Финкельштейн М.И. Основы радиолокации (1983) (1151793), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(3.4.17)) 2Е ! о8 ~Фл=йрлв рл! р а х 1ит т. е. снова получена формула (3.4.16). Проведем теперь анализ полученного результата. Вернемся к основной формуле (3.4.15). Обычно с(9Ы1 и 9, а значит, и ЕФ, — весьма медленно меняющиеся случайные функции времени, так что можно принять с(9!с(1 — сопи( и соз 0 ж сопз(. Отсюда йр,,/г(г' = 2пгел (1) ж сопз1 и гр, ив ~ 2лт" Фл (1) й 153 и дополнительным движением целей со скоростями (ор,— — оре)/2 в противоположных направлениях (рис.
3.17, в), т. е. мгновенным вращением системы вокруг ее центра с угловой скоростью ! — (= ов ( (ср,— оое)!2 орт — аре (3 4 17) бт ( Е соа 0~2 При условии Е, ~ Е, достаточно, например, выполнения неравенства Е, ( 0,7Е„чтобы в формуле (3.4.4) можно было пренебречь величиной Е! по сравнению с Е, 'и далее (на основании разложения в ряд )/1+ х 1+ х/2 при х< 1) получить Ер(/) жЕ,~! + — 'соз2пРфа(1) ! ~, 1 (3,4.18) т. е. отраженный сигнал модулирован медленно меняющейся случайной функцией времени.
Заметим, что поверхность такой сложной цели, как, например, самолет, можно рассматривать как совокупность пар различно расположенных блестящих точек. Так как расстояние между ними Е может меняться от 0 до Ь,„, то отраженный сигнал модулирован не одной частотой-, а спектром частот, лежащих в интервале от 0 до Рф„,„. В большинстве случаев можно принять О ж 0 и считать Рф,,= """ ~ — ~ . (3.4.!9) Для ориентировочной оценки этой величины рассмотрим случай, когда самолет, летящий со скоростью о = 300 м/с, совершает вираж с ускорением 19,6 м/с' (2д). При этом угловая скорость вращения с/О/с(! = 2я/и = 6,6 х 1О-' рад/с (ж 3,7'/с). Если 'Ь „, = 30 м и Х = 10 см, то в соответствии с (3.4.19) Рф,,„= 39 1'ц.
В этом случае минимальный период флуктуации Рф„,„— — 1/Рф„„- 25 мс. Если, например, отраженный сигнал состоит из л/ = 10 импульсов с периодом повторения Т„=! мс, то общая длительность пачки г/Т„~ Тв„,„и можно считать, что в пределах длительности пачки случайных изменений амплитуды импульсов не происходит. Однако они будут происходить от пачки к пачке («дружно» флуктуирующая пачка).
Таким образом-, максимального своего значения, составляющего несколько десятков герц, частота флуктуаций достигает только при маневрах самолета. Если самолет не ма: неврирует, т. е. когда колебания самолета составляют ~ (1 ... 2)' со скоростью пО/й = 1 ... 2'/с, частота флуктуации заметна меньше. Важным обстоятельством является зависимость частоты флуктуаций от длины волны. Как видно из (3.4.16), частота флуктуаций становится ниже при увеличении длины волны. Из рис.
3.!7, а легко видеть, что 6 = о///Э, откуда по формуле (3.4.16) получаем Рф, ж 2Ео/)/7, т. е. частота флуктуаций растет с уменьшением расстояния. !54 3.5, ВЕРОЯТНОСТНАЯ ОЦЕНКА ЧОП 1. Плотность распределения амплитуды н фазы отраженного сигнала, Задача определения характеристик отражения реальной цели, являющейся совокупностью многих элементарных отражателей, связана с большими трудностями.
