Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (1970) (1151796), страница 95
Текст из файла (страница 95)
м,»р — Рфа,,ь е„-~и[ ~~- ()т т '1 л=! 2 2/ + ~~~', )~ ~М ехр ~ — 1Ф соз [О„+(т (т+т)] ] М ( ехр [1Ф соз (0~+2()]), (2) п~ 1 При написании (2) учтено, что математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин.
Если, кроме того, учесть, что при равномерном распределении случайных величин 0 в интервале 0 — 2п зл М [ехр [ — 1Ф соз (0+ 0 )]] = [ ехр [ — [Ф сов (0+ 80)] р (О) д0 = l~ (Ф), О П 1 получим )с(~) )с(~)=МУ, 2Ф ~1~ — ~+(М~ — М) 1 (Ф), 2 1 где lо(Ф) — функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Полученное выражение можно упростить, полагая среднее расстояние между блестящими точками 2п р/М)~ Хо и йт ф 1. Тогда в соответствии с асимптотическим представлением lо (Ф) можно пренебречь вторым слагаемым и получить, что '4др Й (т) = М 1о (Ф()т) = М1а Йт ~ )~о откуда нормированная корреляционная функция ( 4др Ркор(т)= 1о ~ Йт =~ 1о(пЬРдт), Хо где 2 4йр А Рд = (аг мако — Уг мнн) [ИР— ( — 42Р)) * )~о Хо Х Приложение 2 ('к р 2.И и 5.11) Корреляция вторичного излучения на разных частотах для системы блестящих точек, случайно распределенных по окружности Аналогично приложению 1 найдем корреляционный момент случайных напряжений Щ~) и Щ,).
Не ограничивая общности, можно положить 1 = О, Корреляционный момент можно тогда записать в виде 4лр 4пр где Ф1= — 1, Фа — — — (1+ 6Д. Выделяя из двойной суммы М слагас с емых, имеющих одинаковые начальные фазы в экспоненциальных сомножителях, и вычисляя математические ожидания, получим соотношение Р (Й1 1а) = М lо (Фз Фд)+ (М вЂ” М) Уо (Ф1) lа (Фа) в котором при (2пр/М))~ Х вторым слагаемым можно пренебречь. Тогда кор. реляционный момент будет функцией разности частот 1а — ~т = 61. Нормированная корреляционная функция будет Ркор (б1) =1о ~ б1) ° 4пр с Пралпжение о' (к ~ 3.4) Теорема' Котельникова Рассмотрим класс функций у(() с ограниченным спектром, которые могу~ быть представлены в виде интегралов Фурье: 1макс у(1)= ~ д(г) е' " г(г.
1макс у) ~ч),~ р е ~ к (1~ 1макс), (2) где макс О Г д )як (аГ21макс) 1,н а= 2г„акс ~ й1( е (3) 1макс Сопоставляя (3) с (1), получим Тогда ~о (д ~ч~~ (~ д1) — 12к (ало 1 а1 а= — оо (4) где И=1/2~макс. Подставим в (1) выражение (4) для функции у, (1), равной д (г) в пределах интегрирования — Цакс <г<гмакс. Изменим порядок интегрирования и суммирования. Интегрируя далее множители вида е) ~ ~ в пределах от †бамако до ~макс, приходим к выражению з'" 12л1макс (г 1аИ у (1) = >; у (й ~1) /г= — оо Ммакс (1 — 1й) соответствующему теореме Котельникова, в котором 1ь=йМ.
