представляет собой описанный выше резонансный усилитель, согласованный по полосе пропускания с одиночным импульсом. В режиме снятия импульсной характеристики (т. е. при воздействии на вход 6-функции) на выходе этого фильтра с определенной задержкой образуется колокольный отклик, соответствующий ожидаемому импульсу. Второе звено представляет собой неискажающую линию задержки с отводами и общим сумма- В» 1»3 Т а) б) 1 тит т в) Рис. 3.23. Когереитная пачка колокольных радиоимпульсов (а), оптимальный для иее фильтр (б) и процесс оптимальной фильтрации пачки (в) 124 тором.
На выходе сумматора в режиме снятия импульсной харак. теристикн можно добиться получения нужной пачки колокольных радноимпульсов за счет выбора расположения отводов, их числа и коэффициентов передачи. На рис. 3.23, в иллюстрируется результат оптимальной фильтрации когерентной пачки колокольных радионмпульсов; показаны пачки импульсов п11(1 — 'ПТ), снимаемые с отводов линии задержки н отличающиеся от поданной на вход пачки увеличенной в 1/2 раз длительностью каждого импульса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