Следует иметь в виду, что при всяких изменениях относительного положения цели и РЛС будут меняться расстояния до элементарных отражателей и и» ЯО1т Поэтому здесь необходимо воспользоваться ста- тистической моделью слож- 1в ной цели и определить ее вероятностные характеристики. Представим модель сложной цели в виде совокупности Е,»5»а большого числа случайно расположенных независимых и равноценных отражателей, амплитуда и фаза колебаний которых являются случайными величинами. Однако в со- стане отражателеи может иа Рве. 3.13. Векторное представ.
ходиться один, доминирую- ление отраженных сигналов от щий над остальными и даю- сложной цели щий сильный стабильный неслучайный отраженный сигнал (блестящая точка). Это случай слабо флуктуирующей цели. Если же стабильный сигнал блестящей точки отсутствует, то цель является сильно флуктуирующей. Как следует из (3.4,1), вторичное поле Ьго элемен. тарного отражателя в комплексном виде характеризуется выражением еа — — Еа е1"'= Е„е 1еа е1"', (3.5.1) причем фаза ~р„ изменяется в пределах от — и до и, а сигнал блестящей точки примем в виде (3.5.2) еа = Еа епп На комплексной плоскости (рис. 3.18) вектор Е, отложен вдоль вещественной оси, а векторы Еа имеют случайные значения амплитуды и фазы. Амплитуды их можно разложить иа ортогональные вещественные и мнимые элементарные составлЯющие Еа соз ~Ра и 1Еа 51п сРа.
После сУммиРования и таких элементарных составляющих получим ам. 155 плитуды ортогональных составляющих суммарного случайного процесса (разложение на квадратурные составляющие): л Ех! = ~ч', Ед соз »Рд = Ез соз <Рх, (3.5.3) Ех, = ~», Едэйп!рд — — Ех 3!псрз, д=! При этом случайная комплексная амплитуда (3.5.4) Ее = Ех е!Фа характеризует вектор суммарного поля п элементарных от- ражателей. Составляющая Ех! находится в фазе с вещественной ча- стью Ед и поэтому именуется фазной.
Составляющая Е, == = Ехм сдвинутая по фазе относительно Е, на 90', называ- ется внефазной. Кроме того, на рис. 3.18 показана резуль- тирующая вещественная составляющая Е, = Ед + Ех!. Результирующий же вектор е = — Ер е!"" = Е е1~г е'"', э где Еэ и ~р — случайные величины, характеризующие дли- ну и фазу результирующего вектора поля вторичного излу- чения. Действительное мгновенное значение ер — — Ер соэ (д!! + !рэ) = Е, соз о1+ Ех соз (Ы + <рх), (3.5.5) где е, = Е, соз д!! — стабильный сигнал или когерентная составляющая, а ез = Ех соэ (д!1 + !рх) — случайный сиг- нал илн некогерентная составляющая.
Заметим, что составляющие Ех! и Етг случайной ком- плексной амплитуды Ех могут принимать как положитель- ные, так и отрицательные значения. Так как нет основания для преобладания сигналов того или иного знака, то сред- ние значения соответственно равны Ех, =Ехд=О; Ед=Е,+Ез! =Е,; Е,=Еэз=-О. (35.6) Что касается дисперсии, то здесь также иет оснований ожидать различий, откуда (Е! — Е )д = Ех, = ЕЬ=овх (3.5.7) Составляющие Е, и Е, совершают случайные колебания относительно своих средних значений, причем эти колеба!ва ния распределены по гауссовскому закону. Это обстоятельство связано с тем, что каждая составляющая обязана своим происхождением большому числу элементарных отражателей. Вместе с тем, согласно центральной предельной теореме, сумма большого числа независимых случайных величин, среди которых нет явно преобладающих над совокупностью остальных, распределена по гауссовскому закону.