На интеРвале — Гмакс < 1,< бамако фУнкЦиЯ Дй может быть заменена пеРи. одически продолженной функцией д,(о с периодом 2Гмакс, совпадающей с ней на участке интегрирования. Эту функцию можно представить в виде ряда Фурье: Приложение 4 (к ~ 3, 19) Качественные показатели обнаружения при квадратичном суммировании некогерентных нефлюктуирующих сигналов Пусть плотность вероятности некоторой величины У > 0 соответствует обобщенному закону Релея: ч'+и' р (У) = У/, (дУ) е (1) как это имеет место на выходе линейного детектора при сигнале, наложенном на шум (дисперсия шума принята здесь за единицу). Тогда для квадрата этой величины У~ = т) нетрудно найти плотность вероятности й/! 1 р(т)) =Р (У) ~ = — 2 /о (д 1/т)) е 2 ) 1„„,.; (2) и характеристическую функцию 0(з)= ~ е"яр(т)) й)= ~е"~/'р(У) с(У.
ОО о (3) При написании (3) использовано соответствующее (2) соотношение р(г))й)= =р(У) (У. Подставляя значение р (У) из (1) в (3) и используя выражение модифицированной функции Бесселя ((2а), 2 2.12), получим "г '~Г 1 Г~" — 2 П вЂ” /2)+чи р 0(з)=е ч /2 — ) ) е УЖ/и'(). 2,/,/ о о (х — Оан 2а,(р 1 где а=, приведем выражение для 0 (з) к виду 1 — 12з ч /2 П-/гз~ 0(з)=е 1 2з — — е ае — д'/2 — Ь аЬ ~2 где Ь= —, а= 2 1 — 12з Зная характеристическую функцию 0(з) величины т) =У', нетрудно найти ее и для суммы М таких независимых величип: 1+ 2+ "'+ Л1 ° Переходя к новым переменным интегрирования х=.У соз 1), и=У з!и р и замечая, что Полагая д=сопз1 и перемножая характеристические функции слагаемых, получим Ох (з) =е л'~ али е"~~~ или (М вЂ” ! О (з)=ае ",, е !(в Тогда нетрудно найти плотность вероятности для напряжения Ух, равную 1 Г р (Ух) = — О (и) е '~'е'дз, После изменения порядка дифференцирования и интегрирования ее можно привести к виду (М вЂ” ! р(Уд)= е — тр (В, У ) ! н=лть (4) где 1 Р ев/(! — Р~) )с! тр(В,Ух)= — ~, е ~ дз.
2л .1 1 — 12з Чтобы установить вид функции ф (В, Ух), не проводя интегрирования, заметим, что при М=1 В Ь, У =т1,р(Ух)=р(т1). Определяя р(т1) из соотношения (2), получим 1 Ф (Ь, 1) =р (1) е"- — е — ч!'7, (,/'2Ь 1). 2 (6) Тогда Ф(В,Ух) — е ~ У,(~ 2ВУ ), 2 Значит, искомое распределение величины У~ > О будет т!д 1 — (в+ —,(и-! р(У,)= — е ' ~ —, ~, ®2ВУх) куда после дифференцирования следует подставить В МЬ=М(да/2). Заметим, что ,( и-! У л! !У (3/ У ) = У !м,ы2ВМ, (8) В справедливости (8) убедимся, используя метод математической индукции. Полагая, что (8) правильно определяет (М вЂ” 1)-ю производную, вычислим М-ю производную' Сиа же в силу известного рекуррентногосоотношениядляфункции Бесселя М вЂ” 1 ~л! (л) = г,и ! (х) — — !л! ! (х) сводится к (8), если там М вЂ” 1 заменить П.
4 521 на М. Поскольку выражение (8) справедливо для М = 1, оно справедливо для М = 2, 3,„. и т. д. Тогда, подставляя (8) в (7), окончательно найдем выражение для плотности вероятности напряжения Уз = У на выходе сумма. тора при наличии сигнала и помехи: и-! г„и) р (У) = ро„(У) = — ~ — ) е /з! ! ()/2ВУ), (9) 2 2В где В=М (дз/2).
