Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (с содержанием) (1151797), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Методика решения задачи оптимального обнаружения реальных сигналов По аналогии с примером оптимизации (3 3.2), рассматривая статистические вопросы обнаружения, необходимо найти подходящий способ сопоставления вероятностей различных реализаций колебания у(г) при наличии или отсутствии сигнала. Одним из наиболее простых путей в этом направлении является введение предположения о спектре сигналов и помех, ограниченном некоторой наивысшей частотой )„,„„величину которой в дальнейшем можно будет вы. брать пройзвольно большой н снять тем самым наложенное ограничение.
Известно, что для функций с ограниченным спектром спра. ведлива теорема Котельникова, позволяющая представить функции. у(1) в виде одной из разновидностей разложения в ряд по неслу. чайным функциям ~р„(Г) со случайными коэффициентами уь. у(О=Ху Ф и) (1) з4 й 3.4 В данном случае у„= у(га) — это значения функции у(т) в дискретные равноотстоящие моменты времени (а — — АМ()т = О, ~!, ~2, ...), где Лà — интервал дискретизации, связанный с граничной частотой 1 И=в 2(макс (2) а зра(т) — это сдвинутые между собой на время бг функции вида а1п л цт а(п оп(макс (! (и) Ф (!)= оп)макс(! (и) (3) Как видно из рис, 3.7, при суммировании сдвинутых во времени . з(пк и измененных в ул раз функций — значения этих функций в момент времени т= га, все, кроме одного, обращаются в нуль, а это последнее значение будет у„= у(га).
В промежуточные моменты времени сумма ряда и описываемая ею функция у(!) совпадают потому, что сумма ряда не испытывает заметных колебаний во времени, поскольку она не содержит спектральных составляющих, период которых менее — = 2б!. Развернутое доказательство ! (макс дано в приложении 3. у~с/ Используя теорему Котельникова, различные реалиув ут уг Ул вации непрерывной функции .ле о лг глс Алс е у(Г) можно свести к многомерным случайным величинам = (ут* Уы " ) Область Ув гатт т определения этих величин ~м называют многомерным пространством. Известно, что одномерные случайные ве— 7 — т' зтл гзтг ре-ле Рис. 3.8 Пояснение понятия плотности аероятности реализации у(Г) 95 Рис.
З.7. Пояснение теоремы Ко- тельникоиа где Н' = йу)йу»..., а область интегрирования соответствует всем возможным значениям величины У. Составляя весовой критерий П вЂ” 1,Р, находим  — 1,Р= $ р„(У)(1(У) — 1,)А*(У) Л', (У) где 1 (у ) Рсв (1 ) Рв(1 ) (6) — оп)ношение правдоподобия для многомерной случайной величины. Как и в 9 3.2, максимум весового критерия достигается при опп»имальной решающей функции 96 й 3.4 личины хзрактеризуются точками на прямой у„двумерные — точками на плоскости у,, у„трехмерные — точками в пространстве у„у„у,.
Многомерное пространство понимают как некоторую абстракцию, наглядно иллюстрируемую с помощью трехмерного, двумерного (плоскость) илн одномерного (прямая) пространства. При этомточку многомерного пространства понимают как условное наименование реализации коэффициентов разложения ум При непрерывном распределении вероятностей каждую реализацию у„у„... можно характеризовать своей многомерной плотностью вероятности р(у„у,, ...). Умноженные на ау, ау» ... этн плотности характеризуют совместную вероятность реализации первой одномерной величины в пределах между у, и у, + йу„ второй — в пределах между у, и у, + йу, и т.
д. Поскольку величины у„ у», ... однозначно определяют всю кривую, то величина р(у„ у„ ...) йу)йу»... представляет собой вероятность попадания реализации кривой у(1) на <дорожку» (рис. 3.8), определяемую интервалами задания днскретов у„< у ( уд + ау„. Более кратко многомерную плотность вероятности р(у„у„...) будем обозначать р(У), а соответствующие условные плотности вероятности при наличии одной помехи р„()г) и сигнала и помехи р в(У). Дискретный функционал А* [у(Г) ) переходит в дискретную функцию А<(У), как и ранее, принимающую в зависимости от )г два значения: О или 1. Выбор наилучшей решающей функции А,„,()'), т.
е. наилучшее разбиение многомерного пространства на области А* = О и А* = 1, представляет собой ближайшую задачу теории обнаружения. Решая эту задачу по аналогии с 9 3.2, найдем выражения 0 и Р для произвольной функции А*(1'): 0= ~ р„()г) А*(У') Л', (4) Р= ~ р„(У)А*(У)Л', )У) )' 1, если 1()'))1ы ~ О, если 1(К) -1,, где 1, — пороговое значение отношения правдоподобия, обычно выбираемое в зависимости от заданного уровня условной вероятности ложной тревоги. Принимаемое колебание у(1) с неограниченным спектром описывается многомерной выборкой К тем лучше, чем меньше интервал дискретизации И, т. е.
больше граничная полоса аппроксимации ! )„„„, = —. Поэтому можно считать, что в пределе при о1-~О определяется искомый функционал (1)( ) ) 1 если 1(У(1)!а))10 ( О, если 1(у (1) ~ а) ( 1„ (8) где 1(у (1)~а) )пп Рсп 1 ! ! Рп (г ) (9) В соотношении (9) параметр сс вошел только в числитель, так как при отсутствии сигнала плотность вероятности реализации У от параметра сигнала а не зависит. Описанная методика решения с использованием теоремы Котельникова не является единственно возможной, но в силу своей простоты наиболее удобна для первоначального изучения.
