Трухачев А.А. Радиолокационные сигналы и их применения (2005) (1151792), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Величина с1 + /с Р,р, также является вычислен'; ной задержкой сигнала. Выражения типа Р,Р, будем называть периобф,.;:;:"::дом неоднозначности вычисленной задержки. Результаты измерений КФ:1' и вычислений помечаются волной. При больших значениях Р, и р, период неоднозначности вычис;.:.'-::;:. ленной задержки значительно превышает периоды неоднозначности :;- исходных измерений Величина (сг'+ lс. Р,Р )т.. является вычисленной задержкой, вы-';:;;-::" рвкаемой в единицах времени. Если существует только одно значе".'::,, ние 1с, при котором выполняется условие т .. «(1+ 1с Р1Рг) .. < т„,,: (8.2.2) ,::то (сгг+А.р,р )т„, является искомым решением. Если неравенства —, .
(2) выполняются при нескольких значениях 1с, то для решения задачи -', необходимы дополнительные данные. При устранении неоднозначности измерений, получаемых с при; менением КН сигналов, неоднозначность, вообще говоря, полностью ,=':. не устраняется. Под устранением неоднозначности подразумевается 221 комплекс мероприятий и вычислительных алгоритмов„предназначенных для приведения получаемой координатной информации к виду, пригодному для дальнейшего использования.
В результате совместной обработки нескольких неоднозначных измерений вычисляется новая неоднозначная оценка координаты, причем период неоднозначности новой оценки существенно больше периодов неоднозначности исходных измерений. Период неоднозначности вычисленной координаты должен быть настолько большим, чтобы лишь одно решение исходной системы уравнений не противоречило здравому смыслу. :4 8.3. Простейший метод устранения неоднозначности измерений В 15, 57, 58, 63) изложен метод устранения неоднозначности измерений дальности применительно к радиолокаторам с двумя частотами повторения импульсов.
Этот метод относится лишь к частному случаи, но он заслуживает внимания гв-за широкого распространения в литературе, а также нз-за простоты и наглядности доказательства. Метод излагается ниже. Производятся два зондирования. Периоды повторения импульсов в первом и втором зондированиях представимы в виде Т.1 =р,т,п и Тпг — — Ргтьп гДеР! иРг — Целые числа, а т„— пеРиоД колебаний опоР- ной частоты. Целочисленные периоды повторения импульсов р, и р, отличаются на 1. Для определенности вначале положим, что р2 р1+ 1 ° На рис.8.1 представлены иллюстрации, соответствующие значениям р, = 3 и р, = 4. Верхняя эпюра соответствует первому зондированию, нижняя — второму зондированию. Показан временной интервал, длина которого равна периоду неоднозначности вычисленной задержки.
На этом временном интервале умещается ровно р, периодов повторения первого КН сигнала (верхняя эпюра) и ровно р, периодов второго КН сигнала (нижняя эпюра). , л я 1-К вЂ” тв! — ЯЧ 1 е — т1 — гч ! ! м — — Т, тг 2 Короткие вертикальные черточки символизируют излучаемые импульсы, Каждая из крайних левых черточек относится к первому импульсу, расположенному в начале зондирования. Вертикальными пунктирными линиями отмечены задержки первых импульсов. Две пунктирные линии — это два различных случая, Результаты измере- 222 Рис. 8.1. Временной интервал, периоды повторения импульсов и результаты измерения задержки сигнала 11' ; пиий задержки обозначены через т, н т,.
Начало отсчета результатов '. измерений совмещено с началом соответствующего периода повто'",рения излучаемых импульсов. Задержку сигнала т необходимо искать путем решения системы уравнений т = т„+121Т„1;~ т = тг + 1ггтпг.~ (8.3.1) 223 : Здесь 121 и ра — целые числа, неизвестные по причине неоднозначно':сти измерений.
