Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (с содержанием) (1151797), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Это соответствует экрану амплитудного отметчика: чем больше расстояние до цели, тем дальше сигнал от начала развертки. В силу соотношений (2) — (4) получим ) о,а+ 1о — з) у (з) еЬ = С ) и (з — а) у (з) аж (5) Равенство (5) тождественно выполняется, если о (а+ ( — з) = Си (з — а). Вводя новую независимую переменную 1 = а + (о — е, получаем окончательное выражение для импульсной характеристики оптимального фильтра: о(().= о,„,(1) =Си((о г) (6) где С и го — постоянные, определяемые его параметрами. Выражение (6) показывает, что импульсная характеристика оптимального фильтра получается из функции и(1), описывающей сигнал с нулевым временем запаздывания, путем замены в ней аргумента г на го — г.
'Такоепреобразованиесоответствует зеркальному ~о отображению функиии и (1) относительно прямой Г = — '. Действи- 2' ~о тельно, проводя замену переменных 1 = — ' + $, получим (~о 1 ~) С (~ю й) что свидетельствует о зеркальном преобразовании (6) относительно прямой —. Зеркальная импульсная характеристика оптимального ~о 2 ' фильтра (рис. 3.18, а) обеспечивает наилучшее обнаружение сигнала на фоне белого гауссова шума. Постоянные С и (о позволяют учесть практические особенности оптимальной обработки. Коэффициент С учитывает возможность выбора произвольного коэффициента усиления, в соответствии с которым выбирается уровень порога, обеспечивающий заданное значение условной вероятности ложной тревоги (зависимое или независимое от времени запаздывания).
Постоянная г„ также произвольная в определенных пределах, выбирается из условия реализуемости так, чтобы отличные от нуля значения импульсной характеристики располагались в области 1 > 0 (рис. 3.18, 6). Напряжение на выходе оптимального фильтра с учетом (3) и (6) может быть представлено в виде (7) 1!2 М' 1 оа„т/С/-е/еа-Г/ паптуг/.л(семин-1) самин/х Ряс. 3.18. Примеры построения импульсных характеристик оптнмальных фильтров по заданному сигналу С целью найти амплитуду этого напряжения в функции времени перейдем к комплексной записи аналогично [(!2), 2 8.8): у(з)= — У(з)е '+- е (з)е-! 1 1 2 2 и (уе — ! + з) = — б'(уе — 1+ з) ел'ам — '+'! -(- 1 2 -(- — Ц' (! — 1+ з) е - мм и — '+'1 ! 2 иг (1) Иl (1) е/ми+ ьу* (!) е-/ее г.
! ! 2 2 После подстановки в (7), пренебрегая быстро осциллирующими подынтегральными выражениями, находим комплексную амплитуду на выходе оптимального фильтра: Иу(1) — — Се — 1"'аи ~ У'(1 — г-(-з) у(з)!(з, (8) откуда амплитуда колебания в момент отсчета !е + а будет ()т (1 + а) = — С ~ 0' (з — а) е'(з) йз 2 (9) Замечая, что 0(з — а) = Х(з) — комплексная амплитуда ожидаемого сигнала, убеждаемся, что амплитуда сигнала на выходе оптимального фильтра определяет модульное значение корреляционного интеграла, необходимое при оптимальном обнаружении сигналов со случайной начальной фазой (амплитудой и начальной фазой).
Таким образом, построив оптимальный фильтр по сигналу с произ. 5 зах. !гав 113 или оагр Рис. 3.!9. Структурная схема одноканального фильтрового обнаружителя для когерентных сигналов с неизвестным запаздыванием вольно выбранной амплитудой и начальной фазой, маисно осуществить оптимальное обнаружение сигналов с любыми начальными фалами и амплитудами, даже отличающимися от выбранных. Итак, амплитуда напряжения на выходе оптимального фильтра в момент а + ге представляет собой с точностью до множителя величину 2(се), которую и требуется сравнивать с порогом для каждого испытуемого времени запаздывания. Чтобы перейти от мгновенных значений напряжения иа выходе фильтра к амплитудным, следует предусмотреть в оптимальном обнаружителе детектор огибающей.
