Финкельштейн М.И. Основы радиолокации (1983) (1151793), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

Обычно определение априорных вероятностей наличия и отсутствия целей р (А,) и р (А,), а также вероятностей совмещения (безусловных вероятностей) р (А,НД, р (А„Н,), р (А,Н„), р (А Н,) связано с практическими трудностями 007 н поэтому при проектнровании, испытании н эксплуатации РЛС используются условные вероятности. Вероятность события А„вычисленная. прн условии, что имело место Н„ именуется вероятностью правильного обнаружения 12 = р (А,!Н,). (4.1.7) Аналогично вероятность пропуска Оо = р (Ао!Н,).

(4.1.8) Правильное обнаружение н пропуск образуют полную группу несовместных событий, так что О+!)о = 1. (4.1.9) Далее имеем вероятность ложной тревоги (ложного обнаружения) Р = Р (Ао!Но) (4.1.!0) и вероятность правильного необнаружения Ро = р (Аю!Но), (4.1.1 1) причем, как н в (4.1.9), Р+ Ро=) ° (4.1.12) Из сказанного следует, что при обнаружении возможны два вида ошибок: пропуск цели н ложная тревога. Степень нежелательности этих ошибок различна, что надо учитывать при принятии решения.

Делается это посредством некоторой величины — стоимости ошибок. Систему обнаружения характеризуют средней стоимостью нли средним риском, которая вычисляется по правилу нахождения математического ожидания: г = го1Р (АоНо)+г,оР (А1Но). (4 1 13) где го, — стоимость пропуска, а г„— стоимость ложной тревоги. Воспользуемся правилами умножения вероятностей: р (А оНъ) = р (Но) р (Ао) !Но) = р (Но) Оо р (АоНо) = р (Но) р (Ао!Но) = р (Но) Г (4 1 14) где р (Н1) и р (Н,) — априорные вероятности соответственно наличия н отсутствия сигнала. Подставляя (4.1.14) в (4.1.13), получаем средний риск в виде г = гоар(Но) Оо + г1ор(Но) Г (4115) 20В г = Р (Ю Ро + Р (Нь) Г. т.

е. суммарной вероятности ошибки. Условие минимума этой суммарной вероятности ошибки называется критерием идеального наблюдателя. Он соответствует критерию идеального приемника, введенного В. А. Котельниковым, н широко используется в задачах радиосвязи, где ложное обнаружение и пропуск одинаково нежелательны. Представим теперь в формуле (4.1.15) вероятность пропуска цели как Рь = 1 — О, тогда г = гм Р (Нз) (1 0) + гшР (Но) Г = го) Р (Н~)11 (Р 1о Г)) (4.1.17) где весовой множитель 1ь = г,„о (Н,)1г„,о (Н,) (4.1.18) (4.1.16) включает только стоимости ошибок и априорные вероятности, т.

е. не зависит от принимаемого сигнала. Следствием минимума среднего риска г является максимум разности (4.1.!9) 0 — ' 1оГ = шах, что именуется весовым критерием. Если задаться 1, и сравнивать оптимальную и неоптимальные системы, то 0„„, — 1,Г,„, > 0 — 1,Г, или 0,„,) )О+1ь(Г„,— Г). Таким образом, при Г(Г,„, должно быть 0 ( Р„„т. е. оптимальная система дает наибольшую вероятность™правильного обнаружения среди всех систем, имеющих вероятность ложной тревоги не больше, чем у оптимальной; 20з Оптимальной обработкой сигнала (оптимальным приемником) будем считать такую, которая характеризуется минимумом среднего риска. Данная оценка обработки играет заметную роль в математической статистике и именуется бейесовской оценкой.

