Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (1970) (1151796), страница 98
Текст из файла (страница 98)
е. э ф ф е к т и в н о и с п о л ь з у е т с я ч а с т ь в с е й э н е р г и и Э„ определяемая величиной отношения Эо див Э1 — =1— Р ° Эа Э1+ )Уо (7) 2Эо аив авив = й)о (В) 636 Чем меньше р, тем больше эта часть, т. е. тем лучше разрешаются сигналы. При одинаковых 2 дх Г(1, х) М'(Г, х) >и 1 г вив— 2 (9) Дополнительное интегрирование по х на апертуре! практически может быть осуществлено с помощью м н о г о з л е м е н т н о й а н т е н н ы или же а н т е н н ь> с о д н и м в ы х о д о м, и м е ю щ е й з к в и в а л е н тную диаграмму направленности.
Минимум последн е й при оптимальном обнаружении источника колебаний 2 дол же н быть направлен на источник колебаний 1 144,69,90, 96, 102, 152, 182, 187, 190). Приложение 10 (к р 6.14) функция Эйлера Функция Эйлера >р(л) равна кол и ч ест в у цел ы х ч и сел, включая единицу,меньших числа и, взаимно прос т ы х с л, и определяется выражением >р(л) =л — 1— где а; (> = 1, 2, ..., з) — простые множители, на которые разлагается число л, т.
е. л=а 'а 5 ... а,' 1 2 ''' 5 где 1> — показатели степени при простых множителях. Например, 63=3'х7. Тогда >р(63)=63(1 — Ча) (1 — Ч,)=36, т. е. в совокупности от 1 до 63 содержится 36 чисел (включая едийицу) взаимно простых с числом 63: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 25, 26, 29, 31, 32, 34, 37, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47, 50, 52, 53, 55, 58, 59, 61, 62. Значения >р(л) для л = 2>п — 1 при и < 10 даны в таблице: 2 ! 3 ! 4 ! 5 ! 6 ! 7 8 9 ! 10 511 ! 1023 31 ! 63 ! 127 3 ! 15 8 30 ! 36 ! 126 ! 128 !432 ! 600 2 ! 6 р (л) можно обеспечить одинаковые вероятности Р и Р как при отсутствии, так и при наличии сигнала х>(5, р, В).
Подобные же соображения могут быть развиты и для п р о с т р а нс т в е н н о г о р а з р е ш е н и я, которое осуществляется, например, при приеме сигналов на некоторой линейной апертуре — 1/2< х < 112. В зависимости от расположения излучателей в пространстве, на отрезке 1 создается определенное р а с п р е д е л е н и е п о л я. На зто поле накладывается поле шумов теплового излучения со спектральной плотностью >уз, которое часто можно считать изотропным. Информация о наличии излучателя 2 в присутствии флюктуирующего излучателя 1 (и наоборот) может быть полученапутеманализа напряженности поля как функц и и д в у х п е р е м е н н ы х 1'(>, х).
Как показывают расчеты, аналогичные приведенным выше, этот анализ сводится к взятию интеграла: Фермулу (1) поясним для случая, когда п=а~' аг'. Тогда количество меньших или равных п чисел, делящихся без остатка на а, и ае, соответственно будет и, = и!ад и п,=п!а,. В состав как пд, так и ие чисел, войдут числа, одновременно делящиеся на ад и а„в количестве пд,д = п/ада„в частности само число и. Поэтому количество чисел (включая единицу) меньших и и взаимно простых с и, т. е. не делящихся ни на ад, ни на ад, будет равно др(и)=и — (и +и — и1 г)=п ( 1 — — ~ ~1 — — ) . Приложение 11 ('к р 8.4) К расчету характеристик обнаружения случайного сигнала при корреляционной обработке При этом в квадратной области интегрирования О <(д, з) < Т пик автокорреляционной функции р(1 — з) приходится на прямую 1 = з. Поскольку за пределами пика, имеющего ширину порядка 1/П (< Т, эта функция очень быстро спадает до близки)д к нулю значений, то пределы интегрирования по одной из переменных, например по д, можно растянуть на бесконечные.
