Диссертация (1150827), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Осьспирали изменяет свое направление. Ширина ячейки = .11 = 11 cos2 sin2 + 22 cos2 + 33 sin2 sin2 ,22 = 11 sin2 + 33 cos2 ,33 = 11 sin2 cos2 + 22 sin2 cos2 sin2 + 33 sin4 sin2 ,44 = 22 sin4 + 33 sin2 cos2 ,55 = 22 ,12 = (33 − 22 ) sin cos sin ,13 = (11 − 22 ) sin cos sin cos ,14 = 22 sin2 cos ,15 = −22 cos ,23 = −11 sin2 cos ,24 = 25 = 0,34 = (33 − 22 ) sin3 cos sin ,35 = 22 sin cos sin ,45 = −22 sin2 .40Как и ранее можно построить сетку величин = ( /2 , /2 ), = ( /2 , /2 ), = 0, 1, ..., 2 , = 0, 1, ..., 2 , где , – целые числа. Тогда задача сводится к поиску , с помощью прямой минимизации свободной энергии (2.31) и использования метода конечных разностей.Была написана программа на языке С, позволяющая реализовать минимизацию свободной энергии Франка для кубической жидкокристаллической ячейки. Программа использует метод многомерной минимизации, предложенныйв [57].

В ней также можно задавать различные параметры ячейки, такиекак модули Франка, диэлектрические проницаемости и т.д. Вследствие отсутствия значений некоторых величин, определяемых из эксперимента [47],сравнение с экспериментом пока выполнить не удалось. Эта часть работыостается предметом дальнейших исследований.Обратим внимание, 0 является параметром, который влияет на равновесную конфигурацию директора.

Экспериментально установлено, что жидкийкристалл, помимо изменения направления оси спирали, может изменять направление закрутки с левой на правую и наоборот [47], то есть величина 0может изменять знак при химическом изменении светочувствительной добавки под действием света определенной длины волны.Для данной задачи этот метод сталкивается с рядом проблем. Во-первых,в случае неоднородности по двум направлениям количество величин, покоторым необходимо проводить минимизацию, значительно возрастает (нанесколько порядков). Во-вторых, для рассматриваемых ячеек, как правило,линейные размеры и отличаются минимум на три порядка.41Глава 3Распространение света вжидкокристаллических ячейкахРаспространение света будет рассматриваться в ЖК ячейках, описанныхв предыдущей главе.

Отметим, что главные значения тензора диэлектрической проницаемости ^, определяющего оптические свойства среды, берутсяна оптической частоте измерений. В дальнейшем будем считать среду немагнитной, т. е. тензор магнитной проницаемости = .3.1Распространение света в ячейках жидких кристаллов, приближение геометрической оптикиНЖК по своим оптическим свойствам являются одноосными жидкимикристаллами, ХЖК в свою очередь можно рассматривать как локально одноосную систему. Распространение света в таких системах описывается уравнениями Максвелла:div D = 0,rot E = −1 B, D = ^E,div B = 0,rot H =B=^H.1 D, (3.1)(3.2)(3.3)42Для поля монохроматической волны с величиной волнового вектора 0 этиуравнения принимают видrot E = 0 H(r),(3.4)rot H = −0 ^E(r),(3.5)где 0 = /, – круговая частота волны, – скорость света в вакууме. Тогдадля волнового уравнения относительно напряженности электрического поляимеем(︀)︀rot rot −02 ^ E(r) = 0.(3.6)Так как система является однородной в плоскости , то удобно использовать преобразование Фурье по ортогональным оси координатам∫︀ (k⊥ ,) = r⊥ (r) exp(−k⊥ · r⊥ ), r⊥ = (,), k⊥ – составляющая волновоговектора, поперечная оси , двумерный вектор.

Без ограничения общностидалее будем считать, что волновой вектор лежит в плоскости , то естьвектор k⊥ сонаправлен с осью . Отметим также, что, вследствие однородности системы во всех плоскостях = , по закону Снеллиуса дляпоперечной составляющей волнового вектора получаем:⊥ = 0 sin ,(3.7)где – коэффициент преломления стекла, – угол падения на границураздела стекло-ЖК.Для уравнения (3.6) получаем(︁)︁2^ + 0 ^ E(k⊥ , ) = 0,(3.8)43⎛⎜⎜^=⎜⎝⎛⎜ ⊥+20−⊥ 22 sin cos ⎜^ = ⎜ sin2 sin cos ⎝ sin cos cos −⊥ 02−2⊥02⊥0⎞⎟⎟⎟,⎠2 sin sin cos ⊥+22 sin sin sin cos sin =, sin cos cos (3.9)⎞⎟⎟, sin cos sin ⎟⎠2⊥ + cos (3.10)– диэлектрические проницаемости поперек и вдоль директорагде ⊥ , ‖соответственно, взятые на оптической частоте, = ‖ − ⊥ .

Здесь и далееполярный и азимутальный углы являются функциями координаты , =() и = (). Как и в предыдущей главе, они определяют конфигурациюдиректора, направление которого совпадает с направлением оптической оси.Нас будут интересовать решения волнового уравнения (3.8). Рассмотримслучай, когда волна падает на плоскость = 0. Будем считать, что в системеприсутствует большой параметр Ω. Для геликоидальной среды таким параметром служит отношение шага спирали к длине световой волны Ω = 0 /,в общем случае предполагается, что характерный масштаб изменения дирек⃒ ⃒−1⃒ ) велик по сравнению с длиной волны. Можно решать волновоетора (∼ ⃒ nуравнение с помощью метода ВКБ [63]. В рамках этого метода ограничимсяучетом двух первых порядков по большому параметру Ω.

