Трухачев А.А. Радиолокационные сигналы и их применения (2005) (1151792), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Если прежние периоды неоднозначности были 51:,ф4::;-': .равны р, и р„то новый период неоднозначности равен р, р, ~~",~1~-!'„. Китайская теорема иногда формулируется с некоторым отличием. ';;~'.;-'.~.-';,'Условие, которому должно удовлетворять решение т/, согласно [20, ;-:::-:~~.",-'-,',',-:.'.';,42] следует записать в виде п < т/ < р,р, + л, где п — любое заранее :*:~3-,;::",:,', заданное целое число. Это означает, что решения располагаются по';:"~;,„':;- прежнему на интервале длиной р,рь но начало этого интервала мож[',;,~,,':„;="": но сместить на числовой оси произвольным образом 1::ф1 Такая формулировка имеет практическое значение в тех случаях, 11:;:";Ф,''::;:":: 'когда вблизи радиолокатора не может быть целей, либо близкие цели ,;,„~~~' эне представляют интереса.
Тогда, если вычисленная дальность ока- ~::",:::~~~~',,1:::!::, зывается небольшой, то уместно прибавить к ней период неодно- ,,':.:-'-'~;"„'!~. значности вычисленной дальности. Малые дальности из множества [",'~;::;"!:;, решений исключаются, но зато увеличивается максимальная даль- "~~~;",::-':,'.,'. ность, получаемая при устранении неоднозначности измерений Тем не менее, в дальнейшем изложении для упрощения полагаем ;;-;~~~;:.!:: и = О. Это нисколько не сужает область применения результатов, так '"....: как в окончательные данные при необходимости всегда можно ввести ;.::, ~~;:, соответствующие коррективы Для произвольного числа уравнений китайская теорема формулиф' ,';, ~~~,.'-'::.' руется аналогично.
Модули ль р„... должны быть попарно взаимно ":;~~~':,:,';; простыми. Тогда новый период неоднозначности равен произведе;""Ф."..',":-',.' 'нию всех модулей В условиях китайской теоремы сказано, что модули р, и,щ долж":."~"",.:~:.; ны быть взаимно простыми. А что будет, если это условие не выпол- !:.'4!";:;-э няется? Целые числа р, и рз называются взаимно простыми, если дробь ',,~~"-,!:::р1/р, является несократимой. Наибольший общий делитель взаимно ,:~;1!::-: 'простых чисел равен 1. Алгоритм нахождения наибольшего общего „:,"!;;~!-'-,!;, делителя двух целых чисел дан в Приложении.
Предположим, что р, и р, не являются взаимно простыми и, сле- 1~."-:"~!!::: довательно, р, =8 р,' и р, =д р'„где 8 — наибольший общий дер~~;"*;:, литель чисел р, и р,„р,' и р,' — взаимно простые целые числа; д > 1 ! "~~~~",~, Можно убедиться, что в этом случае период неоднозначности без- 1.".;:;~.,"':.':,' размерной задержки сигнала, получаемой в результате решения задачи, будет равен р1р,/д Теперь предположим, что в условиях китайской теоремы заданы три уравнения с модулями рь рз и рь Непосредственными проверка- 227 ми можно убедиться в том, что период неоднозначности вычислен- ной задержки сигнала равен Р, р, р, НОД(НОД(р„р2), р„) НОД(р„р, ) НОД(р„р, ) НОД(р„р, ) где НОД(т, л) — наибольший общий делитель целых чисел т и и.
Выражение НОД(НОД(р!, Р2),р,) представляет собой наибольший общий делитель трех целых чисел р;, р, и р,. При большем числе модулей, если несколько пар модулей не являются взаимно простыми, анализ периода неоднозначности вычисленной задержки усложняется. Поэтому этот период целесообразно определять непосредственными проверками для каждого конкретного случая в отдельности.
Если целочисленные периоды повторения импульсов не являются взаимно простыми, то это приводит к уменьшению периода неоднозначности вычисленной задержки. Далее число уравнений считаем произвольным. На модули не накладывается никаких ограничений, кроме того, что все они должны быть попарно взаимно простыми. В (41 содержится доказательство китайской теоремы. Вначале доказывается единственность решения, а затем его существование. Доказательство существования производится путем построения процедуры отыскания решения. Эта процедура излагается ниже. В условиях китайской теоремы об остатках заданы К уравнений к=1, ...,К. (8.5.2) 222„= Мод(г1; р ), К Вычисляем М = П р, М, = М/рь Далее необходимо решить К неза- 2=-! висимых целочисленных уравнений ЯМ« ь п«р! — — 1, 2!= 1,,К.
(8.5.3) Каждое из этих уравнений является уравнением относительно двух целочисленных неизвестных Р4 и ль Решения л„не понадобятся, а А«„ входят в окончательную формулу для решения системы уравнений (2). Согласно приведенному в [41 доказательству, решением системы уравнений (2) относительно неизвестного Ы является Й = Мод ~~) 0,14,М2;М ~. (8.5А) """' У Решения уравнений (3) проще всего найти простым подбором. Для этого необходимо последовательно перебирать значения Л; до тех пор, пока не выполнится равенство Мод(А«„М„; р„) = 1. Решения Ф! обладают неоднозначностью. Однако зто обстоятельство не должно ; 'смущать, для подстановки в (4) пригодны любые значения А2, удов'злетворяющие уравнениям (3).