Вводя за. геену переменной 1 = з + т, получим гп Рд Р 1 ) р~(т)д(тджх РдР2Т 1 р (т)~(т (2) В случае наличия сигнала в соотношениях(6~),(7*) следует заменить функции уд,,(д) их значениями по формуле (1*).При этом в силу независимости соответствующих случайных процессов подынтегральное выражение формулы (6;) будет Уд (() Уд (Е) = ид (() пд (() + хд (Г) пд (1) + + х (д) и, (1) + х, (() х, (1) = х (Е) х, (Е) Используя (3*), преобразуем его к виду у (() у (() =$~ у (1) у (() р(О) = ~ / Рд уд Рд уд 1+уд 1+7, Тогда из выражения (6*) получим геп = УЭд Эд .
(3) П. 11 538 Проанализируем выражения ((5) — (7), Э 8.4). В ссылках на ч 8.4 используем запись (5*), (7') и т. д. В случае отсутствия сигнала входные напряжения у, г(1) определяются выражениями (4 '), а г=г„=О. В силу независимости помех различных каналов имеем: уд (д) у, (д) = О. По этой же причине уд (д) уд (з) у, (д) у, (з) = = (1+ у,) (1+ у,) и, (Е) и, (з) и, (1) и, (з) . Используя (2*), находим тт г„— Р Р ) ) р (д з)Нд(з. о о У1,2 где Э1, — — Р1 2 Т вЂ значен энергии полезных сигналов в кана- ,2 1.2 1+ лах, выделяемой за время Т на сопротивлении 1 ом. Аналогично, сохраняя лишь отличные от нуля слагаемые и используя (3~), подынтегральное выражение формулы (7*) приводим к виду У~ (1) У1 (з) У2 (1) У2 (з) = и, (1) и, (з) и, (1) и, (з) + и, (1) и, (з) хз (1) хз (з) + + х1 (Г) х, (з) из (1) и, (з) + х, (1) х, (1) х~ (з) хз (з) = 1 + у1 + у2 =Р,Р, р'(1 — з) +- х,(1)х2 (1) х, (з) х,(з) .
(4) (1+у ) (1+уз) х2 = ах1+ и, считая, что математические ожидания всех этих величин равны нулю. По принятому условию независимости корреляционный момент их, ХХ1 Х2 = (х,— ах,) х, = О, откуда а= — . Тогда смешанный корреляциои- х 1 ный момент х1 х2 — — х, (ах, +и) = а х, + 2ах, и + х, и 2 2 2 2 2 4 3 2 2 где в силу независимости величины и от х имеем х1и = О, а з 1 2 2 2 2 2 х1и х1 и х1 (х,— ах,) Наряду с моментами второго порядка в выражение для смешанного момента х2 х2 входит момент четвертого порядка х1 . Подобный момент от произ- 4 вольной центрированной нормальной случайной величины х равен утроенному квадрату ее момента второго порядка: х4= х4 — ак* р(х) 1(х = — е ак*4(х ~ — 00 2к* 1 4(2 ~ Г юс ~ — — 1 =з(х2) . — даз г с4 1а=— 2г4х2 24' Здесь произведение х1(Г)х,(1)х,(з)х,(з) не может быть непосредственно разбито на произведения независимых величин.
Поэтому для вычисления его математического ожидания требуется специальное рассмотрение В силу оговоренной выше компенсации взаимных временных и фазовых сдвигов сигх, (1) х,(з) налов справедлива пропорция — =- —,откуда хз(1)х,(з)=х,(з)х1(1). Искох, (1) х,(з) мое математическое ожидание произведения х1(1)х,(1)х1(з)х,(з) приводится тогда к виду х1(1)х2(з) или в других обозначениях к х1х2.