Таким образом, имеем 1 Г 1Еъ Ео)з Ч (Е) 1 ° г о 2о' ш (Ег) .=. ехр Найдем теперь закон распределения параметров результиРУюЩего вектоРа, а именно: его амплитУДы Ер и фазы 1Рр (см, рис. 3.18). Будем исходить из того, что ортогональные составляющие Е, и Е, являются независимыми случайными величинами. Как известно из теории вероятностей, любая нормально распределенная двумерная случайная величина путем поворота осей координат может быть приведена к системе двух нормально распределенных независимых случайных величин. Прн этом двумерная плотность распределения вероятностей равна произведению гэ(Е» Ез) = гэ(Е,) а(ЕД = = — ехр — ' ' ' (359) (Ер Е'р) + Ее 2пох ~ 2ах~ Так как нас интересуют законы распределения вероятностей результирующей амплитуды Ер и фазы ур, то целесообразно перейти от прямоугольной системы координат, -в которой представлены величины Е, и Е„к полярной системе координат и величинам Ер н ур.
Связь между этими системами координат следующая: е,=ге)+е;; ~„= ь(е1е); Е, = Ер соз <рр, Е, = Ер з)п ~рр. Лля нахождения двумерной плотности распределения вероятностей в полярной системе координат воспользуемся известным из теории вероятностей соотношением гэ (Ер, ~рр) = гэ(Еп ЕД " ', (3.5,10) д(Ер, ер) гэт преобразова где второй множитель — функциональный тель (так называемый якобиан), равный д дЕс дЕо дЕ, дер сов срр — Ер в1п срр д (Е„Ео) д(ер, гр) дЕ дЕо дЕр дур в!и срр Ер сов срр (3.5.! 1) Подставляя (3.5.11) в (3.5.10), получаем после элемен- тарных преобразований Е Ер Е1'с ГЕРЕ, гв(Е, сРр) = — В- ехР ~ — Р ') ехР ~ Р ' совУ 1, (3.5.12) Теперь остается найти одномерные плотности распреде- ления величин Ер и срр. При этом надо иметь в виду, что значения срр могут лежать в интервале от — и до и, а значе- ния Ер соответствуют Ер ) О.
В результате получим л ор(Ер) = ~ ое(Ер, фр) г(срр —— — Р (ехр — (Ер+Ео)/2од) х Ер х /о(Ер Ео/ох), (3.5.! 3) где а р соо о Е Сс р -о 1, — функция Бесселя нулевого порядка мнимого аргумента (модифицированная функция Бесселя). Функция 1,(х) характеризуется тем, что прн х = О она равна единице, а при х ъ1 справедливо асимптотическое выражение 1, (х) = е"/)/2пх. Функция распределения вероятностей (3.5.13) именуется обобщенным законом распределения Рэлея нли распределением Райса. Часто удобно пользоваться безразмерными величинами о = Ер/оз, а = Е,/ох.
Лля перехода от плотности распределения случайной величины Ер к плотности распределения функционально связанной с ней величины о =- Ер/оз воспользуемся известным правилом: ов(о)= ю(Е )) Р ~ ое-<о'+о >/о1о(ао) (35 15) 1 Но ~вв Аналогично для двумерной плотности (3.5.!2) получаем выражение ю (о, <рр) = — ие -и" +" мз е'""'чэ (3.5,16) 2л Закон распределения фазы определяется путем интегрирования по о в интервале (О, со) ю (~рэ) = ~ ю (о. ~Р ) Ь = о =~ — ое-<"'+"'>~э е""*чэИи.
с 2п о После несложных преобразований имеем ю(~рр) = — е ' ге+ — ~~ [1+Ф(асоз<рр)) Х Х (а пие)~з (3.5.17) где Ф (г) = — ~ е — "'l' Йх — интеграл вероятности. 2 [/2л, Важным для практики случаем является отсутствие стабильной составляющей, когда Е, = О, а = О. При этом на основании (3.5.15) закон распределения относительной амплитуды будет иметь вид ю(о) = ое-"и'. (3,5. 18) Это простое распределение Рэлея, которое характерно для амплитуды (огибающей) случайного процесса, имеющего нормальный закон распределения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