Она естественна для наблюдателя, который должен принять большое число решений в одинаковых условиях. Для использования минимума среднего риска в качестве критерия обнаружения («критерий Бейесаъ) должны быть установлены стоимости ошибок г,ь и г„и известны априорные вероятности Р (Н,), р (Н,). Если, например, принять стоимости ошибок г„= г„= 1, т. е. полагать, что пропуск сигнала и ложная тревога одинаково опасны, то средний риск равен Значения условных вероятностей правильного обнаружения 0 и ложной тревоги Г задаются для разрешаемого объема пространства. Если в РЛС кругового обзора имеется п разрешаемых объемов за период обзора, то в среднем за это время будет и = Гл «ложных отметокм Такие отметки воспринимаются оператором, следящим за индикатором кругового обзора, как отметки цели, хотя отдельных шумовых выбросов на экране при этом может быть гораздо больше.

Поэтому, задаваясь допустимым наличием л«ложных отметок за период обзора, имеем Г = и«/а, например, при и =1 и л = 10' требуемая вероятность ложной тревоги Г = — 10-'. В задачах радиолокации, когда наличие цели (условие Н,) встречается сравнительно редко и трудно даже судить о стоимости пропуска цели, более важную роль играют те случаи, когда Н, выбрано неправильно, т.

е. возникает ложная тревога. Она особенно опасна, так как может, например, привести к значительному увеличению числа операций в ЭВМ, используемой в АС УВД, а также другим действиям, имеющим высокую стоимость. Поэтому в радиолокации задаются заметно меньшей вероятностью ложной тревоги по сравнению с вероятностью пропуска цели Г <1 — 0 и требуют согласно (4.19) максимизации вероятности правильного обнаружения 0, которая должна быть достаточно близкой к единице (например, по одной из рекомендаций 1САО для РЛС УВД 0= 0,9, Г = 10-'). Такой критерий взят из математической статистики, где он предложен в 30-х гг.

Нейманом и Пирсоном. 4. Отношение правдоподобия. Рассмотрим условия выполнения весового критерия (4.1.19), для чего найдем вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги 0 и Г. Воспользуемся теоремой Котельникова. При этом следует сделать предположение об ограниченности спектра принимаемого сигнала х (/) и помехи и (1) в полосе частот 0(/< (/,„. Тогда функция х'(1) однозначно отображается своими дискретными значениями х„х„..., х, отсчитанными через временные интервалы А/ = 1/2/,„.

Вся совокупность отсчетов называется выборкой. Если функцию х (/) ограничить интервалом времени Т„ то для ее отображения требуется и = Т/Ь/ = 2/ „ Т« отсчетов. Каждая реализация случайной функции х (/) при наличии как помех, так и полезного сигнала определяется многомерной плотностью распределения вероятностей ш,„ (х„ х„ ..., х„,), а если полезного сигнала нет, то плотностью распределения помехи ш, (х„ х„ ..., х„). Совместная вероятность нахождения значений х в интервале х„ х« + «(х; 210 х„х, + ~(х, и т. д. равна 1а, (х„х„..., х ) их; с(х,... ... г(х (аналогичная зависимость справедлива для плотности распределения помехи ю„). Так как значения х„ х„... определяют функцию х (1) однозначно, то указанная вероятность определяет вероятность реализации функции х (1). Для принятия решения о наличии или отсутствии цели следует разбить все множество выборок на области Х, наличия сигнала (решение А,) и Х, (решение А,) отсутствия сигнала. Условную вероятность правильного обнаружения найдем как вероятность попадания выборки х„х„...

в область Х, при условии наличия сигнала (плотность распределения гв,„), а условную вероятность ложной тревоги — как вероятность попадания этой выборки в область Х, при условии отсутствия сигнала (плотность распределения в„). Таким образом, 0=) )"...)'ю„(х,,х,,...,х„)Ых,г(х,... бх„, х, Р = ~ )' ... )' ю, (х„х,, х,„) Ых, г(х,...г(х .