Левая вертикальная пунктирная линия соответствует первому ::.случаю, когда т, > т,. При этом число периодов неоднозначности, !"утерянных*' в процессе измерений, одинаково для обоих зондирова- ний. При устранении неоднозначности измерений следует считать тч, ;- 222 = 12!. Равенство рг = 121 является третьим уравнением в дополнение ;",:::.к уравнениям 11). Имеем систему из трех уравнений относительно '-;:: трех неизвестных т, 12! и 122, решая которую находим задержку сигна- Во втором случае т, с т„р, = р, — 1. Объединяя оба результата, ;::-'.,"'.! ';:::::;:: окончательно можно получить т,Тпг — т,Тп, если т„> т, тп — т,.
(8.3.2) п2 2 1+ п1 п2 1 п2 ~1 Тпг тп! Эта формула записывается в более компактном виде ггггрг — гггр1, если 2111 > ггг, (8.3.3) 21!Рг г12Р! + Ргрг если 21! с 212 ',",'.:;или я ггг = Мод122!Рг -222р„р!Рг). (8.3.4) "'' Здесь ггг„гггг, 21 — безразмерные задержки (см. ~ 8.2) Как оговаривалось, формулы (2), 13) и (4) справедливы при .."",,'::"Рг — — р, ж 1.
А если р, = р, + 1, то 21 = Мод(а',р, — Йр,; р,р,). При выводе формул предполагалось, что отношение периодов по'вторения импульсов является рациональным числом вида рг/рг. Однако оказывается, что формула (2) работоспособна н в том случае, 'когда отношение периодов повторения импульсов является иррацноНальным числом. К недостаткам изложенного метода следует отнести то, что период неоднозначности вычисленной задержки сигнала оказывается небольшим. Кроме того, шумовые ошибки вычисленной задержки существенно больше шумовых ошибок первичных (неоднозначных) измерений.
Рассмотренный метод устранения неоднозначности измерений является частным случаем метода, основанного на китайской теореме об остатках (см. 8 8.5). В связи с этим, шумовые оп|ибки вычисленной задержки будут исследованы в 8 8.5. 8.4. Метод максимального правдоподобия В литературе описаны алгоритмы устранения неоднозначности измерений, основанные на методе максимального правдоподобия.
Одной из цитируемых работ по этому направлению является 1351. Для демонстрации метода максимального правдоподобия рассмотрим самый простой вариант задачи устранения неоднозначности измерений доплеровской частоты. Предполагаем, что размер области обнаружения сигналов по доплеровской частоте больше одного периода неоднозначности, но не превышает двух периодов неоднозначности. Один интервал неоднозначности закрывает в области обнаружения положительные доплеровские частоты, другой — отрицательные.
В рассматриваемом варианте по результатам одного зондирования нельзя определить, приближается ли цель, либо она удаляется. Пусть К в число зондирований (число замеров доплеровской частоты),Г= истинное значение доплеровской частоты, Р„„ — частота повторения импульсов в я-ом зондировании (к = 1, 2, ,К),~„'— измеряемые неоднозначные значения доплеровской частоты (остатки). Все эти параметры связаны между собой соотношениями .1=~и + ~'Е 'ь к = 1, 2, ..., К, где и — целочисленная переменная, принимающая два значения. Если цель приближается, то ч = О. В противном случае ч =- — 1. Значения ~~ удовлетворяют условию 0 <~~ < Г ~.
Значения ) и н неизвестны, их предстоит определить по неоднозначным замерам доплеровской частоты. По результатам зондирований получены замеры Л, которые представим в виде /' = 1„'. + х аг, где ха о~ — случайные ошибки измерения, х, — нормальные случайные величины с нулевым средним значением и единичной дисперсией, о — среднеквадратичная ошибка измерений. Теперь следует заметить, что при приеме КН сигналов существует мертвая зона в окрестности нулевой доплеровской частоты. Сигналы, у которых г=О, недоступны для наблюдения. Ошибки измерения практически не превышают полуразмера мертвой зоны. Если истинное значение доплеровской частоты соответствует тому или иному 224 интервалу неоднозначности, то, несмотря на наличие ошибок изме.' рения, реальный замер доплеровской частоты не может "перескочить" в другой интервал неоднозначности.