Полученный вывод очевиден, поскольку фаза напряжения на выходе оптимального фильтра при случайной начальной фазе сигнала также случайна. Информацию о наличии сигнала дают поэтому только огибающая и пропорциональное ей напряжение после детектора. Это напряжение должно сравниваться с порогом, уровень которого подбирается с учетом коэффициента передачи С. В результате один канал оптимальной обработки (рис. 3.19) позволит производить обнаружение сигналов с неизвестной случайной начальной фазой, отличающихся временем запаздывания.
Выражение (8) можно записать еще в виде ИГ(1) = — ) 1г(з) к',п,(1 — з) йв, Г (10) где У „ (1) = СеУ' (1 — 1) е Умь гь (11) — комплексная амплитуда импульсной характеристики о,„, (1). Умножив обе части равенства (11) на еУ ° ' и взяв реальйую часть, легко убедиться в соответствии (11) выражению (6). 9 3.10. Частотная характеристика, отношение сигнал/помеха и форма вершины импульса на выходе оптимального фильтра Наряду с импульсными характеристиками фильтров весьма широко пользуются их частотными характеристиками.
Частотные характеристики особенно удобны при анализе фильтрации в резонансных системах, но могут быть использованы и в других случаях. !14 $ 3.10 Частотную характеристику Кф линейной цепи (в комплексной форме) определяют, подавая на вход цепи гармоническое колебание у(1) = е1'"1'.
Напряжение на выходе будет 1о(1) = К())е1епи и частотную характеристику определяют как отношение К())= — 11 при у(()=е'~"1'. у(0 Используя [(3), 33.9[, получим К ()) е/гл/! ) о (1 з) е!ели Дз Поделив обе части равенства на множитель е1г"1' и произведя замену переменных ( — е = т, найдем выражение частотной характеристики в виде преобразования Фурье от импульсной характе- ристики К Д) = ) о (т) е-1'"1т ат. (2) Пользуясь соотношением (2), определяем отсюда частотную характеристику оптимального фильтра СО К„, ф = С ~ и ((, — т) е- м" 1' йт, ( или после замены переменных г, — т = г ОО К„,()) =Се-""1' ~ и (() ем"1'Ж СО (3) Отсюда частотная характеристика оптимального фильтра К„,В= Сй ())е-" (4) дД) = ~ и(г)Š— 1'"1'Ж Воспользуемся записью спектральной плотности через ее модуль и аргумент й ф = [д (~) [ е! е а<11, (6) 5Ф 115 с точностью до произвольного вешественного множителя С и множителя запаздывания е — 1'"1" описывается сопряженной спектральной плотностью д" Д) ахсидаемого сигнала, где спектральная плотность где модуль ~у111 ~ соответствует амплитудно-частотному спектру ожидаемого сигнала, а аргумент ага д()) — его фазочастотному спектру.
В сопряженном спектре модуль тот же, а аргумент имеет проиг тивоположный знак, и потому г Коо, Д) =С(у(7)(е — 1 "е ее»е — и пс (7) из Беря от обеих частей равенства (7) модуль и аргумент, можно перейти к амплитудно- и фаза-частотным характеристикам оптимального фильтра. Амплитудно-частотная характеристии, и .из ка оптимального фильтра !К„,(7)!=С~у(7)( (8) пропорциональна амплитудно-частотному спектру ожидаемого сигнала. Оптимальный е =се "Ее фильтр наилучшим образом пропускает рве. з.йо.