Рассмотрим частный случай, когда К =- 2, причем р« = р, + 1. Вычисляем: М=р;Р„М, =-Р„М2 — — р!. Последовательные преобразования первого уравнения из (3) выглядят так: А2!М!+ л!р! —— 1; ' А«2Р2+ л!р! = 1; А«!(р! + 1) + и!р! —— 1; (А«! + л!)р! +А«! = 1. Теперь очевидно, что А«! = 1 и л, = — 1 являются решением этого уравнения. Аналогично устанавливаем, что А«2 =- -1 удовлетворяет второму уравне': «н..::-:!" нию. Получаем, что в данном частном случае 2 г2222«Мь 22!Р2 п«Р! * 2=! : ~~„:-','!.;: а формула (4) по виду совпадает с формулой (8.3.4). Отличие состоит .:-.;;=',!";:;-"::,' лишь в том, что в з 8.3 замеры не предполагались целочисленными Исходя из этого результата в дальнейшем формулу (8.3.4) будем ;~~'.:.'.~:";: расценивать как частный случай решения, основанного на китайской Рассмотрим еще два частных случая, Пусть р, — нечетное число, ;,;-~;-'",.""'" Р2 = р! -, 2.
Непосредственной проверкой можно убедиться, что ,"~~~!::; ':, .И, = (р, + 1)/2, А«2 = — (р, + 1)/2. Тогда Й= Мод Й р! ' — Ы ' 2 ); р 1!. (8.5.5) ! 2 2 2 Р! 2~' При р2 — — р! + 3, когда р, не делится на 3 нацело, можно получить |Мод( — Ы вЂ” ' — 2-«21 ' ';р р 1,если(р +2)/3 целое. Отметим для сведения, что в 1121 в доходчивой форме излагается :;~!::: способ построения решений целочисленных уравнений, основанный ;,".;;„--~:::;::,:: на использовании цепных дробей. А в 120, стр.3091 приведен еще один способ решения уравнений, задаваемых в условиях китайской ;.,"'-„;,-.';~;:,;.,: теоремы. Поскольку китайская теорема утверждает, что решение ":;;;;:,: уравнений единственное„ то нет необходимости в дополнительном исследовании этих способов Анализ задачи устранения неоднозначности измерений, выпол' ф:::, пенный только на основе китайской теоремы об остатках, сулит ра;-'Ф.':: дужные перспективы.
При совместной обработке двух измерений :~~~.:; ':период неоднозначности вычисленной задержки, выраженный в це- лых числах, равен р,р„где р, и р,— це«2очисленные периоды -':. повторения импульсов использующихся КН сигналов. Этот же пери'.:, од неоднозначности, выраженный в единицах времени, равен 229 т,р — тарп если т, > т„ т= т,р, — т,р, + Т„если т, < т„ (8.5.6) где Т,=р,р,т,„= Т„,,Тс/т.,— новый период несднозначности задержки, реализующийся при устранении неоднозначности измерений. Из (6) получаем, что если о, — — среднеквадратичная ошибка измерений т, и т»,то среднеквадратичная ошибка вычисленной задержки т определяется формулой 230 Р,ргт.„, = Т„, Т„«й,,.„где т„„— период колебаний опорной частоты, Т„, и Т,« -- периоды повторения импульсов.
Представим себе, что при выборе параметров КН сигналов периоды повторения Т„, и Т., остаются примерно равными заданным значениям. Тогда, выбрав достаточно малым период т„„, можно по двум неоднозначным измерениям восстанавливать истинную дальность до цели во всем том диапазоне дальностей, в котором радиолокатор способен обнаруживать цели. Однако неоднозначные измерения дальностей производятся с флуктуационными ошибками, обусловленными, в первую очередь, наличием собственных шумов приемника. И этн ошибки существенным образом ограничивают потенциальные возможности устранения неоднозначности измерений.
Не все выводы, сделанные на основе китайской теоремы, остаются в силе. Можно, например, при фиксированном Ты и при рз =р, + 1 выбрать т,„сколь угодно малым. Тогда в интересуемом интервале дальностей остатки задержки будут мало отличаться друг от друга. Если бы была возможность измерять остатки»1, и Ы, с абсолютной точностью, то по измеренным значениям»7, и»1, можно было бы восстанавливать истинную задержку. Но остатки измеряются со случайными ошибками, причем величина ошибок может превышать разность между истинными остатками. Если разность между истинными остатками мала по сравнению с ошибками измерения, то восстановление задержки будет производиться не на основании достоверных сведений, а на основании случайных данных. Результаты устранения неоднозначности измерений будут непригодными. Эти рассуждения должны убедить в том, что флуктуационные ошибки радиолокационных измерений ограничивают сферу действия китайской теоремы об остатках.
Разработка практических алгоритмов устранения неоднозначности должна выполняться с учетом ошибок измерений. Для простоты предположим, что все измерения имеют одинаковую дисперсию ошибок. Рассмотрим случай, когда целочисленные периоды повторения импульсов отличаются на 1. От целочисленных задержек сигнала перейдем к задержкам с естественной размерностью.
Формулу (8.3.2), справедливую при Р, =Р, + 1, перепишем в виде от = о, ~! Р, ь Р« '= о, «/2 д (8.5.7) Ошибка вычисленной задержки во много раз превышает ошибку измерений. Представим себе процесс передачи обнаруженной цели на автосо- провождсние. Если бы мы использовали какой-либо другой зонди- ',~~~;::! Рующий сигнал, не обладающий неоднозначностью измерений, то истинная задержка сигнала с высокой вероятностью попадала бы в ;;:~!=';:;:: ураствор дискриминационной характеристики, и начальный период -=~!у«»,'::: ' автосопровождения происходил бы б~ каких-либо особых осложне- Если на автосопровождение передается цель, когда измерения .::",;:-~~~:;:.~ ' осуществлялись с ошибками в соответствии с формулой (7), то, ско- «!:,.".,~~!:-~'-,, рее всего, задержка сигнала окажется за пределами раствора дискри- минационной характеристики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