В случае, когда действует одна помеха (у=О), обобщенное релеевское распределение (1) переходит в релеевское, а в выражении (9) необходимо раскрыть неопределенность при В=О. Замечая, что при х — 0 зна- 1 !' х '!л! — ' чение / (х) = ~ — ~, получим (М вЂ” 1)! !, 2 Ум — ! рп(У)= м е / ((l > О). 2 (М вЂ” 1)1 (10) При уровне порога Упорно условные вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги будут 2 ~2В. порог Р= 1 Ул! ! е г!/з Ж/ 2 (М вЂ” 1)! (12) порог Среди табулированных математических специальных функций имеется так называемая непол на я функция Торонто: 7 (гп и г) 2гп — т+! — г' ~ (т — и — 1' / (2г() Д! а о (13) Сходство структуры выражения (13) для этой функции и ранее полученных выражений (11), (12) становится особенно явным, если произвести замену переменной / = )/ У/2.
Тогда оказывается, что /7=1 — Т (2М вЂ” 1, М вЂ” 1, )/В), к=1 — Т„(2М вЂ” 1, М вЂ” 1, 0), с(У / й+у — т/ 2В '! м р,„(у) =р,„(У) =)/2В ~1+ ~ Х ду ~ !/2В . ~н-г ! !а+и! ~ Хе /,и ! [уг2В(й.( уД, (15) П. 4 822 где В = Муз/2, а величинаа = у' Упоро,/2 подбирается так, чтобы обеспечить заданное значение Р условной вероятности ложной тревоги, При б о л ь ш и х 0 можно обойтись без использования функций Торонто. В самом деле, в соотношении (9) перейдем к новой переменной у, являющейся разностью между случайной величиной 1~ У и ее математическим ожИданием /!.
Для этого положим У = (/!+ у)~ и найдем Воспользуемся далее асимптотическими равенствами, справедливыми здесь в силу сделанного выше предположения, 1 7~ !(х)=, е~ (х))1), р' 2пх (1+Я =е«Я4 1) Соотношение (15) преобразуется тогда в следующее: и+ у — )~'2В Рсп (у) гз ехр М вЂ”  — — (6+у)»+ "Г' 2В(я+у), )'2В 2 которое с точностью до величин порядка '/д» приводится к форме нормального закона с нулевым математическим ожиданием: 1 — Ф'/з Рсп (У) =- ~/2п Для этого достаточно приравнять нулю коэффициент при у: г — — а+у 2В=О, т 2В откуда (17) Тогда величина 0 может быть рассчитана как для сигнала с полностью известными параметрами; — Рсо (У) иу~ порог (18) где подынтегральное.выражение определяется в соответствии с (16), а 1 у„„,„=т'и—,ГМ ~~у+ — ~.
(19) Приложение 5 ('к~ 4.3) Расчет послеопытной среднеквадратичной ошибки с учетом эффекта ложных тревог Расчет проведем для случая измерения времени запаздывания сигнала со случайной начальной фазой прн фиксированной реализации помехи. В соответствии с 1(12), (14), Э 4.2) послеопьппую ошибку оценим по формуле П. 5 523 Пользуясь (18) и (19), можно определить 0 при известном значении Упорог Для определения (7порог по заданному значению г" используются таблйцы Е, А Слуцкого («Таблицы для вычисления неполной Г-функции и функции вероятности у'».
Изд, АН СССР, 1950) и Дж. Пэчариса (см. приложение к книге «Современная радиолокация», Изд-во «Советское радио», 1969). Расчет по формулам (18) — (19) дает хороший результат уже в случае М = 1, который был тщательно рассмотрен в [34). (1) р(я)/ ~ — ~ е э1в1/'ч г(а /22 (сс) ~ (.)- о~ ~'2 1 "=р — +(1 — Ф— 12 П ц~ (2) Выражение (2) имеет физический смысл взвешенной дисперсии.
В нем Т'/12 и 1/П ф представляют собой дисперсии ошибки, когда послеопытное распределение вероятностей равномерное или нормальное,что соответствует только шумовой дорожке или только пику, Величины р и (1 — р) характеризуют соответствующие вероятности отсчетов с большими или малыми ошибками. /2Е(а)1 Чтобы найти эти величины, следует сравнить значения /а [ ) йи в преп/о делах шумовой'дорожки и пика.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