нвломеввв спектральные составляющие, наиболее максимумов гвриоввче- сильно выраженные в спектре. Слабые свих состввлвмшвх оо- спектральные составляющие по авляют- подавляютходе фильтра орв оо - сЯ, в пРотивном слУчае наРЯдУ с ними мальвой фвзо-частотвой пройдут интенсивные составляющие помехарактеристике хи в широком диапазоне частот. Форма амплитудно-частотного спектра на выходе фильтра искажается, что является одной из причин искажения сигнала. Однако задачей фильтрации является не точное воспроизведение формысигнала, а наилучшее выделение его на фоне помехи. Фаза-частотная характеристика оптима ьного фильтра агдК,„,4)= — агд Я) — 2п11, (9) складывается из аргумента спектра ожидаемого сигнала, взятого с обратным знаком, и аргумента задержки — 2п1'1о. Чтобы убедиться в целесообразности такого выбора фаза-частотной характеристики, найдем сигнальную составляющую напряжения на выходе фильтра, зная спектральные плотности сигнала и(1 — а) на входе д(7)е — 1хтв и на выходе К о,(1)д(1)е — ('л1в.
По принципу суперпозиции напряжение полезного сигнала на выходе фильтра в произвольный момент времени с учетом временного множителя еух"1' будет < Шо (1) — ) К фу (7) Е.-12л1о Епт~ ЛГ 116 й зло Подставляя выражение (4) для К с,(7), приходим к соотношению ш, (1) = С ) ( д (7) Р ела и' " — —" с(! (1О) которое является спектральным аналогом предшествующего выражения [(7), $ 3.9! при у(в) = и(в — а). Используя формулу Эйлера и учитывая нечетиость функции яп2я1(1 — и — 1,), окончательно находим сс и, (() = С ) 1д (1)1а соз 2п1' (1 — а — (с) с(1 . (1! ) с Как видим, напряжение на выходе оптимального фильтра, являясь наложением гармонических составляющих разных частот, определяется амплитудно-частотным спектром сигнала.
Оно не зависит от фаза-частотного спектра, так как последний компенсируется фаза-частотной характеристикой фильтра. Поэтому все гармонические составляющие одновременно достигают амплитудных значений в момент времени 1 = а + гс и эти значения налагоются друг на друга (рис.
3.20). В этот момент времени имеет место максимум напряжения выходного полезного сигнала 1сс маис = шс (а+ (с) = С ~ ~ св Й! 4 (12) В силу теоремы Парсеваля ) 1д())1ад7= ) иа(г)аг'=Э (1 3) этот максимум определяется величиной энергии входного сигнала (14) 117 % з.ю При отступлении от оптимальной фаза-частотной характеристики, последняя не компенсирует фазовых сдвигов, максимумы гармонических составляющих (рнс. 3.20) раздвигаются, а пик суммарного колебания полезного сигнала начнет рассыпаться.
Это ухудшает условия обнаружения сигнала на фоне шумов. Отношение максимального значения сигнала к эффективному (СРЕДНЕКВаДРатИЧНОМУ) ЗНаЧЕНИЮ ПОМЕХИ Ш,„а„,/1С„,„, НаЗЫВаЕтСЯ отношением сигнал!помеха по напряжению. При спектральной плотности мощности М ()) на входе фильтра средний квадрат напряжения помехи на выходе будет Й...=ш'(() =~)у (!) 11К...О1М (15) с или для белого шума У(/) =У, с учетом (8) Поскольку спектральная плотность вещественной функции вре мени д( — /) =й'(/), то [й( — /) [=[у(/)[, а с с 2 с 2 ь с.
т. е. !васка ~ т/ Усд. Отношение сигнал/помеха на выходе оптимального фильтра по напряжению ыс макс СЭ '~/23 (17) салака с 1/! и 3 1' 2 и(1) 1/(1)е! алп с [ г/с(1) е — !ал1с с 1 . 1 2 2 и подставляя (!9) в (5), получим й (/) = — О (/ — 1с)+ — О (/+ /с). 2 2 (19) (20) 118 $3.10 зависит только от энергии полезного сигнала и спектральной плотности помехи У, и не зависит от формы сигнала. То же справедливо и для отношения сигнал/помеха по мощности (18) пска с Ои один из линейных фильтров не может дать отношение сигнал/помеха большее, чем оптилшльный фильтр. В противном случае, заменив им оптимальный фильтр, можно получить ббльшую вероятность правильного обнаружения Р при заданной вероятности ложной тревоги г'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