Исходя из этого, считаем, :; что ~ = г — ~.Ры + х о (8.4.1) Если бы не было мертвых зон, то мы должны были бы в (1) вме:: ''сто ч записать мо Далее следовало бы допустить, что ~~ может отли; ~Ф.-. чаться от ~. ;,"-;ф";,:;;., Полагаем, что случайные величины х„ статистически независимы ;.:„'у~!".;.,между собой. Замеры ~' являются нормальными случайными вели- 1 ;;,;:-:."!':. чинами с математическим ожиданием ~„' =2 — нГы и диспеРсией и ;",,~=:!'-'::;;.; Плотность распределения замеров имеет вид К (~12яп )~ ( 2ог~,, При известных значениях~' функцию и( ") можно рассматривать ',з:;;::::;:: как функцию двух неизвестных переменных Г и и. Те значения 1 и н переменных ) и ч, при которых функция правдоподобия и(-.) максимальна, являются наиболее правдоподобными оценками переменных ) Поиск максимума и(" ) эквивалентен поиску минимума функции '-''::.в-"- 1 х(г',ч)= — ~> (~„— г+нР; ) Аы Найдем вначале значение~ при котором Щ ~) обращается в минимум.
Приравнивая нулю частную производную д 2 ::4~ — Ц1, ~ ) = — — ~~1 Я, — ~ + н.Ры) = О, ду К,, Получаем К ~ = — '~ (/-„+.Гы). в=1 - Найденное значением подставим в Щ г) и получившееся выражение ;: обозначим через 1(~). Выражение для 1(ч) записываем в виде 1(ч) =о (ч), .: где о'(~) = М (ч) — М,'(н); К М,(~)= — ~ (1„ь~Ея).
К М, ® = — Х (А + нР„' )' „' ь-ч 225 И, наконец. находим максимально правдоподобные оценки: О, если /(0) </( — 1), — 1 — /= — у (,~;+ОР.ь). ь — 1, если /(О) >/( — 1); К „, Если в области обнаружения укладывается несколько интервалов неоднозначности, то вместо одной целочисленной переменной н необходимо рассматривать К целочисленных переменных мн м,, ..., ля.
При этом кт -— — О, 1, ..., пт — 1 (/т= 1, 2,, К); лт — число интервалов неоднозначности, укладывающихся в области обнаружения при использовании /т-ой частоты повторения импульсов. Вместо 1(л) появилась бы функция 1(л ьм„..., ок). При поиске минимума функции /(ть в„..., л л) пришлось бы выполнять перебор значений аргументов в многомерном пространстве [35]. Алгоритм устранения неоднозначности измерений потребовал бы большого объема вычислений.
Следует вывод, что метод максимального правдоподобия в простых условиях является осуществимым. Если же иметь в виду, например, устранение неоднозначности измерений задержки, то непосредственное применение этого метода может быть затруднено нз-за большого объема вычислений. 8.5. Метод, основанный иа китайской теореме об остатках Метод, основанный на китайской теореме об остатках, представлен в [37, т. 3].
Следует также заметить, что китайская теорема позволяет отчетливее понять особенности устранения неоднозначности измерений. Китайская теорема об остатках оперирует с целыми числами. Поэтому, чтобы взглянуть на поставленную задачу в свете китайской теоремы, необходимо свести задачу к уравнениям в целых числах. Полагаем, что истинное значение безразмерной задержки отраженного сигнала принимает целочисленные значения.
Полагаем еще, что флуктуационные ошибки отсутствуют. В таком случае безразмерные замеры г/, и т/, тоже являются целыми числами. В обозначениях, принятых в данной главе, китайская теорема об остатках утверждает следующее [4]. Пусть р, и р, — взаимно простые числа, 0 — неизвестное целое положительное число (истинное значение измеряемого параметра). Известны остатки И, = Мот((с1; р, ) и д, = Мот1(д; р,) . Тогда система уравнений т/, = Мос1(т/; р,),~ т/ =Мос1(т/; р,)~ относительно неизвестного Ы имеет единственное решение т/, удовлетворяющее условию О < с/ < р,рз Если заранее оговорено, что не- :.известное исходное а', от которого произошли остатки т/, и т/„само удовлетворяет условию 0< /<др,, (8.5.1) то решение г/ совпадает с неизвестным исходным числом т/. При не,выполнении ограничительного условия (1) решение Й может отличаться от неизвестного т/на неизвестное целое число новых периодов неоднозначности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