9 3.5. Статистика флюктуациониой помехи Методика оптимизации обнаружения(5 3.4) предусматривает наличие сведений о.статистике помехи, на фоне которой производится обнаружение сигнала. Одной из основных и простейшей с точки зрения математического анализа является флюктуационная помеха (флюктуационный шум).
Эта помеха наводится в приемной антенне, либо создается во входных элементах приемного устройства за счет теплового движения электронов в сопротивлениях, дробового эффекта в электронных приборах и т. п. При воздействии на узкополосную колебательную цепь случайные толчки помехи вызывают налагающиеся переходные процессы, тем более продолжительные, чем уже полоса Л1 (рис. 3.9). В каждый отдельный момент времени налагается большое число случайных воздействий и мгновенные значения флюктуационного шума в соответствии с центральной предельной теоремой подчиняются нормальному (гауссову) закону.
Зтот закон можно экспериментально наблюдать, снимая с помощью фотоэлемента распределение яркости экрана осциллографа, на вертикально отклоняющие пластины которого подана флюктуационная помеха при выключенной горизонтальной развертке. На экране при этом наблюдается свет- $ З.Б 97 Рнс. 3.9. Случайная реалнзання помеха на выходе резонансного усилителя, настроенного на частоту 1е лая вертикальная черта, яркая в центре и темная по краям. Распределение амплитуд иедетектнроваиного шума, как и распределение амплитуд мгновеннвгх значений, соответствует простому заюну Релея Я 2.12).
При подаче такого шума на вертикально от» клоняющие пластины при выключенной горизонтальной развертке наблюдается светлая вертикальная черта с несимметричным распределением яркости; наибольшая яркость соответствует наивероятнейшему значению амплитуды. Структура реализаций шума (рис. 3.9) зависит от характера переходных процессов в цепи, с выхода которой снимается этот шум. Чтобы описать структуру, достаточно снять кривую авто- корреляционной функции шума, например, с помощью схемы (рис.
3.10). В ней предусмотрены: задержка флюктуационного напряжения на произвольное время т; перемножение задержанного и незадержанного колебаний, например, путем встречного включения диодов с квадратичными характеристиками, на которые поданы полусумма и пол уразность перемножаемых напряжений ~ 1 — )— Гл, + пз'Р 2 !лд — лзЛ! — ) 1 = п,п;, наконец, усреднение во времени, которое 2 приближенно осуществляется с помощью интегрирующей цепи типа )тС. В результате для каждой фиксированной задержки т недетектированного шума получим величину, которую можно принять за истинное значение корреляционной функции )т' (т) = п (1) п (! — т) =! пп — 1 и (1) и (! — т) йу (1) г-~.
Т,! о с тем большей точностью, чем больше период усреднения по срав- 1 нению с —. По заданному распределению спектральной плотности мощности помехи УД) корреляционную функцию напряжения стационарного шума, поданного на сопротивление 1 ом, можно найти из соотношения 98 й з.з го И(т) = ~ Лг,(1) сон 2п/тг(Л о (2) Если шум действует в полосе от О до 1м,я, со спектральной плотностью Л/о, то )о ( ) Лг 1 агп 2Я(маис т йп(маис т 00 Й (т) = Л', ~ соз 2п(тг(/ = — ' 6 (т), о (4) где 6(т) =.
~ е""'г(1'. Последняя обладает свойством (6) Она обращается в бесконечность при т = О и в нуль при т ~ О. Рааеерлгки ряс. З.ге Схема осциллографического наблюдения корреляционной функции флюктуационной помехи откуда видно, что чем шире полоса, пгем быстрее ослабляются корреляционные связи помехи (длительность переходных процессов меньше). В предельном случае Г„,„е -г- оо имеем шум с равномерным распределением мощности по спектру.
По аналогии с белым светом, также имеющим равномерное распределение по спектру, такой шум называют белым. Корреляционная функция белого шума имеет вид дельта-функции Для отыскания многомерных плотностей вероятности р„(у„ у„...) реализаций дискретов Котельникова (у, = п„уа = и„...) «квазибелого> шума (спектр равномерен лишь в пределах конечной полосы 0 < ( ( (м,к,) существенно установить корреляционные моменты (ковариации) отдельных дискрет Уь Ус = У (го) У Я = )С ((ь — (с).
где "а 2 р (у ) — Е с (макс Г'японо (макс го ьл =~у — е "' . (9) - / а! н, 1/ .м. Б. ОТНОШЕНИЕ ПРАВДОПОДОБИЯ И КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ОБРАБОТКА КОГЕРЕНТНЫХ СИГНАЛОВ 5 3.6. Отношение правдоподобия и простейший корреляционный обиаружитель для сигнала с полностью известными параметрами Наиболее простой пример вычисления отношения правдоподобия относится к случаю, когда ожидаемый сигнал х((, а) не имеет неизвестных параметров, Тогда при условии наличия сигнала и помехи принимаемое колебание у(1) отличается от случайного колебания шума на известную функцию х((, а): 100 $ з.а Считая, что дискретизация производится в точном соответь — ( ствии с шириной спектра помехи, имеем (а — 1,=, откуда >[макс Ып п ((с — () Уа У! = о /ыакс = Л( (7) Таким образом, различные дискреты (й ~ () оказываются между собой некоррелированными, а дисперсия произвольной дискреты может быть найдена как произведение спектральной плотности Фс на полосу („,„с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
