Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (с содержанием) (1151797), страница 17
Текст из файла (страница 17)
3,!. Простейший стрелочный обнару- житель «В з . ивов Считаем, что величины х, у и п за время наблюдения не меняются. Ожидаемое значение сигнала х точно известно. Закон распределения случайной величины а также известен; далее его будем считать нормальным (гауссовым). На рис. 3.2, а показаны плотности вероятности случайной величины у при условиях отсутствия сигнала А = А, = О и его наличия А = А, = 1: р(у(А,)=р„(у), р(у(А,)=р„(у). (2) Здесь индексы «п» и «сп» указывают иа различие математических выражений р„(у) и р,„(у) при наличии одной помехи и наличии сигнала с помехой.
Кривая р„,(у) сдвинута по отношению к кривой р,(у) на постоянную величину х. Математически это можно записать так: Действительно, участки оси у, для которых А*(у) = 1, определяют площади под кривыми р,„(у) и р„(у) подобно тому, как это показано на рис. 3.2, а; участки, для которых Ав(у) = О, при интегрировании все равно дадут нуль. Выражение Π— 1,р,соответствующее весовому критерию, может быть тогда представлено в виде 0 — 1 Р= ') р (у) А" (у) [1(у) — 1]йу, (5) О (у) Рсп (У) Ря (У) (6) где Согласно весовому критерию оптимальной является такая система обнаружения, которая обеспечивает максимум интеграла (5). Чтобы выполнить это условие, достаточно для каждого у добиться наибольшего значения подынтегрального выражения за счет выбора решающей функции А" (и). Эта функция принимает только два значения: О или 1, так что подынтегральное выражение либо обращается в нуль, либо умножается на единицу.
Чтобы достичь наибольшего значения всего интеграла в целом,достаточно обеспечить наибольшее значение подынтегрального выражения для каждого у, поэтому полагаем: 1) Ав(у) = 1, если подынтегральное выражение при этом положительно; 2) Ав(у) = О в противном случае. Поскольку плотность вероятности р,(у) не может принимать отрицательных значений, то оптимальное правило решения задачи обнаружения может быть записано в виде 1, если 1(у) ) 1„ О, если 1(у)(1,, (7) Величина 1(у) = р,„(у)/р (у) называется отношением (или коэффициентом) правдоподобия. Отношение правдоподобия представляет собой отношение плотностей вероятности одной и той же реализации у при двух условиях: когда действует сигнал и помеха и когда действует только помеха.
Оно характеризует, какую из гипотез о выполнении указанных взаимоисключающих условий следует считать более правдоподобной. Как и обе плотности вероятности, отношение правдоподобия не может выражаться отрицательным числом. Решениео наличии сигнала принимается, если отношение правдоподобия превышает пороговую величину 1„в противном случае принимается решение об отсутствии сигнала. Итак, критерием оптимального обнаружения может служить критерий отношения правдоподобия, являющийся следствием общего критерия минимума среднего риска. Этот критерий наиболее удобен для практических расчетов.
80 й З.я Поскольку еще не было использовано предположение о законе распределения помехи, проведенное рассуждение пригоднодля про- извольного закона распределения. Если же помеха описывается центральным гауссовым распределением со стандартным отклоне- нием и, и дисперсией по, то при отсутствии сигнала, когда у = а, г (8) )Уй и, а при его наличии )у — к) 2 ) 2лг р (и)== е ' ° Р йяи, (9) При этом отношение правдоподобия будет )д — к) 2 20 2 .кг ку 2 2 е е 2лз лв 1(у) = 10) У' 2 е 2лв 0 Уо У Рнс. 3.4, Кривые условных плотно. стей вероятности рв(у) р и(у] и график оптимальной решающей функ~~опт(у) Рис.
3.3. Зависимость отношения правдоподобия от результатов наб- людения 4Вл З ависимость 1(у) для х > 0 показана иа рис. 3.3. На оси ординат отложено пороговое значение 1,. В силу монотонного хода кривой условие 1(у) > 1, эквивалентно и > уе, а 1(у) ( 1, — условию у ( уе (рис. 3.3). Тогда при х > 0 1, если д>да, (1 !) О если у(уа. Отсюда видно, что первоначально принятая решающая функция г,в Ф а уу уу Ряс. 3.5. График интеграла вероят. ности.
Ряс. 3.6. Кривые обнаружения В [)+Ф( )~ (! 3) (рис. 3.2, б) была неоптимальной. Чертеж с оптимальной решающей функцией, аналогичный рис. 3.2, представлен на рис. 3.4. В нем не отбрасывается участок площади под кривой р,„(у) правее точки у, (рис.