Тогда поле световойволны может быть записано в виде [64]:()E± (r)=()()± (k⊥ ; ,0 ) e± (k⊥ ,) exp(︂)︂∫︁ ()′′k⊥ · r⊥ + ± (k⊥ , ) , (3.11)0()где () – тип волны (() – обыкновенная или () – необыкновенная), ± –()амплитуды волн, 0 = 0, e± – векторы поляризации, волновой вектор k имеет44вид k = (k⊥ , ), k⊥ – двумерный вектор, не зависящий от координат, и еговеличина определяется углом падения света на среду.Подставим поле световой волны (3.11) в волновое уравнение (3.8). Тогдадля существования нетривиального решения E(r) необходимо обращение вноль определителя матрицы, получаемой при E(r) с учетом большого параметра Ω. Это условие приводит к уравнению четвертого порядка для волнового вектора k, называемому уравнением Френеля.В общем случае уравнение Френеля дает поверхность четвертого порядкаи определяет четыре решения для собственных волн, распространяющихся вданной среде.

Для одноосной среды уравнение Френеля разделяется на двауравнения второго порядка, решения которых можно записать следующимобразом [64]:()±()±0= 2⊥ + cos (︂√︁2= ± 02 ⊥ − ⊥ ,(3.12))︂√︀⊥ − sin cos cos ± ⊥ (⊥ , ,) , (3.13)0где(︃(⊥ , ,) = 1−‖2⊥02 ⊥+⊥)︃cos2 +2 ⊥22 sin sin ,20 ⊥(3.14)0 = 2/. Знаки +, − – показывают направление распостранения волн всторону возрастания и убывания координаты соответственно.Для поляризаций обыкновенного и необыкновенного луча справедливыследующие соотношения [65]:e() ⊥ n,e() ⊥ k,^e() ⊥ k,(3.15)(3.16)45и вектор e() лежит в плоскости, образованной векторами n и k.

Учитываявид тензора диэлектрической проницаемости (3.10), получаем для векторовполяризации обыкновенной и необыкновенной волнe() ‖ k × n(3.17)^e() ‖ n(k^k) − k(k^n).(3.18)Обратим внимание, что здесь направление оптической оси изменяется в зависимости от координаты , а у волнового вектора остается постоянной лишьпоперечная составляющая.Выражения (3.12), (3.13) описывают четыре возможных решения волнового уравнения и позволяют построить поверхности волновых векторов.Для обыкновенного луча поверхность волновых векторов представляет собой сферу:222 + ⊥= ⊥ 0 ,В случае sin <√︁(3.19)⊥ обыкновенный луч прямолинейно распространяетсяв среде и его волновой вектор не зависит от , в противном случае обыкновенный луч испытает полное внутреннее отражение на границе стекло-ЖК.Поверхность волновых векторов для необыкновенной волны является эллипсоидом:222 (‖ cos + ⊥ sin )+02⊥‖2 ( )2 sin2 cos2 cos2 + − sin2 sin2 ⊥⊥ ‖⊥ + 2+ 0⊥ ‖ (‖ cos2 + ⊥ sin2 )+2 ⊥ sin cos sin = 1 (3.20)20⊥‖46Сечение поверхности волновых векторов плоскостью приведено наРис.

3.1. Оптическая ось ОО’ задается полярным () и азимутальным ()углами. По мере продвижения вдоль оси это сечение изменяется. Есливеличина угла падения такова, что в рассматриваемой плоскости = ⊥ = ⊥1 < ⊥2 , то волна распространяется в среде и в данной точке величи−на волнового вектора равна k+1 или k1 . Случай, когда ⊥ = ⊥2 , получаетсявырождением решений (3.13). Для данного значения координаты и угла это значит, что в этой точке среды происходит частичное внутреннее отражение и координата называется точкой поворота. Если же оказывается, что⊥ = ⊥3 > ⊥2 , то в данной точке луч находится в запрещенной зоне и ужераспространяется с экспоненциальным затуханием.В рассматриваемой системе необыкновенный луч может распространяться в сторону уменьшения показателя преломления. В этом случае возможнополное внутреннее отражение луча, т.

е. в процессе распространения волновой вектор постепенно меняет направление на противоположное. В некоторойточке среды ( = * ) функция (k⊥ , ( * ),( * )) = 0, после чего становится()меньше нуля. Это означает, что у появляется мнимая добавка и волнаначинает экспоненциально затухать.

На самом деле в этой точке происходитполное внутреннее отражение волны. Волна, отражаясь от некоторого слоявнутри среды, начинает распространяться в обратном направлении относительно оси . В анизотропной среде волновой вектор не будет располагаться по касательной к траектории луча. Эту роль выполняет лучевой вектор,направление которого определяется вектором Пойнтинга. В точке = * компонента вектора Пойнтинга обращается в ноль, что также согласуется сизменением направления распространения луча в среде.Втеориидифференциальныхуравненийточки,вкоторых(k⊥ , ( * ),( * )) = 0, называются точками поворота. Построение поля47kzO'+k z1k+1θk2k z2k1 k2k3kk1k z1123OРисунок 3.1: Сечение поверхности волновых векторов необыкновенной волны принекотором значении плоскостью .

′ – оптическая ось. В зависимости отвеличины угла падения на раздел сред стекло-ЖК для каждого значения координаты можно определить будет ли в этой точке луч продолжать распространяться в среде(1), окажется ли он в точке поворота и частично отразится от некоторого слоя внутрижидкого кристалла (2) или же в этой точке луч уже распространяется сэкспоненциальным затуханием в запрещенной зоне.48321Рисунок 3.2: Иллюстрация возможных ситуаций, возникающих при распространениинеобыкновенного луча в киральном жидком кристалле при различных значениях углападения на границу раздела стекло-ЖК.

Характеристики

Список файлов диссертации