(4.1. 20) х, Интегрирование производится в области Х, по всем переменным. Граница этой области выбирается на основании весового критерия обнаружения (4.1А9), так что Π— 1оР=~~"'~Фсп(хохм" кт) 1аыя(хмхи„..~хщ)) Х х, х йх,г(х,... Ых =~)'...)'ш„(х„хм...,х ) [1(х„х„...,х )— х, — 1,1 Ых, дх,... г(х„= шах, (4.1.21) где 1(х х х )= '"(' '"'' )- (4122) со~(хг хз ° ° х~) называется отношением правдоподобия (так как более правдоподобно то из решений А, и А„которому соответствует большая плотность вероятности получения данной реализации х (1)). Для значений х,, х„..., х, для которых отношение правдоподобия 1(х„х„..., х„) ~ 1„все подынтегральное выражение положительно.

Значения же х„х„..., х, для которых 1( 1„уменьшают весь интеграл. Поэтому максимизация разности (Π— 1, Р) требует так выбирать границы 2И области Х„чтобы выполнялась неравенство 1~ 1,. Отсюда вытекает правила принятия решения: решение А, (сигнал есть), если 1(х„х„..., х„) ) 1,: (4.1.231 решение А, (сигнала нет), если 1(х„хм ..., х„) ( 1.

Весовой множитель 1д (4А А8), не зависящий от принимаемого сигнала, можно рассматривать как некоторый порог. Для принятия решения о наличии или отсутствии сигнала надо вычислить отношение правдоподобия 1(х (1)1 принятага сигнала х (1) и сравнить его с порогом 1д. 5. Отношение правдоподобия для сигнала с полностью известными параметрами. Такие параметры как амплитуда, начальная фаза, запаздывание, доплеровский сдвиг частоты и другие, в общем случае изменяются от сигнала к сигналу по случайному закону.

Чем болыпе случайных параметров, тем сложнее оптимальный приемник. Рассмотрим случай, когда все параметры сигнала известны, но сам факт наличия сигнала является случайным событием. Эта ситуация не реальна, но позволяет выяснить потенциальные возможности обнаружения. В качестве помехи и (1) примем стационарный случайный процесс с гауссовским законом распределения и нулевым средним значением. При этом л-й отсчет характеризуется законом распределения шд(и„) = ехр ~ — — ), (4.(.24) 1 лй 'К 2ддд 2"й где а„' — дисперсия случайной функции и (1).

При отсутствии сигнала, когда з (1) = О, согласно (4А.Ц х (1) = и (1), так что после замены в (4.!.24) и на х / кй шд(хд) = ехр1 — —,) (4А,25) (/вдидд ~ 2дй / При наличии сигнала, учитывая, что иь = хд — зю получаем после подстановки в (4А.24) ш„(хд) = ехр ~ — ь,ь . (4А.26) '$'2ддд ~ 2дй Для определения совместных многомерных функций распределения, требуемых при вычислении отношения правдоподобия, необходимо знать статистическую связь процессов 2!2 в точках отсчетов (разделенных интервалами И!). Статистическая связь характеризуется корреляционной функцией Л (т) = ~ Л! ()) Соз 2л1т!(~, о где Л! (!) — энергетический спектр (спектральная плотность) помехи.

При равномерном спектре в интервале 0 (~ ! (~1 аа, когда Ф Д) = Ма= пас„,п = о„'2И, (4.1.28) получим 1п1 ах й (т) = !У! ~ соз 2л~т!!)'=Д1~~м, ' ~'" . (4.1.29) о 2л! „т Для т = М! = и I 21 а„(где л =- 1,2,...) автокорреля. ционная функция !с (АЫ) = О. При гауссовском законе распределения отсчетов ха,х„..., хсь разделенных интервалом М! (по теореме Котельникова), отсутствие корреляции означает нх взаимную статистическую независимость. Поэтому совместная многомерная функция распределения равна произведению функций распределения каждой из этих величин: всп (х! хм "ю хп) = воп (х!) всп~ Х (х,)...

Характеристики

Список файлов книги