Здесь мгновен- 2 2 2 2 ные значения случайных функций х,(Г) и х,(з) рассматриваются как случайные величины х1 и х„Представим при этом случайную величину х, как линейную комбинацию случайной величины х, и независимого с ней случайного приращения Окончательно найдем, что смешанный момент х( хз = х( хз 1'- 2(х( х,) . 2 2 з 2, 3 Полученное ранее выражение (4) тогда приводим к виду 1 у, (() у, (з) уэ (() уз (а) = Р, Р, кр (г — з) + — Э, Эа, где коэффициент (6) что 1 р' (т) (1т = — . 2П (8) Подставляя (8) в (2) и (7) и используя (3), можно получить соотношения (8*) — (11*), Приложение 72 ('к Э 8.5) К расчету характеристик обнаружения случайного сигнала при квадратичном детектировании Прн альтернативных гипотезах наличия н отсутствия сигнала имеем у (() = х (1) + л (С), у (() = и (().
(1) (2) П. 12 71 Уз (1+ у() (1+ М Подставляя (6) в (7'), получим, наконец, искомое условное математическое ожидание величины г' прн наличии сигнала наряду с помехой: г,„= Р, Р, Тк ~ р' (т) ((т+ Э, Э,. (7) В случае колокольной аппроксимации амплитудно частотных характеристик цепей приемников и (г — Уо)' и ()+го)' (К ®1=е +е где П вЂ” полоса частот по уровню е "~~ = 0,46(П ((~„), их энергетические частотные характеристики ) К (г)(з описываются аналогичным выражением, однако с заменой П на П/~2. Тогда нормированная автокорреляционная функция, являющаяся (с точностью до множителя) преобразованием Фурье от ~ К (() (', будет р(с)=е " ~~ т соз 2п~, т. Определенный интеграл от квадрата этой функции р'(т) = — е "~т (1 — соз 4пГр т), вы- 2 числяемый в бесконечных пределах, распадается на два: на близкий к нулю 1 интеграл от быстроосциллирующей функции и взятый с коэффициентом— 2 Ф оо а/а табличный интеграл ~ е ~~ ((т = ~~ —, где а = пП'.
Тогда получим, Найдем первый и второй статистические моменты интеграла т г =) уа(г)~й, о определяющего эффект оптимальной обработки, а именно~ тт г = Т уа (() = ТР„, га = т] ~ уа (() у' (з) Ж йз, о о где Рр — мощность колебания у ((). Применительно к нормальному закону распределения мгновенных значений у (П и у (з) в силу ](5), приложение 11] имеем уа®уа(з) уа~р) уа (з) + 2(у,(() у (з)]а или у (() уа(з) = Р'~1+2р'(( — )3.
где ря — нормированная автокорреляционная функция. Интегрируя по г, з, для второго слагаемого можно провести такие же преобразования, как и при выводе (2) приложения 11. Тогда 2 (' га = Р~~ Т 1+ — ) р~~(т)Фт т ) га ° Р~~ Т 1+— Квадрат стандартного отклонения та будет та= га — (г) = — Р, П В случае отсутствия сигнала мощность Рр Р,, при его наличии Рр Рщ(1+у), где у — отношение сигнал/помеха.
Соответственно г тсп и = — г (1+7)а ~п г р и П ш' Если у«1, то можно пренебречь изменением интенсивности помехи на выходе детектора при включении сигнала (кж1) и с учетом нормализации расчет вести по кривым (рис. 3.53) при параметре обнаружения = — Утп = -у Утп. гоп — гп у — гси — гп топ 1 + г тп ус ю ~ м оро д, г2 ов д~ ~~О. Р(аи.рнс.з.Б3), и еи разл г Рс Фо 2тразл Рщ 7П 7П где т — некоторый коэффициент различимости для теплорадиолокации, рззл П. 12 В случае колокольных амплитудно-частотных характеристик, в силу (8) этого же приложения Л итература 1. Попов А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