3.2), что увеличивает вероятность О. Величина же вероятности Р при гауссовой статистике возрастает в существенно меньшей сте- пени и соответствует при этом площади под кривой р„(у) (рис. 3.4) правее абсциссы у,. Величину у, будем называть порогом. При задан- ном уровне помех условная вероятность ложной тревоги г" зависит только от величины у,: и где Ф(и)= ~ е Я дз у'Б, — интеграл вероятности, график которого представлен на рис. 3.5. о Таким образом, величину порога можно выбирать непосредстве- н по заданному уровню вероятности ложной тревоги, что соответ- н- ствует критерию Неймана — Пирсона.
Это позволяет избегать уче- та априорнык (доопытных) данных о наличии или отсутствии сиг- нала при реальном проектировании аппаратуры. Условная вероятность правильного обнаружения 0 соответствует площади под кривой р,„(у) правее абсциссы у,: 0 = ~ р„(у) ду = — ~ е ~ дз = — [! — Ф (»вЂ” 'к )~ Ыя (у, - ю нь или, в силу нечетности Ф(и! = — Ф( — и), окончательно При заданном уровне помех н, величина 0 зависит не только от порога у„но и от величины ожидаемого сигнала (рис. 3.6). Зависимость 0(х) может быть построена качественно из анализа площади под кривой р,„(у) на рис. 3.4 и количественно — в соответствии с соотношением (!3).
В частности, при х = О значение 0 = г", при х = у, значение 0 = О,б, при х )> у, значение 0 ж 1. Чем выше уровень порога у, и меньше условная вероятность ложной тревоги г, тем больше кривая 0(х) сдвигается вправо. При этом для обеспечения той же вероятности 0 требуется больший уровень полезного сигнала.
Кривые, изображенные на рис. 3.6, носят название кривых обнаружения. Вопросы отыскания оптимальных решающих функций н построения кривых обнаружения, рассмотренные выше на простейшем примере оптимизации, явятся в дальнейшем важными разделами теории обнаружения реальных сигналов. й З.З. Постановка задачи оптимального обнаружения реальных сигналов Реальные сигналы являются функциями времени. Поэтому в отличие от рассмотренного в $ 3.2 простейшего примера, результирующее колебание на входе приемника (т.
е. еще неискаженное в его электрических цепях) имеет вид у (1) = п (1) + Ах (1, а, р), (1) где н(1) — колебание помехи на входе (нли пересчитанное на вход) приемника, представляющее собой стационарный случайный процесс с известными статистическими характеристиками; А — дискретный случайный параметр, принимающий значение Оили1; х(1, а, р) — известная функция времени и параметров а, р, описывающая ожидаемый сигнал с учетом закона его модуляции, метода обзора пространства и т. п.; а — фиксируемый при обнаружении параметр или совокупность парамцгров ожидаемого сигнала (время запаздывания, допплеровское смещение частоты и т.
п.). При обнаружении цели в диапазоне дальностей (скоростей) для каждого фиксированного а этого диапазона нужно обеспечить принятие оптимального решения; р — случайный нефиксируемый при обнаружении параметр или совокупность р» ~ь ... таких параметров (начальная фаза сигнала, его амплитуда, совокупность начальных фаз н амплитуд сигнала, состоящего из отдельных посылок). Поскольку при обнаружении эти параметры не фиксируются, задается плотность вероятности их распределения р(р) или р(р„ ()„ ...).
Наиболее существенной задачей теории оптимального обнаружения является отыскание закономерного решающего правила прнй 3.3 93 нятия решений о наличии или отсутствии цели (А* = 0 или А* = 1) в зависимости от вида функции у(Г), т. е. отыскание дискретного функционала Аоп. = Аоц.! у (~)! (функционалом называют переменную величину, значение которой зависит от вида функции). Если решение принимается для различных значеиийа в некотором диапазоне их изменения, то необходимо найти А,„, как функцию а А,„, (а) = А,„, (у (Г) ! а). Критерием оптимальности может служить критерий минимума среднего риска, либо вытекающий из него более удобный весовой критерий, не требующий непосредственного использования доопыт.
ных данных о наличии или отсутствии цели. Наряду с указанной задачей в теории обнаружения решаются задачи установления практически приемлемых принципов построения (синтеза) аппаратуры обработки сигнала, которая будет работать в соответствии с оптимальным решающим правилом, и оцен. ки качественных показателей обнаружения, аналогичных рассмот.
ренныч в $ 3.2. При написании формулы (1) имелось в виду, что зондирующий сигнал не изменяется под воздействием принимаемых колебаний у(~), так что функция х(г, а, 1)) от у(~) не зависит. Со случаем, когда параметры зондирующего сигнала меняются в процессе приема реализации у(1), выходящим за пределы поставленной задачи н относящимся к последовательному анализу, мы встретимся в 3 5.3 и 5.5. $3А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
